新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.3冪函數(shù)學(xué)案新人教A版必修第一冊

3．3冪函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解冪函數(shù)的概念．2．結(jié)合冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝的圖象，掌握它們的性質(zhì)．3．能利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較冪的大?。诵乃仞B(yǎng)1．結(jié)合冪函數(shù)的圖象，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)．2．借助冪函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng).知識點(diǎn)1冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)_y＝xα_叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．想一想：冪函數(shù)的解析式有什么特征？提示：①系數(shù)為1；②底數(shù)x為自變量；③冪指數(shù)為常數(shù)．練一練：1．下列所給的函數(shù)中是冪函數(shù)的為(C)A．y＝2x5 B．y＝x3＋1C．y＝x－3 D．y＝3x[解析]選項(xiàng)C符合y＝xα的形式，對于A系數(shù)不為1，B中含有常數(shù)項(xiàng)，而D不符合y＝xα的形式．2．已知函數(shù)f(x)＝(m2－3m－3)x2m－3是冪函數(shù)，則m的值為(D)A．4 B．3C．－1 D．－1或4[解析]因?yàn)閒(x)＝(m2－3m－3)x2m－3是冪函數(shù)，所以m2－3m－3＝1，解得m＝4或－1.知識點(diǎn)2冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)(1)五個(gè)冪函數(shù)的圖象(2)冪函數(shù)的性質(zhì)冪函數(shù)y＝xy＝x2y＝x3y＝y(tǒng)＝x－1定義域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性_增_x∈(0，＋∞)增；x∈(－∞，0)減_增__增_x∈(0，＋∞)減；x∈(－∞，0)減公共點(diǎn)都經(jīng)過點(diǎn)(1,1)想一想：當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)y＝xα的圖象在第一象限內(nèi)有什么共同特征？提示：圖象都是從左向右逐漸上升．練一練：1．判斷下列說法是否正確，正確的打“√”，錯誤的打“×”．(1)函數(shù)y＝－x2是冪函數(shù)．(×)(2)冪函數(shù)y＝x2是偶函數(shù)．(√)(3)冪函數(shù)y＝x－1是增函數(shù)．(×)(4)冪函數(shù)都過點(diǎn)(0,0)，(1,1)．(×)(5)冪函數(shù)的圖象不過第四象限．(√)(6)當(dāng)0<x<1時(shí)，y＝的圖象在y＝x2的圖象的下方．(×)2．3.17－1與3.71－1的大小關(guān)系為_3.17－1>3.71－1_.[解析]利用f(x)＝x－1＝eq\f(1,x).在(0，＋∞)上為單調(diào)遞減，3.17<3.71，所以3.17－1>3.71－1.題型探究題型一冪函數(shù)的概念典例1已知函數(shù)f(x)＝，m為何值時(shí)，f(x)是：(1)正比例函數(shù)；(2)反比例函數(shù)；(3)二次函數(shù)；(4)冪函數(shù)．[分析]本題將正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)和冪函數(shù)放在一起考查，要注意區(qū)別它們之間的不同點(diǎn)，根據(jù)各自定義：(1)正比例函數(shù)y＝kx(k≠0)；(2)反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)；(3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(4)冪函數(shù)y＝xα(α是常數(shù))，轉(zhuǎn)化為系數(shù)和指數(shù)的取值問題．[解析](1)若f(x)為正比例函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝1，,m2＋2m≠0，))∴m＝1.(2)若f(x)為反比例函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝－1，,m2＋2m≠0，))∴m＝－1.(3)若f(x)為二次函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝2，,m2＋2m≠0，))∴m＝eq\f(－1±\r(13),2).(4)若f(x)為冪函數(shù)，則m2＋2m＝1，∴m＝－1±eq\r(2).[歸納提升]形如y＝xα的函數(shù)叫冪函數(shù)，這里需有：(1)系數(shù)為1，(2)指數(shù)為一常數(shù)，(3)后面不加任何項(xiàng)．例如y＝3x，y＝xx＋1，y＝x2＋1均不是冪函數(shù)．對點(diǎn)練習(xí)?有下列函數(shù)：①y＝3x2；②y＝x2＋1；③y＝－eq\f(1,x)；④y＝eq\f(1,x)；⑤y＝；⑥y＝x3.其中，是冪函數(shù)的有_④⑤⑥_(只填序號)．[解析]①中，x2的系數(shù)為3，故不是冪函數(shù)；②中，y＝x2＋1不是xα的形式，故不是冪函數(shù)；③中，y＝－eq\f(1,x)＝－x－1，系數(shù)是－1，故不是冪函數(shù)；④中，y＝eq\f(1,x)＝x－1是冪函數(shù)；⑤中，y＝eqx\s\up8(\f(2,3))是冪函數(shù)；⑥中，y＝x3是冪函數(shù)．題型二冪函數(shù)的圖象典例2在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)y＝xa(a≠0)和y＝ax－eq\f(1,a)的圖象可能是(C)[解析]當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y＝ax－eq\f(1,a)單調(diào)遞減，且在y軸上的截距－eq\f(1,a)＞0，y＝xa在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以B，D項(xiàng)錯誤．對于A，C項(xiàng)，由y＝ax－eq\f(1,a)單調(diào)遞增可知a＞0，則y＝xa在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以A項(xiàng)錯誤，C項(xiàng)正確．[歸納提升]解決冪函數(shù)圖象問題應(yīng)把握的兩個(gè)原則(1)依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：①在(0,1)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)的圖象越靠近x軸；②在(1，＋∞)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)的圖象越遠(yuǎn)離x軸．(2)依據(jù)圖象確定冪指數(shù)α與0,1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象來判斷．對點(diǎn)練習(xí)?(1)冪函數(shù)y＝xm，y＝xn，y＝xp的圖象如圖所示，以下結(jié)論正確的是(C)A．m＞n＞p B．m＞p＞nC．n＞p＞m D．p＞n＞m(2)當(dāng)α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1，3))時(shí)，冪函數(shù)y＝xα的圖象不可能經(jīng)過第_二、四_象限．[解析](1)由圖象知，n＞1,0＜p＜1，m＜0，故n＞p＞m.(2)冪函數(shù)y＝x－1，y＝x，y＝x3的圖象分布在第一、三象限，y＝的圖象分布在第一象限．所以冪函數(shù)y＝xαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＝－1，\f(1,2)，1，3))的圖象不可能經(jīng)過第二、四象限．題型三冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用角度1比較冪的大小典例3(1)a＝，c＝的大小關(guān)系是(D)A．c＜a＜b B．a(chǎn)＜c＜bC．b＜a＜c D．c＜b＜a(2)若，則a，b，c，d的大小關(guān)系是(C)A．a(chǎn)＞b＞c＞d B．b＞a＞d＞cC．b＞a＞c＞d D．a(chǎn)＞b＞d＞c[解析](1)因?yàn)閥＝是增函數(shù)，所以，即a＞b＞c.(2)函數(shù)y＝是(0，＋∞)上的增函數(shù)，3＞2＞eq\f(1,2)＞eq\f(1,3)，所以b＞a＞c＞d.[歸納提升]比較冪值大小的2種方法對點(diǎn)練習(xí)?比較下列各組數(shù)的大?。?1)1.10.1,1.20.1；(2)0.24－0.2,0.25－0.2.[解析](1)由于函數(shù)y＝x0.1在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，又因?yàn)?.1<1.2，所以1.10.1<1.20.1.(2)由于函數(shù)y＝x－0.2在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，又因?yàn)?.24<0.25，所以0.24－0.2>0.25－0.2.角度2綜合應(yīng)用典例4冪函數(shù)f(x)的圖象過eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))).(1)求函數(shù)f(x)的解析式，并求出它的定義域；(2)試求滿足f(1＋a)＞f(3－a)的實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解析](1)設(shè)冪函數(shù)為f(x)＝xα，由題意，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α＝eq\f(\r(2),2)，故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0，＋∞)．(2)由于f(x)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，f(1＋a)＞f(3－a)，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋a≥0，,3－a≥0，,1＋a＞3－a，))故a的取值范圍是(1,3]．[歸納提升]解決冪函數(shù)的綜合問題，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1)充分利用冪函數(shù)的圖象、性質(zhì)，如圖象所過定點(diǎn)、單調(diào)性、奇偶性等；(2)注意運(yùn)用常見的思想方法，如分類討論、數(shù)形結(jié)合思想．對點(diǎn)練習(xí)?若冪函數(shù)f(x)過點(diǎn)(2,8)，則滿足不等式f(a－3)>f(1－a)的實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(2，＋∞)_.[解析]設(shè)冪函數(shù)為f(x)＝xα，因?yàn)槠鋱D象過點(diǎn)(2,8)，所以2α＝8，解得α＝3，所以f(x)＝x3.因?yàn)閒(x)＝x3在R上為增函數(shù)，所以由f(a－3)>f(1－a)，得a－3>1－a，解得a>2，所以滿足不等式f(a－3)>f(1－a)的實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2，＋∞)．誤區(qū)警示用冪函數(shù)的單調(diào)性解題時(shí)忽略了不同單調(diào)區(qū)間的討論典例5已知冪函數(shù)y＝(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，求滿足的a的取值范圍．[錯解]∵函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又∵函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，∴m2－2m－3是偶數(shù)．又∵22－2×2－3＝－3為奇數(shù)，12－2×1－3＝－4為偶數(shù)，∴m＝1.又∵y＝是減函數(shù)，由<，得a＋1>3－2a.解得a>eq\f(2,3).[錯因分析]該解法中將函數(shù)值大小轉(zhuǎn)化為自變量大小時(shí)忽略了定義域以及單調(diào)區(qū)間的限制．只有在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)才可以在函數(shù)值大小與自變量大小之間實(shí)現(xiàn)自由轉(zhuǎn)化．[正解]∵函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又∵函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，∴m2－2m－3是偶數(shù)．又∵22－2×2－3＝－3為奇數(shù)，12－2×1－3＝－4為偶數(shù)，∴m＝1.又∵y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上均為減函數(shù)，由，得a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a.解得a<－1或eq\f(2,3)<a<eq\f(3,2).[方法點(diǎn)撥]解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出m的值后，依據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)和圖象建立關(guān)于a的不等式．在這里極易出現(xiàn)認(rèn)為函數(shù)在(－∞，0)和(0，＋∞)上為減函數(shù)，則函數(shù)必在定義域內(nèi)是減函數(shù)的認(rèn)知誤區(qū)，從而誤用性質(zhì)產(chǎn)生錯誤的結(jié)果．1．在函數(shù)y＝eq\f(1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝3x中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為(B)A．0 B．1C．2 D．3[解析]顯然，根據(jù)冪函數(shù)定義可知，只有y＝eq\f(1,x2)＝x－2是冪函數(shù)．2．如