《測(cè)試技術(shù)》3.信號(hào)及其描述

測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院12/13/202313.1信號(hào)的分類(lèi)3.2確定性信號(hào)及其描述3.3隨機(jī)信號(hào)檢測(cè)技術(shù)第三章信號(hào)及其描述研究信號(hào)的目的：認(rèn)識(shí)客觀物理過(guò)程的內(nèi)在規(guī)律，研究各個(gè)物理量之間的相互關(guān)系，預(yù)測(cè)測(cè)量對(duì)象未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)。

12/13/20232信號(hào)及其描述3.1信號(hào)的分類(lèi)

信號(hào)的形成是多種多樣的，可以從不同的角度進(jìn)行分類(lèi)，在動(dòng)態(tài)測(cè)量中我們可把信號(hào)看作時(shí)間的函數(shù)。

根據(jù)信號(hào)和時(shí)間變量是否連續(xù)可將信號(hào)分為兩類(lèi)（連續(xù)時(shí)間信號(hào)、離散時(shí)間信號(hào)）模擬信號(hào)：時(shí)間和幅值均為連續(xù)的（在所在時(shí)間區(qū)間，信號(hào)值是確定的）數(shù)字信號(hào)：時(shí)間和幅值均為離散的（在幅值、時(shí)間的某些點(diǎn)有值，其余未知）12/13/20233信號(hào)及其描述2.從能量角度分：

能量有限信號(hào)：功率有限信號(hào)：

3.按信號(hào)的變化規(guī)律分：確定性信號(hào)：可用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式精確描述，可知其過(guò)去，現(xiàn)在及將來(lái)的變化。（周期信號(hào)，非周期信號(hào)）

隨機(jī)信號(hào)：無(wú)法用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式來(lái)描述，具有不確定性和事先不可預(yù)知性。12/13/20234信號(hào)及其描述3.2確定性信號(hào)及其描述3.2.1周期信號(hào)

時(shí)域描述f(t)＝f(t±ｎT0)T0：最小重復(fù)時(shí)間，稱(chēng)周期，T0=2π/ω0，ω0：角頻率。

簡(jiǎn)單的周期信號(hào)，如正弦信號(hào)、其有單一的頻率，又稱(chēng)為簡(jiǎn)諧周期信號(hào)。

12/13/20235信號(hào)及其描述復(fù)雜的周期信號(hào)是由頻率比為有理數(shù)的不同頻率的正弦信號(hào)迭加而成.其頻率的比為有理數(shù)，所以，是周期函數(shù)，周期的確定根據(jù)各頻率值的最大公約數(shù)的倒數(shù)來(lái)確定。12/13/20236信號(hào)及其描述2.頻域描述—付里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)任何一個(gè)周期函數(shù)都可以進(jìn)行付里葉級(jí)數(shù)分解，付里葉級(jí)數(shù)有兩種形式:注意：進(jìn)行付里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，應(yīng)滿(mǎn)足狄里赫利條件，即只有第一類(lèi)間斷點(diǎn)，有限個(gè)極值點(diǎn)三角函數(shù)形式：

12/13/20237信號(hào)及其描述它表明周期函數(shù)由一個(gè)直流分量和無(wú)限個(gè)諧波分量組成，ω0稱(chēng)為基波角頻率。

式中，n為正整數(shù)；

n=1,2,3…..

n=1,2,3…..

12/13/20238信號(hào)及其描述復(fù)指數(shù)形式

帶入并合并同類(lèi)項(xiàng)

則：-n替換了n將三角函數(shù)形式中的正余弦用歐拉公式代換

12/13/20239信號(hào)及其描述式中，Cn稱(chēng)復(fù)指數(shù)形式的付里葉系數(shù)。12/13/202310信號(hào)及其描述在兩種形式的傅立葉級(jí)數(shù)中，An和Cn、和∠Cn都是頻率的函數(shù)，稱(chēng)An和|Cn|為函數(shù)(信號(hào))的幅頻特性,

和∠Cn為信號(hào)的相頻特性。A0/2或|C0|表示信號(hào)的直流分量，An或者|2Cn|表示n次諧波的幅值,

和∠Cn表示第n次諧波的相位，An和Cn.和∠Cn相當(dāng)于一個(gè)序列的通項(xiàng).周期信號(hào)的頻譜若把An和Cn、和∠Cn與頻率的相應(yīng)關(guān)系用坐標(biāo)表示出來(lái)，則稱(chēng)之為信號(hào)的頻譜.12/13/202311信號(hào)及其描述例：求方波信號(hào)的頻譜

12/13/202312信號(hào)及其描述解:1)展開(kāi)為三角級(jí)數(shù):

12/13/202313信號(hào)及其描述2)展成復(fù)指數(shù)指數(shù)級(jí)數(shù)12/13/202314信號(hào)及其描述比較兩個(gè)頻譜可發(fā)現(xiàn)不同之處在于：復(fù)指數(shù)形式是將三角形式的每條譜線取1/2到左邊軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)處，復(fù)指數(shù)形式頻譜中的負(fù)頻率完全是數(shù)學(xué)變換的結(jié)果，沒(méi)有實(shí)際的物理意義，只有把正負(fù)頻率項(xiàng)成對(duì)地合并起來(lái)，才是實(shí)際的頻譜函數(shù)。12/13/202315信號(hào)及其描述例：求信號(hào)的頻譜12/13/202316信號(hào)及其描述解：12/13/202317信號(hào)及其描述式中：

抽樣函數(shù)由此可以畫(huà)出頻譜。

即：令|Cn|=0則有12/13/202318信號(hào)及其描述當(dāng)n從0變到T/τ時(shí)，|Cn|第一次為0，在此區(qū)間內(nèi)有(T/τ)+1條譜線（包含區(qū)間端點(diǎn)）,每條譜線的間隔為設(shè)τ不變，若T/τ=4在[0,2π/τ]有5條譜線。若T/τ=89條譜線若T/τ=1617條譜線。隨著T增加，wo減小，譜線間隔減小，譜線條數(shù)增加，|Cn|的幅值減小，但幅頻線的包絡(luò)不變，即各譜線間保持固定的比例關(guān)系，可以設(shè)想，若T→∞,w0→0信號(hào)變成非周期信號(hào)，其頻譜的變化在后面再講。

12/13/202319信號(hào)及其描述周期信號(hào)頻譜特點(diǎn)

1°離散性：每條譜線代表一個(gè)頻率分量；

2°諧波性：譜線出現(xiàn)在基波的整數(shù)信頻率上

3°收斂性：諧波次數(shù)越高，諧波分量越小。由收斂性可知，信號(hào)的中高次諧波分量很小，所以其對(duì)信號(hào)波形的影響很小，有時(shí)可以忽略。在一定的誤差范圍內(nèi)，只考慮有限的頻率分量：從0頻率到所必須考慮的最高次諧波分量之間的頻段稱(chēng)為信號(hào)的頻帶寬度。信號(hào)的頻帶寬度是一個(gè)重要的概念，這在信號(hào)處理中，在設(shè)計(jì)和選用測(cè)試裝置時(shí)要充分注意。信號(hào)的頻帶指信號(hào)包含頻率成份的范圍。12/13/202320信號(hào)及其描述3.2.1非周期信號(hào)準(zhǔn)周期信號(hào)：由一系列頻率比為無(wú)理數(shù)的正弦波組成，其頻率譜為離散的，但不滿(mǎn)足諧波性.

這種信號(hào)稱(chēng)為準(zhǔn)周期信號(hào)。

例如：12/13/202321信號(hào)及其描述2.瞬變信號(hào)及傅立葉變換：信號(hào)出現(xiàn)的時(shí)間是有限的，或隨時(shí)間趨于無(wú)窮信號(hào)是收斂的。在信號(hào)出現(xiàn)的期間，信號(hào)不呈現(xiàn)周期性。如電容的放電過(guò)程，對(duì)這種信號(hào)沿時(shí)間軸積分，其積分值存在，它所攜帶的能量也是有限值，故稱(chēng)能量有限信號(hào)。前面講過(guò)一個(gè)周期信號(hào)，當(dāng)周期T→∞時(shí)，變成非周期信號(hào)，這時(shí)就不能用傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)了，但是信號(hào)中各頻率成分的比例關(guān)系還是存在的，，因此我們還希望研究信號(hào)的頻率成分，這就需要借助于另外一種數(shù)學(xué)方法――傅立葉變換。

12/13/202322信號(hào)及其描述我們可以從周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)取T→∞時(shí)的極限入手，對(duì)于周期信號(hào)：12/13/202323信號(hào)及其描述∵頻線間隔：由定積分定義：∴當(dāng)T0→∞時(shí)，Δω→0上式變?yōu)椋?2/13/202324信號(hào)及其描述式中：我們將周期函數(shù)的復(fù)指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)與非周期函數(shù)的傅立葉變換相比較，看出兩點(diǎn)不同：1．周期函數(shù)中所包含的頻率成分，是基頻ω0的整倍數(shù)。而非周期函數(shù)中包含了一系列從0到無(wú)窮大的所有頻率成分，ω是連續(xù)變量。2．周期函數(shù)的傅立葉系數(shù)Cn反映的是對(duì)應(yīng)頻率成分幅值的大小，而非周期函數(shù)的傅立葉變換F(ω)反映的是單位頻率寬度上的振幅。所以又稱(chēng)F(ω)為頻譜密度函數(shù)。12/13/202325信號(hào)及其描述一般的說(shuō)，F(xiàn)(ω)是個(gè)復(fù)數(shù)

幅值譜密度相位譜密度12/13/202326信號(hào)及其描述例：求矩形脈沖的傅氏變換

解：

當(dāng)時(shí)

與周期矩形脈沖頻譜相比較，可以看出兩種信號(hào)頻譜的異同。12/13/202327信號(hào)及其描述3.傅立葉變換的主要性質(zhì)⊙對(duì)稱(chēng)性質(zhì):證明：

則：

令變量t和ω互換，有：

若f(t)為偶函數(shù)，則

12/13/202328信號(hào)及其描述例：求傅立葉變換解：

12/13/202329信號(hào)及其描述⊙延時(shí)性：若證明：很顯然，信號(hào)在時(shí)域平移，相當(dāng)于信號(hào)中各個(gè)頻率成分產(chǎn)生了相移，所以頻譜中應(yīng)反映出相移的大小。12/13/202330信號(hào)及其描述例：

延遲時(shí)間t0導(dǎo)致產(chǎn)生相移ω0t0。⊙頻移性：若

則：

即在時(shí)域乘以因子導(dǎo)致頻譜產(chǎn)生平移。

12/13/202331信號(hào)及其描述4.單位脈沖的傅立葉變換。①定義（時(shí)域描述）且

---稱(chēng)之為δ函數(shù)。

用它可描述一些作用時(shí)間極短、但取值極大的物理現(xiàn)象，如云層之間的放電，瞬時(shí)間的沖擊力等。定義中積分等于1，說(shuō)明其強(qiáng)度為1，若強(qiáng)度為K的脈沖用kδ(t)表示。12/13/202332信號(hào)及其描述δ(t)的圖示可用一長(zhǎng)度為一個(gè)單位的線段來(lái)表示，線段位于原點(diǎn)，表示當(dāng)時(shí)間t0=0有一沖擊。若線段位于 t=t0點(diǎn)，則可定義δ函數(shù)的延遲為：，積分值仍為1。

②δ函數(shù)的篩選性質(zhì)（抽樣、采樣）：若任意函數(shù)f(t)在t=t0點(diǎn)連續(xù)，有這是因?yàn)棣?t)只有在t0點(diǎn)有值，所以有

12/13/202333信號(hào)及其描述由于經(jīng)過(guò)此種處理，可將f(t)在任何時(shí)刻的值提取出來(lái)，所以稱(chēng)其為篩選性質(zhì)，或抽樣性質(zhì)。當(dāng)對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣時(shí)，采樣的過(guò)程及采樣后信號(hào)即可利用此種性質(zhì)來(lái)進(jìn)行描述，即

③δ函數(shù)的傅立葉變換

這說(shuō)明δ函數(shù)的頻譜密度是常數(shù)1，即δ函數(shù)是等強(qiáng)度的各種頻率成分所組成的。12/13/202334信號(hào)及其描述④δ脈沖序列的頻譜12/13/202335信號(hào)及其描述⑤δ函數(shù)在功率有限信號(hào)頻率分析中應(yīng)用a.直流信號(hào)：

b.階躍信號(hào)：

c.周期信號(hào)：

由于δ函數(shù)的引用，使傅立葉變換成為分析一切功率有限信號(hào)的工具，計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)使傅立葉變換在工程中的應(yīng)用成為可能，而快速傅立葉變換（FFT）算法的出現(xiàn)，才真正使傅立葉頻譜分析成為現(xiàn)實(shí)。有關(guān)FFT的論述請(qǐng)看第九章，更詳細(xì)的論述請(qǐng)參考有關(guān)數(shù)字信號(hào)處理的書(shū)籍。

12/13/202336信號(hào)及其描述3.3隨機(jī)信號(hào)在工程測(cè)量時(shí)，通常用幅值隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系來(lái)測(cè)量，y=f(t)

隨機(jī)信號(hào)：無(wú)法用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式來(lái)描述，具有不確定性和事先不可預(yù)知性。

雖然這樣，不能用時(shí)間的確定函數(shù)來(lái)描述，但都能用概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)描述。對(duì)隨機(jī)信號(hào)在有限時(shí)間內(nèi)的觀測(cè)結(jié)果稱(chēng)之為樣本，所有可能樣本的集合稱(chēng)之為總體。總體描述了一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。比如：對(duì)每日氣溫的觀測(cè)，地球上溫度的變化，只能以天為單位，或以年為單位來(lái)進(jìn)行分析。每天的觀測(cè)構(gòu)成一個(gè)樣本函數(shù)。12/13/202337信號(hào)及其描述.隨機(jī)過(guò)程及其描述隨機(jī)過(guò)程：

總體平均值：

總體自相關(guān)函數(shù)：

由同一試驗(yàn)條件下所有樣本函數(shù)的集合（總體）才能定義一個(gè)物理現(xiàn)象的隨機(jī)過(guò)程。t的函數(shù)對(duì)總體的各個(gè)樣本進(jìn)行平均可以描述任意指定時(shí)刻上的信號(hào)平均特性：隨機(jī)過(guò)程兩個(gè)不同時(shí)刻之值的相關(guān)性可以用兩時(shí)刻瞬時(shí)值乘積的總體平均來(lái)求得：12/13/202338信號(hào)及其描述若ux(t)=ux（常值）,則：

這也就是說(shuō)，該隨機(jī)過(guò)程的觀測(cè)時(shí)間起點(diǎn)可以是任意的，其統(tǒng)計(jì)特性不隨觀測(cè)時(shí)間起點(diǎn)的改變而改變，這樣的隨機(jī)過(guò)程稱(chēng)作平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。（非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程）

可以通過(guò)某個(gè)樣本沿時(shí)間軸進(jìn)行平均來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性．若對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的某一個(gè)樣本進(jìn)行分析，可求出該樣本的平均值及自相關(guān)函數(shù)。

k表示第k個(gè)樣本。Ｔ為觀測(cè)時(shí)間

僅與時(shí)間位移有關(guān)12/13/202339信號(hào)及其描述若

則稱(chēng)該過(guò)程是各態(tài)歷經(jīng)的，即任一個(gè)樣本都可把整體的各種可能出現(xiàn)的情況顯示出來(lái)。對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過(guò)程，我們可以在任一時(shí)刻取任意一個(gè)樣本進(jìn)行分析，這就使得信號(hào)的分析處理簡(jiǎn)化了。在一般工程上遇到的隨機(jī)信號(hào)很多具有或近似具有各態(tài)歷經(jīng)性質(zhì)。12/13/202340信號(hào)及其描述對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過(guò)程，可以用三方面進(jìn)行描述。

①幅值域：

,概率密度，聯(lián)合概率密度。

②時(shí)間域：自相關(guān)，互相關(guān)函數(shù)等。二.幅值域描述1．平均值：

――直流分量

③頻率域：自功率譜，互功率譜，相干函數(shù)等。12/13/202341信號(hào)及其描述2．方差：

――波動(dòng)程度3．均方值：

――信號(hào)的強(qiáng)度或平均功率4．概率密度函數(shù)：區(qū)間內(nèi)的概率是x(t)的瞬時(shí)值落在某一個(gè)12/13/202342信號(hào)及其描述概率密度：

式中：T＝觀測(cè)時(shí)間表示信號(hào)幅值在T時(shí)間內(nèi)落在這區(qū)間的總時(shí)間。

12/13/202343信號(hào)及其描述∴給出信號(hào)幅值的分布規(guī)律，可用來(lái)判斷信號(hào)的性質(zhì)，比如說(shuō)是否包含周期成分

5．聯(lián)合概率密度函數(shù)：

式中Txy表示在測(cè)試時(shí)間T內(nèi)信號(hào)x的幅值落在(x，x+△x)內(nèi)，且y落在(y，y+△y)的總時(shí)間。上式表示兩信號(hào)的幅值在指定范圍內(nèi)變化的概率。12/13/202344信號(hào)及其描述三．時(shí)域描述1．自相關(guān)函數(shù)的定義：

基本性質(zhì)：①偶函數(shù)

②均方值：12/13/202345信號(hào)及其描述③

④若則--周期函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)仍是同周期函數(shù)

例：

∴Rxx(τ)不反映相位信息θ，只反映幅值。在零點(diǎn)有最大值12/13/202346信號(hào)及其描述⑤若f(t)=c則：Rxx(c)