新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測專題3.3函數(shù)的奇偶性與周期性（講）原卷版

專題3.3函數(shù)的奇偶性與周期性新課程考試要求1．理解函數(shù)的奇偶性，會(huì)判斷函數(shù)的奇偶性，了解函數(shù)的周期性.核心素養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象（例5.6.14.15）、數(shù)學(xué)運(yùn)算（例3等）、邏輯推理（例2）、直觀想象（例9.10）等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).考向預(yù)測1.判斷函數(shù)的奇偶性與周期性；2.函數(shù)的奇偶性、周期性，通常與抽象函數(shù)、函數(shù)的圖象以及函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合考查，常結(jié)合三角函數(shù)加以考查，有時(shí)與數(shù)列結(jié)合考查周期數(shù)列相關(guān)問題．【知識清單】1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱2．函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.【考點(diǎn)分類剖析】考點(diǎn)一：函數(shù)奇偶性的判斷【典例1】【多選題】（2020·浙江杭州市·杭州高級中學(xué)高一月考）已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域都是R，且SKIPIF1<0是奇函數(shù)，SKIPIF1<0是偶函數(shù)，則（）A．SKIPIF1<0是奇函數(shù) B．SKIPIF1<0是奇函數(shù)C．SKIPIF1<0是偶函數(shù) D．SKIPIF1<0是偶函數(shù)【典例2】【多選題】（2021·浙江高一期末）下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在SKIPIF1<0為增函數(shù)的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【知識拓展】(1)奇、偶函數(shù)定義域的特點(diǎn)．由于f(x)和f(－x)須同時(shí)有意義，所以奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)奇、偶函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系的特點(diǎn)．①奇函數(shù)有f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?eq\f(f－x,fx)＝－1(f(x)≠0)；②偶函數(shù)有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?eq\f(f－x,fx)＝1(f(x)≠0)．(3)函數(shù)奇偶性的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)．①若奇函數(shù)在原點(diǎn)處有定義，則必有f(0)＝0.有時(shí)可以用這個(gè)結(jié)論來否定一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)；②既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對稱的非空集合；③函數(shù)根據(jù)奇偶性可分為奇函數(shù)、偶函數(shù)、既奇又偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)．(4)奇、偶函數(shù)圖象對稱性的應(yīng)用．①若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；②若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．【變式探究】1.（2019·天津耀華中學(xué)高三月考）下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（）A． B．C． D．2.（2021·上海高三二模）設(shè)SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0圖象經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0是偶函數(shù)”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件考點(diǎn)二：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【典例3】（2019·全國高考真題（文））設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=（）A． B．C． D．【典例4】（2021·黑龍江哈爾濱三中高三三模（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例5】（2021·黑龍江齊齊哈爾市·高三三模（理））已知實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.【總結(jié)提升】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(1)求函數(shù)解析式①將所求解析式自變量的范圍轉(zhuǎn)化為已知解析式中自變量的范圍；②將轉(zhuǎn)化后的自變量代入已知解析式；③利用函數(shù)的奇偶性求出解析式．(2)求參數(shù)值在定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的前提下，根據(jù)奇函數(shù)滿足f(－x)＝－f(x)或偶函數(shù)滿足f(－x)＝f(x)列等式，根據(jù)等式兩側(cè)對應(yīng)相等確定參數(shù)的值．特別要注意的是：若能夠確定奇函數(shù)的定義域中包含0，可以根據(jù)f(0)＝0列式求解，若不能確定則不可用此法．【變式探究】1.（2019·江西江西師大附中高三高考模擬（文））若函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．2.【多選題】（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)f(x)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(-∞，0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(-2)=0，則下列區(qū)間中使得xf(x)<0的有（）A．(-1，1) B．(0，2)C．(-2，0) D．(2，4)3.（2021·上海高三二模）已知函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________．考點(diǎn)三：函數(shù)周期性及其應(yīng)用【典例6】（2021·廣德市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考（文））已知對SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例7】（2021·山東青島市·高三二模）已知定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0的圖象連續(xù)不斷，有下列四個(gè)命題：甲：SKIPIF1<0是奇函數(shù)；乙：SKIPIF1<0的圖象關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱；丙：SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；?。汉瘮?shù)SKIPIF1<0的周期為2.如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【典例8】（2020·四川省石室中學(xué)高三一模（文））已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足,若，則()A． B． C． D．【規(guī)律方法】1．求函數(shù)周期的方法求一般函數(shù)周期常用遞推法和換元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝計(jì)算．遞推法：若f(x＋a)＝－f(x)，則f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.換元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，則f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．2．判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題．3．根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問題時(shí)，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．【變式探究】1.（2020·六盤山高級中學(xué)高三三模（文））奇函數(shù)的定義域?yàn)镽，若為偶函數(shù)，且，則＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．12.（2019·廣東高考模擬（文））已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(1+x)=f(1?x)，且f(1)=a，則f(2)+f(3)+f(4)=（）A．0 B．?a C．a(chǎn) D．3a3.（2019·山東高考模擬（文））已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A．2019 B．0 C．1 D．-1考點(diǎn)四：函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例8】（2021·寧夏銀川市·賀蘭縣景博中學(xué)高三二模（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，且滿足SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0?公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，則SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例9】（2020·山西省高三其他（文））已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【典例10】【多選題】（2020·山東省高三其他）已知偶函數(shù)滿足，則下列說法正確的是（）．A．函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù) B．函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)C．函數(shù)為奇函數(shù) D．函數(shù)為偶函數(shù)【典例11】（2020·重慶高三其他（文））定義在R上的奇函數(shù)滿足：，且當(dāng)時(shí)，，若，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．2 B．1 C．0 D．-1【典例12】（2021·湖南高三三模）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镈，對D內(nèi)的任意SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，恒有SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為非減函數(shù)．已知SKIPIF1<0是定義域?yàn)镾KIPIF1<0的非減函數(shù)，且滿足：①對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②對任意SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0的值為________．【規(guī)律方法】函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合．注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性．(2)周期性與奇偶性的綜合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．(3)單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合．解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解．（4）應(yīng)用奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱．【變式探究】1.（2020·山西省高三其他（文））已知函數(shù)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2.（2019·梅州市梅縣區(qū)松口中學(xué)高三月考（理））設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在單調(diào)遞減，則（