第02講 角與角的比較(8類熱點題型講練)（解析版）

第02講角與角的比較(8類熱點題型講練)1.掌握角的定義及其表示及角的分類；2.掌握角的單位轉(zhuǎn)化及計算；3.掌握鐘面角與方位角的計算.4.掌握角的大小比較的方法；5.掌握角平分線的定義及相關(guān)計算；6.掌握角的n等分的相關(guān)計算；知識點01角的概念定義1：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．定義2：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．知識點02角的表示方法表示方法圖例記法適用范圍用三個大寫字母表示OAOABBAOB或BOA任何情況下都適應(yīng).表示端點的字母必須寫在中間用一個大寫字母表示AAA以這個點為頂點的角只有一個用數(shù)字表示111任何情況下都適用.但必須在靠近頂點處加上弧線表示角的范圍，并注上數(shù)字或希臘字母用希臘字母表示知識點03鐘表上有關(guān)夾角問題鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每小時轉(zhuǎn)30°，時針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題．知識點04角的大小比較方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個角移到另一個角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得∠AOB<∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB=∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB>∠A′O′B′．知識點05角的和、差關(guān)系如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB=∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1=∠AOB-∠2．【說明】（1）用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．（2）利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．知識點06角平分線從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，∠AOC=∠BOC=∠AOB．題型01角的概念及表示方法【典例1】（2023春·河北承德·七年級校考開學(xué)考試）下列說法中，正確的是（

）A．一個周角就是一條射線 B．平角是一條直線C．角的兩邊越長，角就越大 D．也可以表示為【答案】D【分析】根據(jù)平角，周角的概念，角的大小及表示分別判斷即可．【詳解】解：A、周角的兩邊在同一射線上，不是一條射線，故錯誤，不合題意；B、平角的兩邊在同一直線上，平角有頂點，而直線沒有，故錯誤，不合題意；C、角的大小和兩邊的長度沒有關(guān)系，故錯誤，不合題意；D、也可以表示為，故正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了平角，周角的概念，角的大小及表示，屬于幾何基礎(chǔ)知識，要熟練掌握，比較簡單．【變式1】（2023秋·全國·七年級課堂例題）如圖所示，回答下列問題：(1)寫出能用一個字母表示的角：________________；(2)寫出以點B為頂點的角________________；(3)圖中共有______________個小于平角的角．【答案】(1)(2)(3)7【分析】（1）確定以這個字母為頂點的角只有1個，從而可得答案；（2）根據(jù)角的定義分別確定以B為頂點的角即可；（3）分別確定以A，B，C，E為頂點的小于平角的角即可．【詳解】（1）解：能用一個字母表示的角有：，．故答案為：，．（2）以為頂點的角有：，，．故答案為：，，．（3）圖中共有7個小于平角的角，分別是：，，，，，，．故答案為：7．【點睛】本題考查的是角的表示方法，熟記角的含義與角的表示方法是解本題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·七年級課時練習(xí)）根據(jù)給出的圖回答下列問題：

(1)表示成，這樣的表示方法是否正確？如果不正確，應(yīng)該怎樣改正？(2)圖中哪個角可以用一個字母來表示？(3)以為頂點的角有幾個？請表示出來．(4)與是同一個角嗎？請說明理由．(5)圖中共有幾個小于平角的角？【答案】(1)不正確，可表示為(2)(3)3個，見解析(4)見解析(5)11個【分析】（1）、（2）根據(jù)角的表示方法求解即可；（3）、（4）、（5）根據(jù)角的定義和表示方法回答即可．【詳解】（1）不正確，因為以為頂點的角不止一個，所以這樣的表示方法不正確，可表示為；（2）圖中可以用一個字母表示；（3）以A為頂點的角有3個，分別是、、；（4）因為這兩個角的頂點不同，所以不是同一個角．（5）圖中小于平角的角有：，，，，，，，，，，，共有11個小于平角的角．【點睛】本題考查的是角的定義和角的表示方法，掌握角的定義和角的表示方法是解題的關(guān)鍵．題型02鐘面角【典例2】（2023春·陜西西安·七年級?？奸_學(xué)考試）8點30分時刻，鐘表上時針與分針?biāo)M成的角為度．【答案】【分析】根據(jù)鐘表上的刻度是把一個圓平均分成了12等份，每一份是，鐘面上8點30分時，時針和分針之間相差個大格，用，即可得出答案．【詳解】解：鐘表上的刻度是把一個圓平均分成了12等份，則每一份是，∴8點30分時，時針和分針?biāo)鶌A的角是．故答案為：．【點睛】本題主要考查了鐘面上角的計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握鐘表上一個大格之間的夾角為．【變式1】（2023秋·湖南衡陽·七年級?？奸_學(xué)考試）李老師從家出發(fā)去單位上班，到單位的時間是，那么這段時間，分針走了°，時針走了°．【答案】21017.5【分析】先求出分針1分鐘走，時針1分鐘走，然后再根據(jù)時間求出分針和時針走的角度即可．【詳解】解：∵分針1小時走，時針1小時走，∴分針1分鐘走，時針1分鐘走，∴李老師從家出發(fā)去單位上班，到單位的時間是，那么這段時間，分針走了，時針走了．故答案為：210；17.5．【點睛】本題主要考查了鐘表上的角度問題，解題的關(guān)鍵是求出分針1分鐘走，時針1分鐘走．【變式2】（2023春·山西太原·七年級?？茧A段練習(xí)）我校下午到校時間為14時10分，則此時刻鐘表上的時針與分針的夾角為度．【答案】【分析】鐘表里，每一大格所對的圓心角是，每一小格所對的圓心角是，根據(jù)這個關(guān)系，求解即可．【詳解】解：時鐘指示14時10分時，分針指到2，時針指到2與3之間，時針從2到這個位置經(jīng)過了10分鐘，時針每分鐘轉(zhuǎn)，因而轉(zhuǎn)過，時針和分針?biāo)傻匿J角是．故答案為：．【點睛】本題考查鐘面角，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)表面上每一格，每一小格所對的圓心角是的規(guī)律，計算出分針與時針的夾角的度數(shù)．題型03與方向角有關(guān)的計算題【典例3】（2023春·湖北十堰·七年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在燈塔處觀測到輪船位于北偏西的方向，同時輪船在南偏東的方向，那么的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用方向角的定義，求出即可求解．【詳解】解：如圖，，．又，．故選：．

【點睛】本題主要考查了方向角，解題的關(guān)鍵是正確理解方向角的定義，得出角的度數(shù)．【變式1】（2023秋·河北張家口·七年級統(tǒng)考期末）如圖，甲從點A出發(fā)向北偏東方向走到點，乙從點A出發(fā)走到點，若，則乙從點A出發(fā)沿（

）方向走到點

A．南偏西 B．西偏南 C．南偏西 D．西偏南【答案】C【分析】先求得與正東方向的夾角的度數(shù)，即可求解．【詳解】解：由題意得：與正東方向的夾角為，∵，∴與正南方向的夾角為，即乙從點A出發(fā)沿南偏西方向走到點，故選：C．【點睛】本題考查了方向角，正確理解方向角的定義是關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·全國·七年級課堂例題）小麗、小影、小華三人每天相約在如圖所示的早餐店碰面，小麗家在早餐店南偏西方向上，小影家在點處，小華家在早餐店東南方向上，，且早餐店到小華家與小麗家的距離相等．

(1)在圖中畫出小華家的位置；(2)求的度數(shù)；(3)若，請說出小影家相對于早餐店的位置．【答案】(1)見解析圖；(2)；(3)小影家在早餐店的位置北偏西的位置上．【分析】（）根據(jù)要求畫出圖形即可；（）得與正東方向的夾角，從而求得的度數(shù)；（）求出與正北方向的夾角，根據(jù)方向角的定義判斷即可．【詳解】（1）如圖，點即為所求；

（2）∵，∴與正東方向的夾角為，；（3）由（）得與正東方向的夾角為，∵，∴與正東方向的夾角為：，∵正東和正北的夾角為，∴與正北方向的夾角為：，∴小影家在早餐店的位置北偏西的位置上．【點睛】此題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，方向角等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．題型04角的單位與角度制【典例4】（2023秋·全國·七年級課堂例題）計算：（1）′；（2）；（3）．【答案】【分析】（1）把轉(zhuǎn)化成即可得到答案；（2）轉(zhuǎn)化成即可得到答案；（3）按照秒、分的順序分別求和，滿60進一，即可得到答案．【詳解】解：（1），故答案為：，（2），故答案為：（3），故答案為：【點睛】此題考查了度分秒之間的轉(zhuǎn)換和角度的運算，熟練掌握度分秒之間的換算關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023秋·全國·七年級課堂例題）（1）1周角平角直角；（2）′=″；（3）′，．【答案】24603600751.5【分析】根據(jù)度、分、秒之間的關(guān)系直接換算即可．【詳解】解：（1）1周角平角直角；（2）；（3），．故答案為：2；4；60；3600；75；1.5．【點睛】本題考查周角、平角、直角，度、分、秒的換算，解題的關(guān)鍵是掌握．【變式2】（2023秋·全國·七年級課堂例題）計算：（1）；

（2）；（3）；

（4）．【答案】【分析】根據(jù)度、分、秒的運算法則進行計算即可．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）．故答案為：，，，．【點睛】本題主要考查了度、分、秒的運算，熟練掌握運算法則，是解題的關(guān)鍵．題型05角的比較【典例5】（2023秋·七年級課時練習(xí)）如圖，，則與的大小關(guān)系是（

）

A． B．C． D．與無法比較大小【答案】C【分析】先根據(jù)得出，故可得出結(jié)論．【詳解】解：，，即．故選：C．【點睛】本題考查的是角的大小比較，熟知角比較大小的法則是解答此題的關(guān)鍵．【變式1】（2023秋·湖南郴州·七年級校聯(lián)考期末）如圖，若，則與的大小關(guān)系是（

）．A． B．C． D．不能確定【答案】C【分析】列出不等式，等量代換，即可求得結(jié)果．【詳解】解：，，且，．故選：C．【點睛】本題考查了比較角的大小，解題關(guān)鍵是列出不等式進行等量代換．【變式2】（2023秋·八年級課時練習(xí)）在圖中所示的4×4的網(wǎng)格中，記，，，則，，從小到大的排列順序是．

【答案】【分析】利用網(wǎng)格圖的特征，注意角的運用．【詳解】解：由圖知，,∴．∴．∵，∴．∴故答案為：

【點睛】本題考查網(wǎng)格圖中角的計算，理解網(wǎng)格圖的特征，運用是解題的關(guān)鍵．題型06三角板中角度計算問題【典例6】（2023春·山東淄博·六年級?？茧A段練習(xí)）將一副直角三角尺如圖放置，若，則等于．

【答案】/20度【分析】根據(jù)求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查的是角的和差計算，明確圖形中相關(guān)角之間的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023秋·江西九江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直角三角板的直角頂點O在直線上，線段，是三角板的兩條直角邊，射線是的平分線．

(1)當(dāng)時，求的度數(shù)；(2)當(dāng)時，_________（用含α的式子表示）．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用已知求得，利用角平分線的性質(zhì)得到，再利用平角的定義，可求；（2）利用（1）中方法可求．【詳解】（1）解：，，．∵平分，，，；（2）解：，，，∵平分，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了角的計算，角平分線的性質(zhì)，平角的定義，正確使用角平分線的性質(zhì)和平角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期末）如圖所示，以直線上的一點O為端點，在直線的上方作射線，使．將一塊直角三角尺的直角頂點放在點O處，且直角三角尺（）在直線的上方．設(shè)．

(1)當(dāng)時，求的大??；(2)若時，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)角的和差運算求解即可；（2）首先根據(jù)題意表示出，，然后作差求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，∵，∴．∵，∴．（2）解：當(dāng)時，∵，∴．∵，∴．∴．【點睛】本題主要考查角的加減運算，能夠熟練根據(jù)要求列角的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．題型07角平分線的有關(guān)計算【典例7】（2023秋·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）已知O為直線上一點，是直角，平分．

(1)如圖①，若，則__________；若，則__________；與的數(shù)量關(guān)系為__________；(2)當(dāng)射線繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，（1）中與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由．【答案】(1)（1）；；(2)仍然成立，理由見解析【分析】（1）先求得，再根據(jù)角平分線的定義求得，再根據(jù)平角定義求解即可；（2）設(shè)，仿照（1）中方法，先求得，再根據(jù)角平分線的定義求得，再根據(jù)平角定義求解即可．【詳解】（1）解：∵是直角，，∴，∵平分，∴，∴，則，若，則，故答案為：；；．（2）解：仍然成立，理由為：如圖2，設(shè)，∵是直角，∴，∵平分，∴，∴，則．【點睛】本題考查直角、平角定義、角平分線的定義，根據(jù)相關(guān)定義求解是解答的關(guān)鍵．【變式1】（2023秋·七年級課時練習(xí)）如圖所示，是平角，分別是的平分線．

(1)當(dāng)時，求的度數(shù)；(2)當(dāng)時，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平角，角平分線的意義，即可求出答案；（2）根據(jù)由（1）的方法得，，把代入即可求解．【詳解】（1）解：因為分別是的平分線，所以，．因為，所以．所以．（2）解：由（1）的方法得，．∴當(dāng)度時，則．【點睛】考查角平分線的意義、互為補角的意義，通過圖形直觀得出各個角之間的和差關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵，等量代換是常用的方法．【變式2】（2023秋·江蘇徐州·七年級?？茧A段練習(xí)）（1）如圖1所示，已知，平分，、分別平分、，求的度數(shù)；（2）如圖2，在（1）中把“平分”改為“是內(nèi)任意一條射線”，其他任何條件都不變，試求的度數(shù)；（3）如圖3，在（1）中把“平分”改為“是外的一條射線且點C與點B在直線的同側(cè)”，其他任何條件都不變，請你直接寫出的度數(shù)【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)角平分線定義求出和度數(shù)，即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線定義得出，，求出，代入求出即可；（3）根據(jù)角平分線定義得出，，求出，代入求出即可．【詳解】解：（1）∵，平分，∴，∵、分別平分、，∴，，∴；（2）∵、分別平分、，∴，，∴；（3）∵、分別平分、，∴，，∴．【點睛】本題考查的是角平分線的定義，熟知從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線是解答此題的關(guān)鍵．題型08角n等分線的有關(guān)計算【典例8】（2023秋·山西大同·七年級統(tǒng)考期末）在的內(nèi)部作射線，射線把分成兩個角，分別為和，若或，則稱射線為的三等分線．若，射線為的三等分線，則的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)題意得出或，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出，綜合即可得出答案．【詳解】解：∵，射線為的三等分線．∴或，∴，∴的度數(shù)為或．故選：C．【點睛】本題考查了角度的計算，理解題意，分類討論是解本題的關(guān)鍵．【變式1】（2023秋·浙江湖州·七年級統(tǒng)考期末）定義：從的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線，把分成的兩部分，射線叫做的三等分線．若在中，射線是的三等分線，射線是的三等分線，設(shè)，則用含x的代數(shù)式表示為（

）A．或或 B．或或 C．或或 D．或或【答案】C【分析】分四種情況，分別計算，即可求解．【詳解】解：如圖：射線是的三等分線，射線是的三等分線，則，，；如圖：射線是的三等分線，射線是的三等分線，則，，；如圖：射線是的三等分線，射線是的三等分線，則，，；如圖：射線是的三等分線，射線是的三等分線，則，，；綜上，為或或，故選：C．【點睛】本題考查了角的有關(guān)計算，畫出圖形，采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·福建龍巖·七年級統(tǒng)考期末）已知，以射線為起始邊，按順時針方向依次作射線、，使得，設(shè)，.(1)如圖1，當(dāng)時，若，求的度數(shù)；(2)備用圖①，當(dāng)時，試探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)備用圖②，當(dāng)時，分別在內(nèi)部和內(nèi)部作射線，，使，，求的度數(shù).【答案】(1)；(2)；理由見解析；(3)【分析】（1）根據(jù)圖形可知，繼而根據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)圖形得出，計算，即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況討論，①當(dāng)時，射線與重合，射線與互為反向延長線，②當(dāng)時，如圖4，射線、在的外部，結(jié)合圖形分析即可求解．【詳解】（1）如圖1，，在內(nèi)部，，，，，；（2）；理由如下：如圖2，，射線、分別在內(nèi)、外部，，，，；（3）①當(dāng)時，射線與重合，射線與互為反向延長線，則，，如圖3，，，，，；②當(dāng)時，如圖4，射線、在的外部，如圖4，則，，，，，，，.綜合①②得．【點睛】本題考查了結(jié)合圖形中角度的計算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2023秋·七年級課時練習(xí)）如圖，下列表示角的方法，錯誤的是（

）

A．與表示同一個角B．也可用來表示C．圖中共有三個角：，，D．表示的是【答案】B【分析】直接利用角的概念以及角的表示方法，進而分別分析得出即可；【詳解】解：A、和表示同一個角，故本選項不符合題意；B、不可以用表示，故本選項符合題意；C、圖是共有三個角：，，，故本選項不符合題意；D、表示的是，故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】此題考查了角的表示方法，根據(jù)圖形特點將每個角用合適的方法表示出來是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·七年級課時練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將統(tǒng)一化成“度、分、秒”的形式，即可比較大?。驹斀狻俊撸喙蔬x：A．【點睛】本題考查了角度的比較大小，解題的關(guān)鍵是將角度的度量單位化成統(tǒng)一的形式．3．（2023秋·山西忻州·七年級統(tǒng)考期末）下列運算正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，進行計算即可．【詳解】解：、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；、，原計算正確，故此選項符合題意；、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了度分秒的換算，掌握，是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·山東菏澤·七年級校考階段練習(xí)）在同一平面內(nèi)，，過點作射線，使得，則為(

)A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】分射線在內(nèi)部，和外部兩種情況討論計算即可．【詳解】當(dāng)射線在內(nèi)部時，如圖：

，當(dāng)射線在內(nèi)部時，如圖：

，故選：D．【點睛】本題考查了角的和差計算，解題關(guān)鍵是分射線在內(nèi)部，和外部兩種情況討論．5．（2023春·河南信陽·七年級校考開學(xué)考試）如圖，點是直線上一點，平分，則以下結(jié)論：①與互為余角；②；③；④若，則．其中正確的是（

）

A．只有①④ B．只有①③④C．只有③④ D．①②③④【答案】B【分析】根據(jù)補角以及角平分線的定義解決此題．【詳解】解：∵，∴，∴與互為余角，故①正確．∵平分，∴，∴無法推斷得到，故②錯誤．∵平分，∴，∴，∵，∴，故③正確．∵，∴．∵平分，∴故④正確．綜上：正確的有①③④．故選：B．【點睛】本題主要考查角平分線、補角，熟練掌握角平分線的定義以及補角的定義是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023春·山東泰安·六年級?？计谥校┯嬎悖海敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)，，計算求值；【詳解】解：，故答案為：；【點睛】本題考查以度、分、秒為單位的角的度量；掌握度、分、秒是60進制是解題關(guān)鍵．7．（2023春·廣東河源·七年級校考開學(xué)考試）如圖，，平分，，則度．

【答案】【分析】根據(jù)角平分線的定義得到，進而根據(jù)，即可求解．【詳解】解：∵平分，，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的定義，幾何圖形中角度的計算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·七年級?？计谀┤鐖D所示，兩個直角三角形的直角頂點重合，如果，那么

【答案】/度【分析】根據(jù)題意得到，再計算，然后根據(jù)進行計算即可．【詳解】解：，而，，．故答案為：．【點睛】本題考查了角的計算，關(guān)鍵是熟記：直角，平角．9．（2023秋·七年級課時練習(xí)）小明利用星期天搞社會調(diào)查活動，早晨8：00出發(fā)，中午12：30到家，小明到家時時針和分針夾角的度數(shù)是．

【答案】/165度【分析】時針在鐘面上每分鐘轉(zhuǎn)，分針每分鐘轉(zhuǎn)，鐘表上12：30時，時針與分針的夾角可以看成時針轉(zhuǎn)過12時，分針在數(shù)字6上，由此進行計算即可得到答案．【詳解】解：時針在鐘面上每分鐘轉(zhuǎn)，分針每分鐘轉(zhuǎn)，鐘表上12：30時，時針與分針的夾角可以看成時針轉(zhuǎn)過12時，分針在數(shù)字6上，鐘表12個數(shù)字，每相鄰兩個數(shù)字之間的夾角為，12：30時針與分針的夾角為：，小明到家時時針和分針夾角的度數(shù)是，故答案為：．【點睛】本題考查的是鐘表表盤與角度相關(guān)的特征，用到的知識點為：鐘表上12個數(shù)字，每相鄰兩個數(shù)字之間的夾角為，在鐘表問題中，常利用時針與分針轉(zhuǎn)動的度數(shù)關(guān)系：分針每轉(zhuǎn)動時針轉(zhuǎn)動，并且利用起點時針和分針的位置關(guān)系建立角的圖形．10．（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，射線繞點從位置開始，以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)；同時，射線繞點從位置開始，以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，并且當(dāng)與成角時，與同時停止旋轉(zhuǎn)．則在旋轉(zhuǎn)的過程中，經(jīng)過秒，與的夾角是．

【答案】或【分析】設(shè)轉(zhuǎn)動秒，與的夾角是，進行分情況畫圖，列方程即可得到結(jié)論．【詳解】設(shè)秒后，與的夾角是，如圖，

，∴，，∵，∴，即有，解得：，如圖，

∴，，∵，∴，即有，解得：，綜上可知：或，與的夾角是，故答案為：或．【點睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，角的有關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系．三、解答題11．（2023秋·河南漯河·七年級?？计谀┤鐖D，為直線上一點，，平分，．(1)填空：___________；(2)求的度數(shù)；(3)試判斷是否平分，并說明理由．【答案】(1)70(2)(3)平分，理由見解析【分析】（1）利用角平分線定義計算；（2）首先求出，再利用平角的定義求出；（3）根據(jù)與的度數(shù)，判斷是否相等．【詳解】（1）解：，平分，，故答案為：70；（2），由（1）得，，；（3）平分，理由如下：，平分．【點睛】本題考查了角的計算和角平分線，解題的關(guān)鍵是掌握角的和差，角平分線的定義．12．（2023秋·吉林松原·七年級統(tǒng)考期末）如圖①，貨輪停靠在點，發(fā)現(xiàn)燈塔在它的東北（東偏北或北偏東）方向上．貨輪在碼頭的西北方向上．

(1)仿照表示燈塔方位的方法，畫出表示貨輪方向的射線；(2)如圖②，兩艘貨輪從碼頭出發(fā)，貨輪向東偏北的的方向行駛，貨輪向北偏西的方向航行，求的度數(shù)．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】（1）根據(jù)方向角的定義，結(jié)合題意畫出方向角即可；（2）根據(jù)角的和差關(guān)系可得：．【詳解】