第四章+指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)檢測(cè)練習(xí) 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)檢測(cè)練習(xí)一、單選題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．2．設(shè)，，，則，，的大小是（

）A． B．C． D．3．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，則的圖象是（

）A． B．C． D．5．北京時(shí)間2021年10月16日0時(shí)23分，搭載神舟十三號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)F遙十三運(yùn)載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心按照預(yù)定時(shí)間精準(zhǔn)點(diǎn)火發(fā)射，約582秒后，神舟十三號(hào)載人飛船與火箭成功分離，進(jìn)入預(yù)定軌道，順利將翟志剛、王亞平、葉光富3名航天員送入太空，飛行乘組狀態(tài)良好，發(fā)射取得圓滿成功.據(jù)測(cè)算，在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度v（m/s）和燃料的質(zhì)量M（kg）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量m（kg）的關(guān)系式為v＝2000，若火箭的最大速達(dá)到10km/s，則燃料質(zhì)量與火箭（除燃料外）質(zhì)量的比值約為（）（參考數(shù)據(jù)：e5≈148.4）A．146.4 B．147.4 C．148.4 D．149.46．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．設(shè)（），且，則等于（）A．16 B．10C．2 D．818．計(jì)算：（

）A．1 B．2 C．3 D．6二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的。正確選項(xiàng)全對(duì)得5分，正確選項(xiàng)不全得2分，有錯(cuò)誤選項(xiàng)得0分）9．已知函數(shù)，下列是關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，其中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn) D．當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)10．已知，函數(shù)，則下列區(qū)間一定包含的零點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．11．設(shè)，，則下列結(jié)論正確的有（

）．A． B．C． D．12．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，若，，使得，則稱函數(shù)為Γ函數(shù)．則下列函數(shù)為Γ函數(shù)的是（

）A． B． C． D．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13．．14．已知函數(shù)，若函數(shù)（且）在區(qū)間上有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.15．函數(shù)恒過定點(diǎn)．16．函數(shù)，則.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．某地空氣中出現(xiàn)污染，須噴灑一定量的去污劑進(jìn)行處理，據(jù)測(cè)算，每噴灑1個(gè)單位的去污劑，空氣中釋放的濃度（單位：毫克/立方米）隨著時(shí)間（單位：天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的去污劑濃度為每次投放的去污劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和，由試驗(yàn)知，當(dāng)空氣中去污劑的濃度不低于（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到去污作用.(1)若一次噴灑個(gè)單位的去污劑，則去污時(shí)間可達(dá)幾天？(2)若第一次噴灑個(gè)單位的去污劑，6天后再噴灑個(gè)單位的去污劑，要使接下來的4天能夠持續(xù)有效去污，求的取值范圍.18．已知函數(shù)．（1）用單調(diào)性定義證明：函數(shù)在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)；（2）若關(guān)于的方程在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的正根時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．為響應(yīng)國(guó)家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”的號(hào)召，小張同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為6萬元，每年生產(chǎn)萬件，需另投入流動(dòng)成本為萬元，且，每件產(chǎn)品售價(jià)為12元．經(jīng)市場(chǎng)分析，生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完．（注：年利潤(rùn)=年銷售收入-固定成本-流動(dòng)成本）(1)寫出年利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式；(2)求年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，小張?jiān)谶@一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，并計(jì)算出最大利潤(rùn)值．20．已知為定義在的奇函數(shù)，且當(dāng)>0時(shí)，．(1)求的解析式；(2)若對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．21．已知，.（1）求和；（2）定義且，求和.22．2021年某城市一家圖書生產(chǎn)企業(yè)計(jì)劃出版一套數(shù)學(xué)新教輔書，通過市場(chǎng)分析，全年需投入固定成本30萬元，印刷（萬本），需另投入成本萬元，且由市場(chǎng)調(diào)研知，每本書售價(jià)為60元，且全年內(nèi)印刷的書當(dāng)年能全部銷售完.（1）求出2021年的利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬本）的函數(shù)關(guān)系式；（2）2021年年產(chǎn)量為多少本時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？求出最大利潤(rùn).參考答案1．C【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義即可判斷A，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)可判斷B，利用函數(shù)奇偶性的判斷以及其解析式即可判斷C，根據(jù)常見冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可判斷D.【詳解】對(duì)A，設(shè)，其定義域?yàn)?，則其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，則函數(shù)為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤，對(duì)B，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?，可知其不具備奇偶性，故B錯(cuò)誤，對(duì)C，當(dāng)，，可知其在上單調(diào)遞減，設(shè)，其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，故C正確，對(duì)D，根據(jù)冪函數(shù)圖象與性質(zhì)知為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤，故選：C.2．A【解析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別判斷與和的大小，即可得出結(jié)果．【詳解】∵根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：，，∴.故選：A.3．C【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，故選：C4．D【分析】先求得的解析式，再利用特值法排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，進(jìn)而得到正確選項(xiàng).【詳解】由，可得當(dāng)時(shí)，，則的圖象過點(diǎn)，則排除選項(xiàng)AB；當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)C，正確選項(xiàng)為D.故選：D5．B【分析】由10×1000＝2000，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意將v＝10km/s，代入v＝2000，可得10×1000＝2000，則，即≈148.4，解得.故選：B6．B【分析】判斷“”和“”之間的邏輯推理關(guān)系，即可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，若，則推不出；由于在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，可得到，則有，故“”是“”的必要不充分條件，故選：B7．A【分析】根據(jù)給定條件，用表示出，再求出即可計(jì)算作答.【詳解】由，，得，而，則有，解得，所以.故選：A8．B【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可求得.【詳解】由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)得故選：B9．CD【分析】令y＝0得，利用換元法將函數(shù)分解為f（x）＝t和f（t）＝﹣1，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【詳解】令，得，設(shè)f（x）＝t，則方程等價(jià)為f（t）＝﹣1，①若k＞0，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：∵f（t）＝﹣1，∴此時(shí)方程f（t）＝﹣1有兩個(gè)根其中t2＜0，0＜t1＜1，由f（x）＝t2＜0，此時(shí)x有兩解，由f（x）＝t1∈（0，1）知此時(shí)x有兩解，此時(shí)共有4個(gè)解，即函數(shù)y＝f[f（x）]+1有4個(gè)零點(diǎn)．②若k＜0，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：∵f（t）＝﹣1，∴此時(shí)方程f（t）＝﹣1有一個(gè)根t1，其中0＜t1＜1，由f（x）＝t1∈（0，1），此時(shí)x只有1個(gè)解，即函數(shù)y＝f[f（x）]+1有1個(gè)零點(diǎn)．故選：CD．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，利用換元法和數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題．10．CD【分析】通過計(jì)算得到，,分析即得解.【詳解】因?yàn)?，所?由的解析式可知其為二次函數(shù)，至多有兩個(gè)零點(diǎn).因?yàn)?，且，，所以?又,（三個(gè)正數(shù)相加結(jié)果為正），所以.而，時(shí)，,時(shí)，,所以符號(hào)不確定，無法根據(jù)二分法得到零點(diǎn)所在區(qū)間.所以在區(qū)間和上各有一個(gè)零點(diǎn).故選：CD11．BC【分析】由題意可得，，可判斷C；根據(jù)可判斷A；利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算可判斷B；根據(jù)可判斷D.【詳解】已知，，所以C正確；，即，因?yàn)椋?，A錯(cuò)誤；，B正確；因?yàn)?，，所以，D不正確．故選：BC.12．ABD【分析】逐一分析每個(gè)函數(shù)的定義域和值域后進(jìn)行判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)，的定義域值域都是，顯然符合題意，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，定義域，值域，由于定義域，值域的任意性，定義域內(nèi)任取，在值域中顯然可以找到對(duì)應(yīng)的相反數(shù)，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，若定義域內(nèi)取到正數(shù)，則值域中沒有與之對(duì)應(yīng)的正數(shù)的相反數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，由于值域的任意性，定義域內(nèi)的任意正數(shù)都能在值域中找到與之對(duì)應(yīng)的相反數(shù)，D選項(xiàng)正確.故選：ABD13．2【分析】根據(jù)指數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算律計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】故答案為:2.14．【解析】將函數(shù)（且）在區(qū)間上有4個(gè)不同的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有4個(gè)不同的交點(diǎn)，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性作出函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象，利用圖象【詳解】，所以為偶函數(shù)，設(shè)，則，因?yàn)樗?，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，即，所以在上遞增，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，因?yàn)楹瘮?shù)（且）在區(qū)間上有4個(gè)不同的零點(diǎn)，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有4個(gè)不同的交點(diǎn)，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖：由圖可知，，即，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解15．【分析】由恒成立可得定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】，恒過定點(diǎn).故答案為：.16．【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，求得所求表達(dá)式的值.【詳解】依題意.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)求值，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.17．(1)8天(2)【分析】（1）根據(jù)空氣中去污劑的濃度不低于，直接列出不等式，然后解出不等式即可；（2）根據(jù)題意，列出空氣中去污劑的濃度關(guān)于時(shí)間的關(guān)系式，然后利用基本不等式放縮，并解出不等式即可.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上可得：，故去污時(shí)間可達(dá)8天；（2）解：設(shè)從第一次噴灑起，第天，空氣中去污劑的濃度為：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，則，又，解得：.18．（1）見解析；（2）；（3）.【分析】（1）任取，作差，通分，因式分解，然后分和兩種情況討論，判斷的符號(hào)，即可證明出函數(shù)在區(qū)間和上的單調(diào)性；（2）求出函數(shù)在區(qū)間上的值域，由得知實(shí)數(shù)的取值范圍即為函數(shù)在區(qū)間上的值域，即可求解；（3）將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)，．當(dāng)時(shí)，，，，，即，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，，，，，即，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，且，．方程在有解，，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）方程為，則直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：由上圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)也考查了利用方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，解題時(shí)可以利用參變量分離法，利用數(shù)形結(jié)合思想求解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.19．(1)(2)8萬件，萬元【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合流動(dòng)成本關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式，即可求得結(jié)果；（2）判斷的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求得函數(shù)最值即可．【詳解】（1）因?yàn)槊考a(chǎn)品售價(jià)為12元，則萬件產(chǎn)品銷售收入為萬元，依題意得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以；（2）①當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，取得最大值11；②當(dāng)時(shí)，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)取得最大值，因?yàn)椋十?dāng)年產(chǎn)量為8萬元時(shí)，小張?jiān)谶@一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬元．20．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；（2）利用參變分離和分離常數(shù)，結(jié)合基本不等式，可得答案.【詳解】（1）令，則，即，由函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，因?yàn)楹瘮?shù)在上為奇函數(shù)，所以，故.（2）由，則不等式，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以，即對(duì)恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.21．(1)，；(2)，.【分析】(1)先分別求解出集合中的表示元素的范圍，即可求解出集合，即可求解出、的結(jié)果；(2)根據(jù)定義以及集合，即可求解出與的結(jié)果.【詳解】(1)因?yàn)椋?，所以，所以，又因?yàn)?，所以或，所以，所以，所以，?2)因?yàn)榍?，所以?【點(diǎn)睛】本題考查指、對(duì)數(shù)不等式與集合的交并的綜合