專題1.2 直角三角形（學生版）

專題1.2直角三角形1．復習直角三角形的相關知識，歸納并掌握直角三角形的性質(zhì)和判定；2．學習并掌握勾股定理及其逆定理，能夠運用其解決問題；3．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”；4．會用直角三角形全等的判定方法“HL”判定兩個直角三角形全等；5.會用反證法證明相關問題。知識點01直角三角形的性質(zhì)與判定【知識點】直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個銳角互余。直角三角形的判定定理：有兩個銳角互余的三角形是直角三角形。勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.即a2+b2=c2.勾股定理的逆定理：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三角形是直角三角形．【知識拓展1】直角三角形的兩銳角互余例1．（2022·黑龍江·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，垂直，平分，已知，則_____．【即學即練】1．（2022春·吉林·八年級期末）如圖，已知在中，，，是邊上的高，是的角平分線，求的度數(shù)．【知識拓展2】直角三角形的判定例2.（2022春·江蘇鹽城·八年級期中）在中，、、的對邊分別為a、b、c，下列條件不能判斷是直角三角形的是（

）A． B．C．，， D．，，【即學即練】2．（2022春·山西臨汾·八年級期末）下列條件：；；：：：：；：：：：，其中不能確定是直角三角形的是（

）A． B． C． D．【知識拓展3】直角三角形的作圖例3．（2022春·山東八年級課時練習）如圖，在由邊長為1的7個正六邊形組成的網(wǎng)格中，點A，B在格點上．若再選擇一個格點C，使△ABC是直角三角形，且每個直角三角形邊長均大于1，則符合條件的格點C的個數(shù)是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【即學即練3】3．（2022春·河北·八年級專題練習）如圖，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，點，在小正方形的頂點上，在圖中畫（點在小正方形的頂點上），使為直角三角形，并說明理由.（要求畫出兩個，且兩個三角形不全等）【知識拓展4】勾股定理及逆定理的實際應用例4．（2022春·四川成都·八年級校考期中）如圖，在筆直的公路旁有一座山，從山另一邊的處到公路上的?？空続的距離為，與公路上另一?？空镜木嚯x為，?？空続、之間的距離為，為方便運輸貨物現(xiàn)要從公路上的處開鑿隧道修通一條公路到處，且．(1)求修建的公路的長；(2)若公路修通后，一輛貨車從處經(jīng)過點到處的路程是多少？【即學即練4】1．（2022·陜西咸陽·八年級考階段練習）今年9月，第十四屆全國運動會在我市隆重舉行．這是我市人民期待已久的一次盛會，也是宣傳西安發(fā)展、推介西安之美、展示西安形象的絕好機遇．為美化城市，加大綠化力度，某公園有一塊如圖所示的四邊形空地，現(xiàn)計劃在空地上種植花草，經(jīng)測量，米，米，米，米．求四邊形空地的面積．2．（2022春·八年級課時練習）定義：如圖，點M，N（點M在N的左側）把線段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段AB的購股分割．(1)已知M、N把線段AB分割成AM，MN，BN，若，，，則點M、N是線段AB的勾股分割點嗎？請說明理由；(2)已知點M、N是線段AB的勾股分割點，且AM為直角邊，若，，求BN的長．【知識拓展5】勾股定理及逆定理的綜合問題例5．（2022·江蘇泰州·模擬預測）如圖，在四邊形中，，，，，，則的長為______．【即學即練5】5．（2022·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期中）（1）如圖1，在中，，，，，求的面積；（2）如圖2，在中，，，，求的面積．【知識拓展6】直角三角形中的坐標問題例6．（2022春·江蘇·八年級專題練習）已知在平面直角坐標系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．點P在x軸上運動，當點P與點A、B、C三點中任意兩點構成直角三角形時，點P的坐標為________．【即學即練6】6．（2022春·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期末）如圖，已知直線與軸交于點與直線交于點，點為軸上的一點，若為直角三角形，則點的坐標為__________．知識點02互逆命題與互逆定理【知識點】1）反證法：在證明時，先假設命題的結論不成立，然后推導出與定義、基本事實、已有定理或已知條件相矛盾的結果，從而證明命題的結論-定成立.這種證明方法稱為反證法(reductiontoabsurdity).2）互逆命題：在兩個命題中，如果-一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題。一個命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題。3）逆定理：如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理。【知識拓展1】命題的改寫例1．（2022·福建·福州七年級期末）把命題“等角的余角相等”改寫成“如果……，那么……．”的形式：如果___________，那么___________．【即學即練1】1．（2022·山東泰安·七年級期末）把命題“互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為零”寫成“如果…那么…”的形式：______．【知識拓展2】逆命題的定義例2．（2022·吉林白城·七年級期末）命題“若，則”的逆命題是________．【即學即練2】2．（2022·山西呂梁·七年級期末）如圖是家用的雙排折疊晾衣架的一部分，在晾衣架折疊或拉伸的過程中，與的大小關系是_________，理由是__________________，其逆命題是___________________________．【知識拓展3】逆命題的真假判定例3．（2022·河北·任丘市教育體育局教研室七年級期末）下列命題的逆命題是假命題的是（

）A．兩直線平行，同位角相等 B．全等三角形的對應角相等C．等邊三角形三個角相等 D．直角三角形的兩個銳角互余【即學即練3】3．（2022·山東·泰安七年級期末）下列命題的逆命題成立的是（）A．對頂角相等B．全等三角形的對應角相等C．如果兩個數(shù)相等，那么它們的絕對值相等D．兩直線平行，同位角相等【知識拓展4】逆定理例4．（2022·上?！ぶ锌颊骖}）下列說法正確的是（

）A．命題一定有逆命題 B．所有的定理一定有逆定理C．真命題的逆命題一定是真命題 D．假命題的逆命題一定是假命題【即學即練4】4．（2022·陜西西安市·八年級期末）下列定理中沒有逆定理的是（）A．等腰三角形的兩底角相等 B．平行四邊形的對角線互相平分C．角平分線上的點到角兩邊的距離相等 D．全等三角形的對應角相等【知識拓展5】反證法例5.（2022?秦都區(qū)月考）用反證法證明：任意三角形的三個外角中至多有一個直角．【即學即練5】5．（2022·北京市·八年級期末）牛頓曾說過：“反證法是數(shù)學家最精良的武器之一．”那么我們用反證法證明：“在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于”時，第一步先假設A．三角形中有一個內(nèi)角小于 B．三角形中有一個內(nèi)角大于 C．三角形中每個內(nèi)角都大于 D．三角形中沒有一個內(nèi)角小于知識點03直角三角形全等的判定(HL)【知識點】直角三角形全等的判定（“斜邊、直角邊”定理）【知識拓展1】添加條件判定直角三角形全等（HL）例1．（2022·河南八年級?？茧A段練習）如圖，若要用“HL”證明，則還需補充條件（

）A． B． C． D．以上都不正確【即學即練】1．（2022春·福建廈門·八年級?？计谥校﹥芍苯侨切稳鐖D放置，且，若直接應用“”判定≌，則需要添加的一個條件是______．【知識拓展2】直角三角形全等判定（HL）的應用例2．（2022春·北京西城·八年級北京市第十三中學分校?？计谥校┰谡n堂上，老師發(fā)給每人一張印有（如圖所示）的卡片，然后，要同學們嘗試畫一個，使得.小趙和小劉同學先畫出了之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示老師評價：他倆的做法都正確.請你選擇一位同學的做法，并說出其作圖依據(jù).我選______的做法（填“小趙”或“小劉”），他作圖判定的依據(jù)是______【即學即練】2.（2022春·北京海淀·八年級?？计谥校╅喿x下面材料：已知線段a，b．求作：，使得斜邊，一條直角邊．作法：（1）作射線、，且．（2）以A為圓心，線段b長為半徑作弧，交射線于點C．（3）以C為圓心，線段a長為半徑作弧，交射線于點B．（4）連接．則就是所求作的三角形．上述尺規(guī)作圖過程中，用到的判定三角形全等的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【知識拓展3】直角三角形全等判定（HL）的綜合運用例3．（2022春·河南周口·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，是過點的直線，于，于點；(1)若、在的同側（如圖所示）且．求證：；(2)若、在的兩側（如圖所示），且，其他條件不變，與仍垂直嗎？若是請給出證明；若不是，請說明理由．【即學即練3】3．（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱德強學校?？计谥校┮阎谥?，于點，于點，且，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點為上一點，連接并延長與的延長線相交于點，若，求的度數(shù)；(3)如圖3，在（2）的條件下，延長至點，使得，過點作交于點，若，求的長．題組A基礎過關練1．（2022春·河北邢臺·八年級校考階段練習）如圖，，是的高，且，直接判定的依據(jù)是（）A． B． C． D．2．（2022春·寧夏銀川·八年級階段練習）在中，若三邊長分別是、，，則下列不可能成立的結論是（

）A．，， B．：：：：C． D．：：：：3．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱德強學校?？茧A段練習）如圖，已知在四邊形中，，，，，，則四邊形的面積為（

）A．12 B． C．8 D．4．（2022·江蘇連云港·七年級期末）下列命題：①同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；②若，則；③末位數(shù)字是5的數(shù)，能被5整除；④對頂角相等．逆命題是假命題的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（2022·宜賓市·八年級期末）用反證法證明“在中，對邊是，若，則．”第一步應假設（）A． B． C． D．6．（2022·浙江寧波市·八年級期中）下列說法正確的是（）A．一個命題一定有逆命題 B．一個定理一定有逆定理C．真命題的逆命題一定是真命題 D．假命題的逆命題一定是假命題7．（2022·江蘇徐州·七年級期末）“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”的逆命題為_______________．8．（2022春·遼寧葫蘆島·八年級期中）如圖，在，，，點在上．求證：(1)；(2)．9．（2020春·浙江寧波·八年級?？计谥校┰谌鐖D所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位．(1)請你在圖1中畫一個以格點為頂點，面積為6個平方單位的等腰三角形；(2)請你在圖2中畫一個以格點為端點，長度為的線段；(3)請你在圖3中畫一個以格點為頂點，為直角邊的直角三角形．10．（2022秋·廣東汕尾·八年級?？茧A段練習）在四邊形中，，，，．(1)求的度數(shù)；(2)求四邊形的面積．11．（2021春·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）2021年12月12日是西安事變85周年紀念日，西安事變及其和平解決在中國社會發(fā)展中占有重要的歷史地位，為中國社會的發(fā)展起到了無可替代的作用．為此，某社區(qū)開展了系列紀念活動，如圖，有一塊三角形空地ABC，社區(qū)計劃將其布置成展區(qū)，區(qū)域擺放花草，陰影部分陳列有關西安事變的歷史圖片，現(xiàn)測得米，米，米，米，且．(1)求的長；(2)求陰影部分的面積．12．（2022春·河南平頂山·八年級校聯(lián)考期中）某氣象局監(jiān)測到一個沙塵暴中心沿東西方向有A向B移動，已知點C處為以城鎮(zhèn)，且點C與A、B兩點的距離，以沙塵暴中心為圓心，周圍以內(nèi)都會受到沙塵暴影響．(1)通過計算說明城鎮(zhèn)C是否會受到影響；(2)若沙塵暴中心的移動速度為，則沙塵暴影響該城鎮(zhèn)持續(xù)的時間有多長？13．（2022·全國·八年級階段練習）如圖，在中，是過點A的直線，于D，于點E；(1)若在的同側（如圖1所示）且．求證：；(2)若在的兩側（如圖2所示），其他條件不變，與垂直嗎？若垂直請給出證明；若不垂直，請說明理由．題組B能力提升練1．（2022·山東東營·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在方格中作以為一邊的，要求點也在格點上，這樣的能做出（

）A．個 B．個 C．個 D．個2．（2022春·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期中）在中它的三邊分別為a，b，c，條件：①；②；③；④；中，能確定是直角三角形的條件有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2022春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在的方格紙中小正方形的邊長為1，的三個頂點都在小正方形的格點上，下列結論正確的有_____（填寫序號）．①的形狀是直角三角形；②的周長是；③點B到邊的距離是2；④若點D在格點上（不與A重合），且滿足，這樣的D點有3個不同的位置．4．（2022春·浙江寧波·八年級校考期中）在中，，，，于點，則的長為______．5．（2022春·吉林·八年級期末）如圖，交于點B，，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．6．（2022·黑龍江哈爾濱·八年級校考期中）在四邊形ABCD中，AC、BD交于點E，且∠ACD=∠ADC．(1)如圖1，若AB=AD，求證：∠BAC=2∠BDC；(2)如圖2，在（1）的條件下，若∠BDC=30°，求證：BC=AC．(3)如圖3，若BC＝AD，∠BDC=30°，過A作AE⊥BD于E，過C作CF⊥BD于F，且EF：BE＝2∶11，DF=9，求BD的長．7．（2022春·江蘇揚州·八年級校考階段練習）如圖，已知等腰三角形的底邊，是腰上的一點，且，．(1)求證：是直角三角形；(2)求的長．8．（2022春·廣東深圳·八年級?？计谥校┤鐖D，有一張三角形紙片，三邊長分別為，，．(1)求證：；(2)將沿折疊，使點B與點A重合，求的長．9．（2022春·八年級課時練習）我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．（1）寫出你所知道的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱，．（2）如圖（1），請你在圖中畫出以格點為頂點，OA、OB為勾股邊，且對角線相同的所有勾股四邊形OAMB．（3）如圖（2），以邊AB作如圖正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，連接DE、DC，∠DCB＝30°．求證：DC2+BC2＝AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形．10．（2022·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期末）在5×5的方格紙中，每個小正方形的邊長為1，我們把三個頂點都是格點的三角形稱為格點三角形．按要求完成下列問題：（1）在圖①中，以AB為邊畫一個格點三角形，使其為等腰三角形；（2）在圖②中，以AB為邊畫一個格點三角形，使其為鈍角三角形且周長為6＋3；（3）如圖③，若以AB為邊的格點三角形的面積為3，則這個三角形的周長為．11．（2022春·北京西城·九年級北京育才學校校考期末）在中，，于點D，于點E，連接．(1)如圖1，當為銳角三角形時，①依題意補全圖形，猜想與之間的數(shù)量關系并證明；②用等式表示線段，，的數(shù)量關系，并證明．(2)如圖2，當為鈍角時，直接寫出線段，，的數(shù)量關系．12．（2022春·廣東佛山·八年級?？茧A段練習）如圖，為了求平面直角坐標系中任意兩點A，B之間的距離，可以為斜邊作，則點C的坐標為C（），于是，根據(jù)勾股定理可得．反之，可以將代數(shù)式的值看做平面內(nèi)點到點的距離．例如：可將代數(shù)式看作平面內(nèi)點到點的距離．根據(jù)以上材料解決下列問題：(1)若點，求P，Q兩點間的距離；(2)若點，點O是坐標原點，判斷是什么三角形，并說明理由．(3)求代數(shù)式的最小值．13．（2022春·陜西西安·八年級統(tǒng)考期中）問題發(fā)現(xiàn)．(1)如圖，等腰直角置于平面直角坐標系中，點，的坐標分別為，，是上一點，，則點的坐標為______．(2)問題探究：如圖，若點，的坐標分別為，，其余條件與相同，求經(jīng)過，兩點的直線表達式．(3)問題解決：國慶前夕，某景區(qū)為了提高服務質(zhì)量，想盡可能美化每一個角落，給游客美的享受．如圖，是景區(qū)東門的廣場一角，，兩面墻互相垂直，景區(qū)管理部門設計將，墻面布置成歷史故事宣傳墻，邊上用建筑隔板搭出段將該角落與廣場其他區(qū)域隔開，段布置成時事政治宣傳墻，剩余部分為廣場角出入口，內(nèi)部空間放置一些綠植和供游人休息的桌椅，考慮到防疫安全，還需在靠近出入口的處建一個體溫檢測點．已知，，平分，體溫檢測點在與的交點處．求點分別到，墻面的距離．題組C培優(yōu)拔尖練1．（北京市門頭溝區(qū)2022—2023學年八年級上學期期末調(diào)研數(shù)學試卷）如圖，在正方形網(wǎng)格內(nèi)，A、B、C、D四點都在小方格的格點上，則（

）A． B． C． D．2．（2022春·全國·八年級專題練習）同一平面內(nèi)有，，三點，，兩點之間的距離為，點到直線的距離為，且為直角三角形，則滿足上述條件的點有______個．3．（2021春·河北承德·八年級統(tǒng)考期末）閱讀下列內(nèi)容：設，，是一個三角形的三條邊的長，且最大，我們可以利用，，之間的關系來判斷這個三角形的形狀：①若，則該三角形是直角三角形；②若，則該三角形是鈍角三角形；③若，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個三角形的三邊長分別是，，，則最長邊是，，故由③可知該三角形是銳角三角形．（1）若一個三角形的三邊長分別是，，，則該三角形是__________；（2）若一個三角形的三邊長分別是，，，且這個三角形是直角三角形，則的值為__________；（3）帶一個三角形的三邊長，，，其中是最長邊長，則該三角形是__________三角形．4．（2022春·天津·八年級天津市第五十五中學期末）在等邊的兩邊所在直線上分別有兩點為外一點，且，，．探究：當分別在直線上移動時，之間的數(shù)量關系．(1)如圖，當點在邊上，且時，之間的數(shù)量關系是___________．(2)如圖，點在邊上，且當時，猜想(1)問的結論還成立嗎？若成立請寫出結論并證明；若不成立請說明理由．(3)如圖，當分別在邊的延長線上時，探索之間的數(shù)量關系如何？并給出證明．5．（2022春·江蘇南京·八年級南京市第一中學階段練習）定義：如圖①，若線段沿點M、N能折成一個直角三角形（其中A、B兩點重合），則稱點M、N是線段的“”折點；若M是直角頂點，則稱M為線段的“”折點．(1)當，，時，求證：點N是線段的“”折點；(2)若點M、N是線段的“”折點，且AM為直角邊，，，求的長；(3)如圖②，，，，將線段AE沿B、C、D三點折成含2個直角的四邊形（其中A、E兩點重合），且A、E不是線段AE的“”折點．直接寫出的長度．6．（2022春·江蘇·八年級姜堰區(qū)實驗初中校考周測）先閱讀下列文字，再回答后面的問題：已知在平面直角坐標系內(nèi)有兩點、，其