專題13 相似三角形的經(jīng)典模型（10大題型）（原卷版）

專題13相似三角形的經(jīng)典模型（10大題型）【題型目錄】題型一A字型相似題型二8字型相似題型三AX型相似題型四母子型相似題型五三角形內(nèi)接矩形相似題型六射影定理相似題型七旋轉(zhuǎn)相似題型八k字型相似題型九折疊相似題型十動(dòng)態(tài)相似【經(jīng)典例題一A字型相似】【模型解讀】①如圖，在中，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，，則，．②模型拓展1：斜交A字型條件：，圖2結(jié)論：；③模型拓展2：如圖，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?．1．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，P為的邊上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，，，的面積分別為S，S1，S2．若，則的值是（）

A．24 B．12 C．6 D．102．（2023·廣東深圳·?？既＃┤鐖D，在中，，D是上一點(diǎn)，點(diǎn)E在上，連接交于點(diǎn)F，若，則＝．3．（2023秋·上海長寧·九年級(jí)上海市第三女子初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交邊BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作CA的平行線，交邊AB于點(diǎn)E．(1)求線段DE的長；(2)取線段AD的中點(diǎn)M，連接BM，交線段DE于點(diǎn)F，延長線段BM交邊AC于點(diǎn)G，求的值．4．（2022春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）王華同學(xué)在晚上由路燈AC走向路燈BD，當(dāng)他走到點(diǎn)P時(shí)，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到路燈AC的底部，當(dāng)他向前再步行12m到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈BD的底部．已知王華同學(xué)的身高是1.6m，兩個(gè)路燈的高度都是9.6m．(1)求兩個(gè)路燈之間的距離；(2)當(dāng)王華同學(xué)走到路燈BD處時(shí)，他在路燈AC下的影子長是多少？【經(jīng)典例題二8字型相似】【模型解讀】①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?；②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?．③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．1．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，，連接BE交AC于點(diǎn)G，延長BE交CD的延長線于點(diǎn)F，則的值為（）A． B． C． D．2．（2021秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，在正方形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為對(duì)角線上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，則正方形的邊長為cm．3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）正方形中，，點(diǎn)是對(duì)角線上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折得到，直線交射線于點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)用含的式子表示；(2)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，試探究的值是否發(fā)生變化？若不變，求出它的值若變化，請(qǐng)說明理由；(3)若，求的值．4．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，連接，交線段于點(diǎn)，若，求的值．(3)如圖2，已知拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，與直線，分別交于、兩點(diǎn)．試問是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．【經(jīng)典例題三AX型相似】【模型解讀】A字型及X字型兩者相結(jié)合，通過線段比進(jìn)行轉(zhuǎn)化.1、（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交CD的延長線于點(diǎn)G，若AF＝2FD，則的值為（）A． B． C． D．2、（2022·河北石家莊·九年級(jí)期末）已知中，，（如圖）．以線段為邊向外作等邊三角形，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接并延長交線段于點(diǎn)．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）連接，交于點(diǎn)．①若，求的長；②作，垂足為，求證：．3、（2022·河南·鶴壁市淇濱中學(xué)九年級(jí)期中）已知，平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在直線上截取，連接，交于，則___________．4、（2022·湖南株洲·九年級(jí)期末）如圖（1）所示：等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過D點(diǎn)的直線B1C1⊥AC于C1交AB的延長線于B1．（1）請(qǐng)你探究：，是否都成立？（2）請(qǐng)你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線段AD為其內(nèi)角角平分線，請(qǐng)問一定成立嗎？并證明你的判斷．（3）如圖（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90?，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，試求的值．【經(jīng)典例題四母子型相似】【模型解讀】如圖為斜“A”字型基本圖形．當(dāng)時(shí)，，則有．．如圖所示，當(dāng)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，為其常見的一個(gè)變形，即子母型．當(dāng)時(shí)，，則有．1．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等邊中，，點(diǎn)是以為圓心，半徑為3的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，，連接，則線段的最大值與最小值之積為（

）A．27 B．26 C．25 D．242．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，點(diǎn)在邊上，且，若，，則的長為．3．（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點(diǎn)P為這個(gè)三角形的“理想點(diǎn)”．(1)如圖①，若點(diǎn)D是的邊AB的中點(diǎn)，，，試判斷點(diǎn)D是不是的“理想點(diǎn)”，并說明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點(diǎn)D是的“理想點(diǎn)”，求CD的長．4（2023·湖北襄陽·校考一模）如圖，點(diǎn)E是的內(nèi)心，的延長線和的外接圓相交于點(diǎn)D，交于F．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：；(3)若，求的長．【經(jīng)典例題五三角形內(nèi)接矩形相似】【模型解讀】由之前的基本模型（A型或AX型）推導(dǎo)出來的。結(jié)論：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，1．（2022秋·山東日照·九年級(jí)日照市新營中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，點(diǎn)E在上，于點(diǎn)F，，已知的面積為a，的面積為b，則矩形的面積為（）A． B． C． D．2．（2022秋·安徽阜陽·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，在中，，，．

（1）若四邊形為的內(nèi)接正方形，則正方形的邊長為；（2）若四邊形為的內(nèi)接矩形，當(dāng)這個(gè)矩形面積最大時(shí)，則矩形的邊長為．3．（2022秋·湖北宜昌·九年級(jí)校考期中）如圖，在中，，高．矩形的一邊在邊上，E、F兩點(diǎn)分別在、上，交于點(diǎn)H．

(1)若矩形為正方形，求該正方形的邊長．(2)設(shè)，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形的面積最大？并求其最大值．4．（2023春·吉林長春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖①，在中，，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線以每秒個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，以為邊向上作矩形，點(diǎn)在或的延長線上，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（秒）．

(1)求的長；(2)當(dāng)平分矩形的周長時(shí)，求的值；(3)當(dāng)點(diǎn)在的直角邊的垂直平分線上時(shí)，直接寫出的值；(4)如圖②，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，、分別交邊于點(diǎn)、，當(dāng)與圖中某個(gè)三角形全等時(shí)，求的值．【經(jīng)典例題六射影定理相似】【模型解讀】①如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常見的結(jié)論有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.②拓展：（1）正方形、長方形中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)射影定理模型，如圖，在和內(nèi)均有射影定理模型．（2）如圖，在圓中也會(huì)出現(xiàn)射影定理模型．1、（2022秋?青羊區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E為AB上一點(diǎn)，分別以ED、EC為折痕將兩個(gè)角(∠A、∠B)向內(nèi)折起，點(diǎn)A、B恰好落在CD邊的點(diǎn)F處，若AD＝3，BC＝5，則EF的長是（）A.eq\r(15)B．2eq\r(15)C.eq\r(17)D．2eq\r(17)2、（2022秋?杜爾伯特縣期末）如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分別為D、E兩點(diǎn)，則圖中與△ABC相似的三角形有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)3、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．4、（2022秋?汝州市校級(jí)月考）中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)F，且有，過F點(diǎn)作于點(diǎn)H．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求的長．【經(jīng)典例題七旋轉(zhuǎn)相似】【模型解讀】①如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.②如圖所示，和都是等腰直角三角形，的延長線與相交于點(diǎn)P，則，且相似比為，與的夾角為．總結(jié)：旋轉(zhuǎn)相似型中由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形與由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、另一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形相似．③如圖所示，，則，，且．1．（2021秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心將矩形ABCD旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的矩形記為AEFG，如圖所示．CD所在直線與AE、GF交于點(diǎn)H、I，CH＝IH．則線段HI的長度為（）A．3 B．2 C．5 D．2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到，連接，交于點(diǎn)，則的長為．

3．（2022秋·江西吉安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式．通過活動(dòng)可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動(dòng)手動(dòng)腦能力，拓展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn)．讓我們一起動(dòng)手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會(huì)活動(dòng)帶給我們的樂趣．折一折：將正方形紙片折疊，使邊都落在對(duì)角線上，展開得折痕，，連接，如圖1．

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，如圖2．剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對(duì)角線剪開，如圖4．(1)______，寫出圖中兩個(gè)等腰三角形：______（不需要添加字母）；(2)線段之間的數(shù)量關(guān)系為______；(3)連接正方形對(duì)角線，若圖2中的的邊分別交對(duì)角線于點(diǎn)G、點(diǎn)H．如圖3，求的值．4．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）如圖1，在中，，，過點(diǎn)A作直線，過點(diǎn)B，C分別作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，D．

操作探究：（1）如圖2，若直線l從圖1狀態(tài)開始繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）如圖3，若直線l從圖1狀態(tài)開始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與線段BC相交于點(diǎn)G，請(qǐng)?jiān)偬骄烤€段的數(shù)量關(guān)系并說明理由；嘗試應(yīng)用：（3）在圖3中，延長線段交線段AC于點(diǎn)F，若，，求．【經(jīng)典例題八k字型相似】【模型解讀】(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點(diǎn)，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補(bǔ)充：其他常見的一線三等角圖形1．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形內(nèi)放一個(gè)Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角頂點(diǎn)D在半徑OB上，OD＝2DB，點(diǎn)E在半徑OA上，點(diǎn)F在弧上．則半徑OA的長為（

）A． B．2 C． D．2．（2023春·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，將△ABC沿EF折疊使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，若BD:DE=2:3，則CF=．3．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，，將邊繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，在射線上取點(diǎn)D，使得．請(qǐng)求出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）類比探究：如圖2，若，作，且，其他條件不變，則線段與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?如果變化，請(qǐng)寫出變化后的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（3）拓展延伸：如圖3，正方形的邊長為6，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且，把線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，直接寫出線段的長．

4．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點(diǎn)E，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫出AP的長．【經(jīng)典例題九折疊相似】1．（2021秋·浙江湖州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將長方形紙片分別沿，折疊，點(diǎn)D，E恰好重合于點(diǎn)M．記面積為，面積為，且，則的值為（

）

A． B． C． D．2．（2023·河南信陽·?？既＃┤鐖D，正方形中，，點(diǎn)P為射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接，把沿折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)剛好落在線段的垂直平分線上時(shí)，的長為．

3．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將邊長為3的正方形沿直線折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），點(diǎn)落在點(diǎn)處，與交于點(diǎn)，折痕分別與邊，交于點(diǎn)，，連接．

(1)求證：；(2)若，求的長．4．（2023·江蘇泰州·校考三模）如圖，已知中，，E是上的一點(diǎn)，，點(diǎn)D是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿折疊，點(diǎn)C與重合，連接．

(1)求證：；(2)若點(diǎn)F是上一點(diǎn)，且，求的最小值．【經(jīng)典例題十動(dòng)態(tài)相似】1．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)是在以為圓心、以為半徑的圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于（

）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，沿邊向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，連接．動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的速度為，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的速度為，且．當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，M，N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，將四邊形沿翻折，得到四邊形．若在某一時(shí)刻，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好與的中點(diǎn)重合，則的值為．

3．（2023·江蘇淮安·校考二模）如圖：已知菱形中，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接交外角角平分線于點(diǎn)，連接，，交于點(diǎn)．

(1)如圖，①設(shè)的度數(shù)為，直接寫出的取值范圍______；②當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，連接，求證：；(2)如圖，過點(diǎn)作的平行線，且使，連接，①證明：；②當(dāng)，時(shí)，求的長．4．（2023春·江蘇無錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，正方形與正方形的頂B重合，、分別在、邊上，連接，則有：①______；②直線與直線所夾的銳角等于______度；（2）理解運(yùn)用將圖1中的正方形繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，①如圖2，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；②如圖3，若D、F、G三點(diǎn)在同一直線上，且過邊的中點(diǎn)O，，直接寫出的長等于______；（3）拓展延伸如圖4，點(diǎn)P是正方形的邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），連接，沿將翻折到位置，連接并延長，與的延長線交于點(diǎn)F，連接，若，則的值是否是定值？請(qǐng)說明理由．

【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，，分別交于點(diǎn)G，H，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖①，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），以AD為邊向右作等邊△ADE，邊DE與AC相交于點(diǎn)F，設(shè)BD＝x，CF＝y(tǒng)，若y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象如圖②所示，則等邊三角形ABC的面積為（）A．3 B． C． D．3．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，邊長為10的等邊中，點(diǎn)D在邊上，且，將含角的直角三角板（）繞直角頂點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，分別交邊于P、Q，連接，當(dāng)時(shí)，的長為（

）A．6 B． C． D．4．（2021秋·四川眉山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，則下列結(jié)論：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正確的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)5．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，點(diǎn)在上，，若，，則線段的長為．6．（2023·廣東深圳·?？既＃┤鐖D，在中，，D是上一點(diǎn)，點(diǎn)E在上，連接交于點(diǎn)F，若，則＝．7．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，∠MPN=90°，邊長為6的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊PM、PN上移動(dòng)，連接PC，Q為PC上一點(diǎn)，且PQ=2QC，則線段BQ長度的最小值為．8．（2021秋·四川成都·九年級(jí)四川省成都市七中育才學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，連