2023學(xué)年完整公開課版數(shù)學(xué)歸納法

2.3數(shù)學(xué)歸納法問題1:大球中有5個小球，如何證明它們都是

綠色的？

問題2:完全歸納法

不完全歸納法問題3：某人看到樹上烏鴉是黑的，深有感觸地說全世界的烏鴉都是黑的。……

：由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法結(jié)論一定可靠結(jié)論不一定可靠考察全體對象,得到一般結(jié)論的推理方法考察部分對象,得到一般結(jié)論的推理方法歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法歸納法通過觀看視頻，大家一起討論一下:一般地，多米諾骨牌游戲的原理是什么？(條件是什么）多米諾骨牌有若干塊骨牌豎直擺放，若將它們?nèi)客频?，有什么辦法？如何解決不完全歸納法存在的問題呢？

⑴第一塊骨牌倒下；⑵任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下?兩個條件的作用：條件⑴：奠基；條件⑵：遞推關(guān)系

對于由不完全歸納法得到的某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，我們常采用下面的方法來證明它們的正確性：（1）證明當(dāng)n取第一個值n0(例如n0=1)時命題

成立;【歸納奠基】（2）假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥n0)時命題成立證明當(dāng)n=k+1時命題也成立.

這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法【歸納遞推】框圖表示例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)時，當(dāng)n＝1時，左邊所得項是

；當(dāng)n＝2時，左邊所得項是

；1+2+31+2+3+4+5A、1B、1+aC、1+a+a2D、1+a+a2+a3C[解析]

∵1＋12＋14＋…＋127－1＝1－è???÷?1271－12＝2－126＝27－126＝12764

而1＋12＋14＋…＋128－1>12764，故應(yīng)選B.

[答案]

BD5：試問等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立嗎？某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法給出了如下的證明，請問該同學(xué)得到的結(jié)論正確嗎？解:設(shè)n＝k時成立，即這就是說，n＝k+1時也成立2+4+6+…+2k＝k2+k+1則當(dāng)n=k+1時2+4+6+…+2k+2(k+1)＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1

所以等式對任何n∈N*都成立事實上，當(dāng)n＝1時，左邊＝2，右邊＝3左邊≠右邊，等式不成立該同學(xué)在沒有證明當(dāng)n=1時，等式是否成立的前提下，就斷言等式對任何n∈N*都成立，為時尚早證明：①當(dāng)n=1時，左邊＝右邊＝②假設(shè)n=k時，等式成立，那么n=k+1時等式成立這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式也成立根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何n∈N＊都成立即第二步的證明沒有在假設(shè)條件下進行，因此不符合數(shù)學(xué)歸納法的證明要求6：下面是某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立的過程,它符合數(shù)學(xué)歸納法的證明要求嗎？為什么？（n∈N＊）nn2112121212132-=＋＋＋＋L

證明:(1)當(dāng)n=1時左＝1，右＝12＝1∴n=1時，等式成立(2)假設(shè)n=k時，等式成立，即1+3+5+…+(2k

1)=k2

那么，當(dāng)n=k+1時左＝1+3+5+…+(2k

1)＋[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1時命題成立由(1)、(2)可知等式對任何nN*都成立遞推基礎(chǔ)遞推依據(jù)用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+5+…+(2n

1)=n2

證明（1）當(dāng)n=1時，等式左邊等式右邊所以等式成立.

（2）假設(shè)n=k（k∈N+）時等式成立，那么當(dāng)n=k+1時，即n=k+1時等式成立.由（1）（2）可知，對任意n∈N+等式均成立例2用數(shù)學(xué)歸納法證明：

例題解析2．使用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的難點在第二個步驟上,這時除了一定要用到歸納假設(shè)外,還要較多的運用不等式證明的方法,對所要證明的不等式加以變形,尋求其與歸納假設(shè)的聯(lián)系是問題的突破口.注意:在用數(shù)學(xué)歸納法證題時注意以下三句話“遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫明莫忘掉.”【典例3】是否存在常數(shù)a、b,使得等式:對一切正整數(shù)n都成立,并證明你的結(jié)論.點撥:對這種類型的題目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系數(shù),然后用數(shù)學(xué)歸納法證明它對一切正整數(shù)n都成立.解:令n=1,2,并整理得以下用數(shù)學(xué)歸納法證明:

歸納、猜想、證明(2)假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論正確,即:則當(dāng)n=k+1時,故當(dāng)n=k+1時,結(jié)論也正確.根據(jù)(1)、(2)知,對一切正整數(shù)n,結(jié)論正確.(1)當(dāng)n=1時,由上面解法知結(jié)論正確.1.數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法.主要有兩個步驟一個結(jié)論:【歸納奠基】（1）證明當(dāng)n取第一個值n0（如n0=1或2等）時結(jié)論正確

（2）假設(shè)n=k時結(jié)論正確，證明n=k+1時結(jié)論也正確

（3）由（1）、（2）得出結(jié)論【歸納遞推】找準(zhǔn)起點奠基要穩(wěn)用上假設(shè)遞推才真寫明結(jié)論才算完整重點：兩個步驟、一個結(jié)論；注意：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉。布置課后作業(yè),鞏固延伸鋪墊(1)課本第64頁練習(xí)第1,2題；第67頁習(xí)題2.1第2題．(2)(辨析與思考)1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+22+23+…+2n－１=2n－1

(n∈N*)時,其中第二步采用下面的證法：

設(shè)n＝k時等式成立,即1+2+22+23+…+2k－1=2k－1,則當(dāng)n＝k＋1時,,即n＝k＋1時等式也成立．

2.求證:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n?1?3?…?(2n-1)證明：①n=1時：左邊=1+1=2，右邊=21?1=2，左邊=右邊，等式成立。

②假設(shè)當(dāng)n=k((k∈N）時有：

(k+1)(k+2)…(k+k)=2k?1?3?…?(2n-1),

當(dāng)n=k+1時：左邊=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)

=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)?