基本計(jì)數(shù)原理課件（2課時(shí)） 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊

2024蒙城實(shí)驗(yàn)永興中學(xué)劉小賢北師大版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第五章

計(jì)數(shù)原理惜時(shí)問學(xué)守道向善第1節(jié)

基本計(jì)數(shù)原理前

言

在日常的生產(chǎn)、生活中,我們常常會遇到一些需要計(jì)數(shù)的問題.例如:用8個(gè)數(shù)字:1,2,3,4,5,6,7,8組成電話號碼,共可以組成多少種不同的電話號碼?又例如:從10位同學(xué)中,選出兩位同學(xué)當(dāng)組長，共有多少種選法?

本章主要介紹分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理,我們將利用這兩個(gè)原理,討論排列、組合等簡單計(jì)數(shù)問題,并得到重要的二項(xiàng)式定理,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。探究展示探究一：1.1

分類加法計(jì)數(shù)原理問題1：從甲地到乙地，可以乘飛機(jī)，可以乘火車，也可以乘輪船，還可以乘汽車.

每天有2個(gè)班次的飛機(jī)，有4個(gè)班次的火車，有2個(gè)班次的輪船，有1班次的汽車.那么，乘坐以上交通工具中的一種從甲地到乙地，在一天中共有多少種選擇呢?分析:

如圖，該問題需要完成的是：從甲地到乙地共有多少種方法.所有方法可以分成：乘飛機(jī)、火車、輪船、汽車4類辦法：

第一類辦法,乘飛機(jī)，有2種方法;

第二類辦法,乘火車，有4種方法;

第三類辦法,乘輪船,有2種方法;

第四類辦法，乘汽車，有1種方法.所以，從甲地到乙地共有2+4+2+1=9種方法.

探究展示探究一：1.1

分類加法計(jì)數(shù)原理特點(diǎn)：（1）完成一件事有若干種方法，這些方法可以分成n類，且類與類之間兩兩不交；（2）用每一類中的每一種方法都可以完成這件事；（3）把各類的方法數(shù)相加，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù).探究展示探究一：1.1

分類加法計(jì)數(shù)原理

完成一件事，可以有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，則完成這件事共有：

2）首先要根據(jù)具體的問題確定一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)，在分類標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類，然后對每類方法計(jì)數(shù).1）各類辦法之間相互獨(dú)立,都能獨(dú)立的完成這件事，要計(jì)算方法種數(shù),只需將各類方法數(shù)相加,因此分類計(jì)數(shù)原理又稱加法原理.說明N=m1+m2+?+mn

種不同的方法.探究展示探究二：1.2分步乘法計(jì)數(shù)原理問題2：春節(jié)到了，某同學(xué)要與父母一起參加家庭聚會.（1）她有3件不同的上衣，4條不同的褲子，如果把1件上衣和1條褲子看作一種搭配方法，那么有多少種搭配方法？分析:

（1）先看褲子的選擇方法數(shù)，有4條不同的褲子，則有4種選擇方法；每一條褲子對應(yīng)3件不同的上衣，因此，

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有N=3+3+3+3=4×3=12種搭配方法.探究展示探究二：1.2分步乘法計(jì)數(shù)原理問題2：春節(jié)到了，某同學(xué)要與父母一起參加家庭聚會.（2）在第（1）問的條件下，她還有5雙不同的鞋子，如果把1件上衣、1條褲子和1雙鞋子看作一種搭配方法，那么共有多少種搭配方法？因此，

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有N=12+12+12+12+12=5×12==5×4×3=60種搭配方法.探究展示探究二：1.2分步乘法計(jì)數(shù)原理

若再考慮圍巾、帽子等因素，則可以按照類似的思路繼續(xù)進(jìn)行.因此，以上問題有如下特點(diǎn)：實(shí)際上，

問題（1）是分兩步完成，第1步確定褲子有4種選擇方法，第2步確定每一條褲子對應(yīng)3件上衣；問題（2）是在問題（1）的基礎(chǔ)上確定每一雙鞋子對應(yīng)12種褲子和上衣的搭配方法，即需要分三步完成.

（1）完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟，缺一不可；（2）完成每一步有若干種方法，且每一步對其它步?jīng)]有影響；（3）把各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù).

探究展示探究二：1.2分步乘法計(jì)數(shù)原理

完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，……，做第n步有mn種方法，則完成這件事共有

1）各個(gè)步驟相互依存,只有各個(gè)步驟都完成了,這件事才算完成,將各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘得到完成這件事的方法總數(shù),又稱乘法原理.說明N=m1×m2×?×

mn

種方法.2）首先要根據(jù)具體問題的特點(diǎn)確定一個(gè)分步的標(biāo)準(zhǔn)，然后對每步方法計(jì)數(shù).探究展示局部小結(jié)：分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事，有n類辦法，各類辦法之間相互獨(dú)立,都能獨(dú)立的完成這件事，每類辦法數(shù)相加；分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事，需要經(jīng)過n個(gè)步驟，缺一不可，各個(gè)步驟相互依存,只有各個(gè)步驟都完成了,這件事才算完成，每步辦法數(shù)相乘.訓(xùn)練矯正探究展示探究三：1.3基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用例1在1，2，3，…，200中，能夠被5整除的數(shù)共有多少個(gè)？解：能夠被5整除的數(shù)，末位數(shù)字是0或5，因此，我們把1，2，3，…，200中能夠被5整除的數(shù)分成兩類來計(jì)數(shù)：第一類：末位數(shù)字是0的數(shù)，一共有20個(gè).第二類：末位數(shù)字是5的數(shù)，一共有20個(gè).根據(jù)加法原理，在1，2，3，…，200中，能夠被5整除的數(shù)共有20+20=40個(gè).關(guān)鍵：能夠被5整除的數(shù)，分成幾類？每類方法數(shù)怎樣計(jì)算？探究展示探究三：1.3基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用例2如圖,從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從C村去D村的道路有3條.李明要從A村先到B村，再經(jīng)過C村，最后到D村，一共有多少條線路可以選擇?A村B村C村北南中北南D村分析:

整個(gè)行程必須通過3個(gè)步驟：先從A村到B村，再從B村到C村，然后從C村到D村.

從A村到B村有3條路，選擇這3條路中的任意都可到達(dá)B村，再從B村到C村又有2條路.因此，從A村經(jīng)B村到C村一共有：3×2=6條線路可以選擇.

對于這6條路中的每一條，再從C村到D村又有3條路.因此，整個(gè)行程一共有：3×2×3=18條線路可以選擇.

探究展示探究三：1.3基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用例3有一項(xiàng)活動，需在3名教師、8名男生和5名女生中選人參加.（1）若只需一人參加，有多少種選法？（2）若需教師、男生、女生各1人參加，有幾種選法？解（1）只要選出1人就可以完成這件事，而選出的1人有3種不同類型，即教師、男生或女生，因此要分類相加.

第一類：選出的是教師，有3種選法.

第二類：選出的是男生，有8種選法.

第三類：選出的是女生，有5種選法.

根據(jù)加法原理，共有N=3+8+5=16種選法.探究展示探究三：1.3基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用例3有一項(xiàng)活動，需在3名教師、8名男生和5名女生中選人參加.（1）若只需一人參加，有多少種選法？（2）若需教師、男生、女生各1人參加，有幾種選法？解（2）完成這件事需要分別選出1名教師、1名男生和1名女生，可以先選教師，再選男生，最后選女生，因此要分步相乘.

第一步：選1名教師，有3種選法.

第二步：選1名男生，有8種選法.

第三步：選1名女生，有5種選法.

根據(jù)乘法原理，共有N=3×8×5=120種選法.探究拓展探究四：電視臺在“歡樂大本營”節(jié)目中拿出兩個(gè)信箱，其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎確定幸運(yùn)觀眾，若先從兩信箱中確定一名幸運(yùn)之星，再從兩信箱剩下的觀眾中各確定一名幸運(yùn)伙伴，有多少種不同的結(jié)果？解：分兩大類：（1）幸運(yùn)之星在甲箱中抽，先定幸運(yùn)之星，再在兩箱中各定一名幸運(yùn)伙伴有：

30×29×20=17400種結(jié)果；（2）幸運(yùn)之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11400種結(jié)果；因此共有不同結(jié)果17400+11400=28800種.

大家在綜合運(yùn)用兩個(gè)原理時(shí)，既要會合理分類，又能合理分步，一般情形是先分類后分步.探究拓展探究五：現(xiàn)有高一年級的四個(gè)班的學(xué)生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組． (1)選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？ (2)每班選一名組長，有多少種不同的選法？ (3)推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？解(1)分四類：第一類，從一班學(xué)生中選1人，有7種選法；第二類，從二班學(xué)生中選1人，有8種選法；第三類，從三班學(xué)生中選1人，有9種選法；第四類，從四班學(xué)生中選1人，有10種選法．所以，共有不同的選法N＝7＋8＋9＋10＝34(種)探究拓展探究五：現(xiàn)有高一年級的四個(gè)班的學(xué)生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組． (1)選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？ (2)每班選一名組長，有多少種不同的選法？ (3)推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？解(2)分四步：第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長．

所以，共有不同的選法N＝7×8×9×10＝5040(種)．探究拓展探究五：現(xiàn)有高一年級的四個(gè)班的學(xué)生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組． (1)選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？ (2)每班選一名組長，有多少種不同的選法？ (3)推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？解(3)分六類，每類又分兩步：從一、二班學(xué)生中各選1人，有7×8種不同的選法；從一、三班學(xué)生中各選1人，有7×9種不同的選法；從一、四班學(xué)生中各選1人，有7×10種不同的選法；從二、三班學(xué)生中各選1人，有8×9種不同的選法；從二、四班學(xué)生中各選1人，有8×10種不同的選法；從三、四班學(xué)生中各選1人，有9×10種不同的選法．

所以，共有不同的選法N＝7×8＋7×9＋7×1