專題1.4 角平分線（學(xué)生版）

專題1.4角平分線1.會(huì)敘述角平分線的性質(zhì)及判定；2.能利用三角形全等，證明角平分線的性質(zhì)定理，理解和掌握角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理，能應(yīng)用這兩個(gè)性質(zhì)解決一些簡單的實(shí)際問題；3.會(huì)證明和運(yùn)用“三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等”；4.經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力．知識(shí)點(diǎn)01角平分線的性質(zhì)與判定【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等；角平分線的判定：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上；輔助線的添加：過角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線段?！局R(shí)拓展1】利用角平分線的性質(zhì)求面積（長度）例1．（2022春·遼寧撫順·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，對(duì)角線平分，則的面積為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【即學(xué)即練】1．（北京市燕山區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷）如圖，中，是邊的高線，平分，，，則的面積是（

）A． B． C． D．【知識(shí)拓展2】利用角平分線的性質(zhì)求角度例1．（2022春·安徽阜陽·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，平分，，，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練】2．（2022春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）兩把相同的長方形直尺按如圖所示方式擺放，記兩把直尺的接觸點(diǎn)為，其中一把直尺邊緣和射線重合，另一把直尺的下邊緣與射線重合，連接并延長．若，則的度數(shù)為（）A．6 B．5 C．5 D．4【知識(shí)拓展3】角平分線的相關(guān)最值問題例3．（2022春·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形中，，，連接，，垂足是且，點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【即學(xué)即練】3．（2022春·成都市·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，，，是的平分線．若，分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．【知識(shí)拓展4】角平分線的判定例4．（2022春·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一把直尺壓住射線，另一把完全一樣的直尺壓住射線并且與第一把直尺交于點(diǎn)，小明說：“射線就是的角平分線．”這樣說的依據(jù)是（

）A．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等B．角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等C．三角形角平分線的相交于一點(diǎn)D．角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上【即學(xué)即練4】4．（2022春·河北邯鄲·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，為外一點(diǎn)，為的垂直平分線，分別過點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)，，且．(1)求證：為的角平分線；(2)若，，求的長．【知識(shí)拓展5】尺規(guī)作圖與相關(guān)計(jì)算、證明例5．（2022春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知中，，．(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖作的角平分線；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）(2)過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)E，求證：．【即學(xué)即練4】5．（2022春·吉林長春·八年級(jí)期末）如圖，在中，，以為圓心，任意長為半徑畫弧分別交于點(diǎn)和，再分別以為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)．若，則點(diǎn)到邊的距離是(

)A． B． C． D．【知識(shí)拓展6】角平分線的綜合運(yùn)用例6．（2022春·湖北荊州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，D為邊上一點(diǎn)，且，，過點(diǎn)D作于F，作的平分線分別交，于H，G，連接，得到如下結(jié)論，①，②，③，④平分，其中正確的是（

）A．①③ B．①③④ C．②④ D．①②③④【即學(xué)即練6】6．（北京市大興區(qū)2022~2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末檢測試卷）如圖，在中，，的平分線與外角的平分線相交于點(diǎn)M，作的延長線得到射線，作射線，有下面四個(gè)結(jié)論：①；②；③射線是的角平分線；④．所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________．知識(shí)點(diǎn)02三角形的角平分線【知識(shí)點(diǎn)】三角形角平分線定理：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.應(yīng)用：位置的選擇問題【知識(shí)拓展1】三角形的角平分線的應(yīng)用例1．（2022·山東濱州·八年級(jí)月考）如圖，是三條兩兩相交的公路，現(xiàn)需建一個(gè)倉庫，要求倉庫到三條公路距離相等，則倉庫的可能地址有（）處．A． B． C． D．【即學(xué)即練1】1．（2022·湖南·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校二模）如圖，三條公路把A，B，C三個(gè)村莊連成一個(gè)三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場，要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，則這個(gè)集貿(mào)市場應(yīng)建在（

）A．三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn) B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三角形三條高的交點(diǎn) D．三角形三條中線的交點(diǎn)【知識(shí)拓展2】角平分線定理例2．（2022春·湖北荊門·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，是它的角平分線，．(1)求的值；(2)求證：；(3)求的長．【即學(xué)即練2】2．（2022春·廣東江門·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）模型：如圖1，在中，平分，，，求證：．（2）模型應(yīng)用：如圖2，平分交的延長線于點(diǎn)，求證：．（3）類比應(yīng)用：如圖3，平分，，，求證：．【知識(shí)拓展3】三角形的角平分線（內(nèi)心）例3．（2022·福建福州·八年級(jí)福州日升中學(xué)?？计谥校┤鐖D，O是△ABC的角平分線的交點(diǎn)，△ABC的面積和周長都為24，則點(diǎn)O到BC的距離為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【即學(xué)即練3】3．（2022·山東棗莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的兩直角邊、的長分別是9、12．其三條角平分線交于點(diǎn)，將分為三個(gè)三角形，則等于（

）A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：4題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2022春·北京海淀·八年級(jí)期末）如圖，三條公路把A、B、C三個(gè)村莊連成一個(gè)三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場，使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，則這個(gè)集貿(mào)市場應(yīng)建在（

）A．在、兩邊高線的交點(diǎn)處 B．在、兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處C．在、兩邊中線的交點(diǎn)處 D．在、兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處2．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)考階段練習(xí)）如圖，在中，，平分，垂直平分，若，則的值為（）A． B． C．1 D．3．（2022春·北京朝陽·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是的角平分線，、分別是和的高，則下列說法正確的是（

）A．垂直B．平分C．垂直平分D．垂直平分4．（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，從內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)，把剪成三個(gè)三角形(如圖1)，邊放在同一直線上，點(diǎn)都落在直線上（如圖2），直線，則點(diǎn)是的（

）A．三條角平分線的交點(diǎn)B．三條高的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn)D．三邊中垂線的交點(diǎn)5．（2022春·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，OE平分∠AOB，EM∥OA，EN⊥OA，若EN＝3，ON＝5，則EM＝_____．6．（2022春·吉林長春·八年級(jí)期末）如圖，在中，、分別平分和，于點(diǎn)D，，若的面積為25，的周長則為___________．7．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)上海市民辦立達(dá)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，三角形的兩個(gè)外角和的平分線交于點(diǎn)，則__________度．8．（2022春·廣東梅州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)閱讀：古希臘數(shù)學(xué)家海倫曾提出一個(gè)利用三角形三邊之長求面積的公式：若一個(gè)三角形的三邊長分別為，，，則這個(gè)三角形的面積為，其中，這個(gè)公式稱為“海倫公式”．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用：如圖，在中，已知，，．(1)請(qǐng)運(yùn)用海倫公式求的面積；(2)若，為的兩條角平分線，它們的交點(diǎn)為，求的面積．9．（2022春·廣東惠州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）請(qǐng)回答下列問題：(1)已知：和內(nèi)一點(diǎn)．求作：點(diǎn)，使，且點(diǎn)到的兩邊，的距離相等．(2)如圖，已知及點(diǎn)，，求作點(diǎn)，使得到，的距離相等，且．10．（2022春·福建廈門·八年級(jí)?？计谥校┰趦?nèi)有一點(diǎn)D，過點(diǎn)D分別作，，垂足分別為B，C．且，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊和上．(1)如圖1，若，請(qǐng)說明點(diǎn)D在的角平分線上．(2)如圖2，若，，，猜想，，具有的數(shù)量關(guān)系，并說明你的結(jié)論成立的理由．11．（2022春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知．(1)用直尺和圓規(guī)按照下列要求作圖：作的角平分線；（保留作圖痕跡，標(biāo)出必要的字母，不要求寫作法）；(2)過點(diǎn)畫射線，使，交的延長線與點(diǎn)，過點(diǎn)畫，垂足為，圖中相等嗎？證明你的結(jié)論．12．（2023·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)M，N是內(nèi)部兩點(diǎn)．尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法．(1)作：(2)作的平分線：(3)求作點(diǎn)P，使，且點(diǎn)P到，的距離相等．題組B能力提升練1．（2022春·江蘇·八年級(jí)期中）如圖，在中，，以頂點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交邊于點(diǎn)，點(diǎn)在上．若，，，當(dāng)最小時(shí)，的面積是（）A．2 B．1 C．6 D．72．（2022·廣東廣州·八年級(jí)期中）如圖，中，，的平分線與邊的垂直平分線相交于點(diǎn)D，交AB的延長線于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，現(xiàn)有下列結(jié)論：①；②；③平分；④．其中正確的有（

）A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④3．（2022春·云南昭通·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，P，Q分別是，上的點(diǎn)，作，，垂足分別為M，N，若，，則下列結(jié)論：①平分；②；③；④，其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（2022春·廣東惠州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)，重合），在的上方分別作和，且，，，連接，交于點(diǎn)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．連接，則平分5．（2022春·江蘇無錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，任意畫一個(gè)的，再分別作的兩角的角平分線和，、相交于點(diǎn)P，連接，有以下結(jié)論：①；②平分；③；④；⑤，其中正確的結(jié)論有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)6．（2022春·吉林·八年級(jí)期末）如圖，中，，，，，平分，如果點(diǎn)P，點(diǎn)Q分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值是______．7．（2022·江蘇宿遷·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，的三邊，，的長分別為40，50，60，其三條角平分線交于點(diǎn)O，則：：___________8．（2022?壽陽縣八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)在的平分線上，，于，點(diǎn)在上，且，若是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．9．（2022春·天津?yàn)I海新·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，四邊形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且平分．(1)求證：平分；(2)求證：；(3)探究：線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．10．（2022春·湖北武漢·八年級(jí)?？计谥校┧倪呅沃?，平分．(1)如圖1，若，E是的中點(diǎn)，求證：平分；(2)如圖2，若平分，求證：E是的中點(diǎn)；(3)在（2）的條件下，若，求四邊形的面積．11．（2022春·遼寧大連·八年級(jí)期末）如圖：點(diǎn)C在射線上，，且．(1)實(shí)踐與操作：利用圓規(guī)和直尺，①以點(diǎn)B為圓心為半徑畫弧交射線于點(diǎn)E，連接；②作的平分線分別交于F，交于G（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）．(2)猜想與證明：試猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·福建福州·八年級(jí)期中）如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③；④A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④2．（2022春·天津·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在和中，，，，．連接AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C．MO平分 D．OM平分3．（2022·山東臨沂·八年級(jí)期中）如圖，已知AC平分∠BAD，于點(diǎn)E，．有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的序號(hào)是______．4．（2022春·北京大興·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，與都是等邊三角形，和相交于點(diǎn)，連接下面結(jié)論中，；；不是的平分線；所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．5．（2022春·安徽淮北·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，和中，，，，連接，，與交于點(diǎn)M，與交于點(diǎn)N．(1)求證：；(2)求證：；(3)連接，有以下兩個(gè)結(jié)論：①平分；②平分．其中正確的有．6．（2022春·廣東東莞·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，，，，交于點(diǎn)，若點(diǎn)在上．(1)，求的度數(shù)；(2)求證平分；(3)連接，求證：．7．（2022春·湖南長沙·八年級(jí)長沙縣湘郡未來實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)P是邊上的一點(diǎn)，，且，點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接，的邊上的高為．(1)求的大小；(2)判斷直線，是否平行？并說明理由；(3)求證：．8．（2022秋·湖南長沙·八年級(jí)湖南師