新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第4章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.4對數(shù)函數(shù)4.4.2對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)第2課時對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)(二)學(xué)案新人教A版必修第一冊

第2課時對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)(二)學(xué)習(xí)目標1．運用對數(shù)函數(shù)建立模型，解決簡單的實際問題，體會這些函數(shù)在解決實際問題中的作用．2．學(xué)會用函數(shù)的圖象和代數(shù)運算的方法研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．核心素養(yǎng)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，理解對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的最值、解不等式、單調(diào)性等綜合問題，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).知識點1對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]是由y＝f(x)與y＝g(x)復(fù)合而成，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]為_增函數(shù)_；若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]為_減函數(shù)_.對于對數(shù)型復(fù)合函數(shù)y＝logaf(x)來說，函數(shù)y＝logaf(x)可看成是y＝logau與u＝f(x)兩個簡單函數(shù)復(fù)合而成的，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的規(guī)律即可判斷．另外，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要考慮函數(shù)的定義域．知識點2對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域?qū)τ谛稳鐈＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的復(fù)合函數(shù)，其值域的求解步驟如下：(1)分解成y＝logau，u＝f(x)兩個函數(shù)；(2)解f(x)>0，求出函數(shù)的定義域；(3)求u的取值范圍；(4)利用y＝logau的單調(diào)性求解．練一練：1．函數(shù)f(x)＝logax在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是(C)A．(0，＋∞) B．(－∞，1)C．(0,1) D．(1，＋∞)[解析]由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)知識易知0<a<1.2．已知函數(shù)f(x)＝的值域為[－1,1]，則函數(shù)f(x)的定義域是(A)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\r(2)))B．[－1,1]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(\r(2),2)))∪[eq\r(2)，＋∞)[解析]由－1≤≤1，得－1≤－2log2x≤1.解得eq\f(\r(2),2)≤x≤eq\r(2).3．函數(shù)y＝log0.3(3－2x)在其定義域內(nèi)是_增_函數(shù)(填“增”或“減”)．[解析]由3－2x>0，解得x<eq\f(3,2).設(shè)t＝3－2x，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))).因為函數(shù)y＝log0.3t是減函數(shù)，且函數(shù)t＝3－2x是減函數(shù)，所以函數(shù)y＝log0.3(3－2x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上是增函數(shù)．題型探究題型一對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性典例1討論函數(shù)f(x)＝loga(3x2－2x－1)的單調(diào)性．[分析]求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時，必須首先考慮函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集．[解析]由3x2－2x－1>0，得函數(shù)的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>1或x<－\f(1,3))).當(dāng)a>1時，若x>1，∵y＝logau為增函數(shù)，又u＝3x2－2x－1為增函數(shù)，∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)為增函數(shù)．若x<－eq\f(1,3)，∵u＝3x2－2x－1為減函數(shù)，∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)為減函數(shù)．當(dāng)0<a<1時，y＝logau為減函數(shù)，若x>1，則f(x)＝loga(3x2－2x－1)為減函數(shù)，若x<－eq\f(1,3)，則f(x)＝loga(3x2－2x－1)為增函數(shù)．[歸納提升]1.求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的具體步驟是：(1)求定義域；(2)拆分函數(shù)；(3)分別求y＝f(u)，u＝φ(x)的單調(diào)性；(4)按“同增異減”得出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．2．復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]及其里層函數(shù)μ＝g(x)與外層函數(shù)y＝f(μ)的單調(diào)性之間的關(guān)系(見下表).函數(shù)單調(diào)性y＝f(μ)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)μ＝g(x)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)y＝f[g(x)]增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)對點練習(xí)?函數(shù)f(x)＝的單調(diào)遞增區(qū)間為(A)A．(－∞，－2) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(3,2))) D．(5，＋∞)[解析]由題意，得x2－3x－10>0，∴(x－5)(x＋2)>0，∴x<－2或x>5.令u＝x2－3x－10，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間即為函數(shù)u＝x2－3x－10在(－∞，－2)∪(5，＋∞)上的單調(diào)遞減區(qū)間，又u＝x2－3x－10在(－∞，－2)上遞減，故選A.題型二對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域典例2求下列函數(shù)的值域：[解析](1)y＝log2(x2＋4)的定義域為R.∵x2＋4≥4，∴l(xiāng)og2(x2＋4)≥log24＝2.∴y＝log2(x2＋4)的值域為{y|y≥2}．(2)設(shè)u＝3＋2x－x2，則u＝－(x－1)2＋4≤4.∵u>0，∴0<u≤4.[歸納提升]1.與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)值域：求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域，一方面，要抓住對數(shù)函數(shù)的值域；另一方面，要抓住中間變量的取值范圍，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求其值域(多采用換元法)．2．對于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的復(fù)合函數(shù)的值域的求法的步驟：①分解成y＝logau，u＝f(x)兩個函數(shù)；②求f(x)的定義域；③求u的取值范圍；④利用y＝logau的單調(diào)性求解．對點練習(xí)?函數(shù)y＝log0.5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x－1)＋1))(x＞1)的值域是(B)A．(－∞，2] B．(－∞，－2]C．[2，＋∞) D．[－2，＋∞)[解析]令t＝x＋eq\f(1,x－1)＋1＝x－1＋eq\f(1,x－1)＋2≥4(x＞1)，當(dāng)x＝2時，取得等號，又y＝log0.5t在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以y≤－2，所以函數(shù)的值域是(－∞，－2]．題型三對數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用典例3已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性并加以證明．[分析](1)函數(shù)奇偶性判斷的方法是什么？(2)對數(shù)的運算法則是什么？[解析](1)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0,1－x>0))，∴－1<x<1.∴函數(shù)f(x)的定義域為(－1,1)．(2)由(1)知函數(shù)f(x)的定義域為(－1,1)關(guān)于原點對稱．∴f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．[歸納提升]1.對數(shù)函數(shù)本身不具有奇偶性，但與有些函數(shù)復(fù)合后，就具有了奇偶性，如y＝log2|x|就是偶函數(shù)．這類函數(shù)奇偶性可利用函數(shù)奇偶性的定義，并結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)來判斷．2．判斷函數(shù)奇偶性，有時需將函數(shù)式化簡或利用定義的等價形式判斷，如f(－x)＝±f(x)?f(－x)±f(x)＝0?eq\f(f(－x),f(x))＝±1(f(x)≠0)，其中f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)－f(x)＝0多用于對數(shù)型函數(shù)奇偶性的判斷，eq\f(f(－x),f(x))＝±1多用于指數(shù)型函數(shù)奇偶性的判斷．對點練習(xí)?已知a＞0且滿足不等式22a＋1＞25a－2.(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)求不等式loga(3x＋1)<loga(7－5x)的解集；(3)若函數(shù)y＝loga(2x－1)在區(qū)間[1,3]上有最小值為－2，求實數(shù)a的值．[解析](1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，∴a＜1，即0＜a＜1.∴實數(shù)a的取值范圍是(0,1)．(2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga(3x＋1)<loga(7－5x)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋1>0，,7－5x>0，,3x＋1>7－5x，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－\f(1,3)，,x<\f(7,5)，,x>\f(3,4)，))解得eq\f(3,4)<x<eq\f(7,5).即不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(7,5))).(3)∵0＜a＜1，∴函數(shù)y＝loga(2x－1)在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝3時，y有最小值為－2，即loga5＝－2，∴a－2＝eq\f(1,a2)＝5，解得a＝eq\f(\r(5),5).誤區(qū)警示忽視對數(shù)函數(shù)的定義域典例4若函數(shù)y＝loga(2－ax)在x∈[0,1]上是減函數(shù)，則a的取值范圍是(B)A．(0,1) B．(1,2)C．(0,2) D．(1，＋∞)[錯解]錯解一：因為函數(shù)f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是減函數(shù)，根據(jù)對數(shù)函數(shù)在0<a<1時單調(diào)遞減，知選A.錯解二：令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax為減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”法則，要使f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上為減函數(shù)，則需y＝logau為增函數(shù)，從而得a>1，故選D.[錯因分析]在求解時，已經(jīng)掌握了利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”法則進行解答，但是忽視了對數(shù)函數(shù)的定義域問題，考慮問題不全面，犯了知識性和能力性的雙重錯誤．[正解]令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax為減函數(shù)，又根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義域要求u＝2－ax在[0,1]上恒大于零，當(dāng)x∈[0,1]時，umin＝2－a>0，解得a<2.根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”法則，要使f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上為減函數(shù)，則需y＝logau為增函數(shù)，所以a>1.綜上可得1<a<2，故選B.[方法點撥]對數(shù)型函數(shù)是考查定義域問題的重點函數(shù)．因此，在解決真數(shù)中含參數(shù)的對數(shù)問題時，一定要保證真數(shù)大于0.忽略這一點，可能會使所求參數(shù)范圍擴大致誤．如本例中，u＝2－ax在x∈[0,1]時一定要保證u>0才有意義，請學(xué)生重點關(guān)注．1．(2023·江蘇宿遷市高一期末測試)函數(shù)f(x)＝lg(3x－1)＋eq\r(1－x)的定義域為(C)A．(0，＋∞) B．(－∞，1]C．(0,1] D．[0,1][解析]由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－1>0，,1－x≥0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x>1，,x≤1，))∴0<x≤1，故選C.2．函數(shù)f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定義域上(A)A．是增函數(shù) B．是減函數(shù)C．先增后減 D．先減后增[解析]當(dāng)a>1時，y＝logat和t＝(a－1)x＋1都是增函數(shù)，所以f(x)是增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時，y＝logat和t＝(a－1)x＋1都是減函數(shù)，所以f(x)是增函數(shù)，故選A.3．已知函數(shù)f(x)＝log3eq\f(m－x,2＋x)為奇函數(shù)，則實數(shù)m的值為_2_.[解析]∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＋f(x)＝log3eq\f(m＋x,2－x)＋log3eq\f(m－x,2＋x)＝log3eq\f(m2－x2,4－x2)＝0，即eq\f(m2－x2,4－x2)＝1，所以m2＝4，m＝±2，當(dāng)m＝－2時eq\f(