2019年浙江省紹興市中考數(shù)學(xué)試題(含答案)

2019年浙江省紹興市初中學(xué)業(yè)水平試題卷數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分，請選出每小題中一個最符合題意的選項(xiàng)，不選、多選、錯選均不給分）1.-5的絕對值是（）A.5 B.-5 C. D.2.某市決定為全市中小學(xué)生教室安裝空調(diào)，今年預(yù)計(jì)投入資金126000000元，其中數(shù)字126000000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A. B. C. D.3.如圖的幾何體由6個相同的小正方體搭成，它的主視圖是（）A. B. C. D.4.為了解某地區(qū)九年級男生的身高情況，隨機(jī)抽取了該地區(qū)100名九年級男生，他們的身高（）統(tǒng)計(jì)如下：組別（）人數(shù)5384215根據(jù)以上結(jié)果，抽查該地區(qū)一名九年級男生，估計(jì)他的身高不低于的概率是（）A.0.85 B.0.57 C.0.42 D.0.155.如圖，墻上釘著三根木條，量得，，那么木條所在直線所夾的銳角是（）A. B. C. D.6.若三點(diǎn)，，在同一直線上，則的值等于（）A.-1 B.0 C.3 D.47.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過變換后得到拋物線，則這個變換可以是（）A向左平移2個單位 B.向右平移2個單位C.向左平移8個單位 D.向右平移8個單位8.如圖，內(nèi)接于圓，，，若，則弧的長為（）A. B. C. D.9.正方形的邊上有一動點(diǎn)，以為邊作矩形，且邊過點(diǎn)，在點(diǎn)從點(diǎn)移動到點(diǎn)的過程中，矩形的面積（）A.先變大后變小 B.先變小后變大 C.一直變大 D.保持不變10.如圖1，長、寬均為3，高為8的長方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高為6，繞底面一棱長進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖2是此時的示意圖，則圖2中水面高度為（）A. B. C. D.二、填空題（本大題有6個小題，每小題5分，共30分）11.因式分解：______.12.不等式的解為______.13.我國《洛書》中記載著世界最古老的一個幻方：將1～9這九個數(shù)字填入的方格中，使三行、三列、兩對角線上的三個數(shù)之和都相等，如圖的幻方中，字母所表示的數(shù)是______.14.如圖，在直線上方有一個正方形，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，與交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，連結(jié)，則的度數(shù)為______.15.如圖，矩形頂點(diǎn)都在曲線（常數(shù)，）上，若頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線的函數(shù)表達(dá)式是_.16.把邊長為2的正方形紙片分割成如圖的四塊，其中點(diǎn)為正方形的中心，點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)，用這四塊紙片拼成與此正方形不全等的四邊形（要求這四塊紙片不重疊無縫隙），則四邊形的周長是______.三、解答題（本大題有8小題，17～20題每小題8分，第21題10分，第22，23小題每小題12分，第24小題14分，共80分，解答需要寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程）17.（1）計(jì)算：；（2）為何值時，兩個代數(shù)式，的值相等？18.如圖是某型號新能源純電動汽車充滿電后，蓄電池剩余電量（千瓦時）關(guān)于已行駛路程（千米）的函數(shù)圖象.（1）根據(jù)圖象，直接寫出蓄電池剩余電量為35千瓦時時汽車已行駛的路程，當(dāng)時，求1千瓦時的電量汽車能行駛的路程；（2）當(dāng)時求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并計(jì)算當(dāng)汽車已行駛180千米時，蓄電池的剩余電量.19.小明、小聰參加了跑的5期集訓(xùn)，每期集訓(xùn)結(jié)束市進(jìn)行測試，根據(jù)他們的集訓(xùn)時間、測試成績繪制成如下兩個統(tǒng)計(jì)圖：根據(jù)圖中信息，解答下列問題：（1）這5期的集訓(xùn)共有多少天？小聰5次測試的平均成績是多少？（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，結(jié)合體育運(yùn)動的實(shí)際，從集訓(xùn)時間和測試成績這兩方面，說說你的想法.20.如圖1，為放置在水平桌面上的臺燈，底座的高為.長度均為的連桿，與始終在同一水平面上.（1）旋轉(zhuǎn)連桿，，使成平角，，如圖2，求連桿端點(diǎn)離桌面的高度.（2）將（1）中連桿繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，使，如圖3，問此時連桿端點(diǎn)離桌面的高度是增加了還是減少？增加或減少了多少？（精確到，參考數(shù)據(jù)：，）21.如圖，內(nèi)接于圓，直徑的長為2，過點(diǎn)的切線交的延長線于點(diǎn).張老師要求添加條件后，編制一道題目，并解答.（1）在添加條件，求的長，請你解答.（2）以下是小明，小聰?shù)膶υ挘盒∶鳎何壹拥臈l件是，就可以求出的長.小聰：你這樣太簡單了，我加條件是，連結(jié)，就可以證明與全等.參考此對話，在內(nèi)容中添加條件，編制一道題目（可以添線、添字母），并解答.22.有一塊形狀如圖的五邊形余料，，，，，.要在這塊余料中截取一塊矩形材料，其中一邊在上，并使所截矩形的面積盡可能大.（1）若所截矩形材料的一條邊是或，求矩形材料的面積；（2）能否截出比（1）中面積更大的矩形材料？如果能，求出這些矩形材料面積的最大值，如果不能，請說明理由.23.如圖1是實(shí)驗(yàn)室中的一種擺動裝置，在地面上，支架是底邊為的等腰直角三角形，擺動臂長可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，擺動臂可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，，.（1）在旋轉(zhuǎn)過程中：①當(dāng)三點(diǎn)在同一直線上時，求的長；②當(dāng)三點(diǎn)在同一直角三角形的頂點(diǎn)時，求的長.（2）若擺動臂順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的位置由外的點(diǎn)轉(zhuǎn)到其內(nèi)的點(diǎn)處，連結(jié)，如圖2，此時，，求的長.24.如圖，矩形中，，，點(diǎn)分別在邊，上，點(diǎn)分別在，上，，交于點(diǎn)，記.（1）若的值是1，當(dāng)時，求的值.（2）若的值是，求的最大值和最小值.（3）若的值是3，當(dāng)點(diǎn)是矩形的頂點(diǎn)，，時，求的值.

參考答案一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分，請選出每小題中一個最符合題意的選項(xiàng)，不選、多選、錯選均不給分）1.-5的絕對值是（）A.5 B.-5 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)求解．【詳解】根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，得|-5|=5．故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查的是絕對值的性質(zhì)：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．2.某市決定為全市中小學(xué)生教室安裝空調(diào)，今年預(yù)計(jì)投入資金126000000元，其中數(shù)字126000000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．【詳解】數(shù)字126000000科學(xué)記數(shù)法可表示為1.26×108元．故選B．【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．3.如圖的幾何體由6個相同的小正方體搭成，它的主視圖是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)從正面看得到的視圖是主視圖，可得答案．【詳解】從正面看有三列，從左起第一列有兩個正方形，第二列有兩個正方形，第三列有一個正方形，故A符合題意，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的視圖是主視圖．4.為了解某地區(qū)九年級男生的身高情況，隨機(jī)抽取了該地區(qū)100名九年級男生，他們的身高（）統(tǒng)計(jì)如下：組別（）人數(shù)5384215根據(jù)以上結(jié)果，抽查該地區(qū)一名九年級男生，估計(jì)他的身高不低于的概率是（）A.0.85 B.0.57 C.0.42 D.0.15【答案】D【解析】【分析】先計(jì)算出樣本中身高不低于180cm的頻率，然后根據(jù)利用頻率估計(jì)概率求解．【詳解】樣本中身高不低于180cm的頻率==0.15，所以估計(jì)他的身高不低于180cm的概率是0.15．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來越精確．5.如圖，墻上釘著三根木條，量得，，那么木條所在直線所夾的銳角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對頂角相等求出∠3，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算，得到答案．【詳解】如圖，∠3=∠2=100°，∴木條a，b所在直線所夾銳角=180°-100°-70°=10°，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、對頂角的性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．6.若三點(diǎn)，，在同一直線上，則的值等于（）A.-1 B.0 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】利用（1，4），（2，7）兩點(diǎn)求出所在的直線解析式，再將點(diǎn)（a，10）代入解析式即可.【詳解】設(shè)經(jīng)過（1，4），（2，7）兩點(diǎn)的直線解析式為y=kx+b，∴∴，∴y=3x+1，將點(diǎn)（a，10）代入解析式，則a=3；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)上點(diǎn)的特點(diǎn)；熟練待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．7.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過變換后得到拋物線，則這個變換可以是（）A.向左平移2個單位 B.向右平移2個單位C.向左平移8個單位 D.向右平移8個單位【答案】B【解析】【分析】根據(jù)變換前后的兩拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)找變換規(guī)律．【詳解】y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，-16）．y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，-16）．所以將拋物線y=（x+5）（x-3）向右平移2個單位長度得到拋物線y=（x+3）（x-5），故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．8.如圖，內(nèi)接于圓，，，若，則弧的長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】連接OB，OC．首先證明△OBC是等腰直角三角形，求出OB即可解決問題．【詳解】連接OB，OC．∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-65°-70°=45°，∴∠BOC=90°，∵BC=2，∴OB=OC=2，∴的長為=π，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，弧長公式，等腰直角三角形的性質(zhì)的等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識9.正方形的邊上有一動點(diǎn)，以為邊作矩形，且邊過點(diǎn)，在點(diǎn)從點(diǎn)移動到點(diǎn)的過程中，矩形的面積（）A.先變大后變小 B.先變小后變大 C.一直變大 D.保持不變【答案】D【解析】【分析】連接DE，△CDE的面積是矩形CFGE的一半，也是正方形ABCD的一半，則矩形與正方形面積相等．【詳解】連接DE，∵S△CDE＝S四邊形CEGF，S△CDE＝S正方形ABCD，∴矩形ECFG與正方形ABCD的面積相等．故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，連接DE由面積關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．10.如圖1，長、寬均為3，高為8的長方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高為6，繞底面一棱長進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖2是此時的示意圖，則圖2中水面高度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)DE=x，則AD=8-x，由長方體容器內(nèi)水的體積得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，過點(diǎn)C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△BCF的比例線段求得結(jié)果即可．【詳解】過點(diǎn)C作CF⊥BG于F，如圖所示：設(shè)DE=x，則AD=8-x，根據(jù)題意得：（8-x+8）×3×3=3×3×6，解得：x=4，∴DE=4，∵∠E=90°，由勾股定理得：CD=，∵∠BCE=∠DCF=90°，∴∠DCE=∠BCF，∵∠DEC=∠BFC=90°，∴△CDE∽△BCF，∴，即，∴CF=．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、長方體的體積、梯形的面積的計(jì)算方法；熟練掌握勾股定理，由長方體容器內(nèi)水的體積得出方程是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題有6個小題，每小題5分，共30分）11.因式分解：______.【答案】【解析】【分析】原式利用平方差公式分解即可．【詳解】原式=（x+1）（x-1）．故答案為：（x+1）（x-1）．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解-運(yùn)用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．12.不等式的解為______.【答案】【解析】【分析】先移項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)，把x的系數(shù)化為1即可．【詳解】移項(xiàng)得，3x≥4+2，合并同類項(xiàng)得，3x≥6，把x的系數(shù)化為1得，x≥2．故答案為：x≥2．【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步驟是解答此題的關(guān)鍵．13.我國的《洛書》中記載著世界最古老的一個幻方：將1～9這九個數(shù)字填入的方格中，使三行、三列、兩對角線上的三個數(shù)之和都相等，如圖的幻方中，字母所表示的數(shù)是______.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)“每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和相等”解答即可．【詳解】根據(jù)“每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和相等”，可知三行、三列、兩對角線上的三個數(shù)之和都等于15，∴第一列第三個數(shù)為：15-2-5=8，∴m=15-8-3=4．故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)的特點(diǎn)，抓住每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和相等，數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵．14.如圖，在直線上方有一個正方形，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，與交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，連結(jié)，則的度數(shù)為______.【答案】或【解析】【分析】分點(diǎn)E與正方形ABCD的直線AP的同側(cè)、點(diǎn)E與正方形ABCD的直線AP的兩側(cè)兩種情況，根據(jù)正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)解答．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AE，∠DAE=90°，∴∠BAM=180°-90°-30°=60°，AD=AB，如圖，當(dāng)點(diǎn)E與正方形ABCD的直線AP的同側(cè)時，由題意得，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，∴∠ADE=45°，當(dāng)點(diǎn)E與正方形ABCD的直線AP的兩側(cè)時，由題意得，E′A=E′M，∴△AE′M為等邊三角形，∴∠E′AM=60°，∴∠DAE′=360°-120°-90°=150°，∵AD=AE′，∴∠ADE′=15°，故答案為：15°或45°．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．15.如圖，矩形的頂點(diǎn)都在曲線（常數(shù)，）上，若頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線的函數(shù)表達(dá)式是_.【答案】【解析】【分析】利用矩形的性質(zhì)和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到A（，3），C（5，），所以B（，），然后利用待定系數(shù)法求直線BD的解析式．【詳解】∵D（5，3），∴A（，3），C（5，），∴B（，），設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n，把D（5，3），B（，）代入得，解得，∴直線BD的解析式為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．也考查了矩形的性質(zhì)．16.把邊長為2的正方形紙片分割成如圖的四塊，其中點(diǎn)為正方形的中心，點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)，用這四塊紙片拼成與此正方形不全等的四邊形（要求這四塊紙片不重疊無縫隙），則四邊形的周長是______.【答案】10或或【解析】【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)周長的定義即可求解．【詳解】如圖所示：圖1的周長為1+2+3+2=6+2；圖2的周長為1+4+1+4=10；圖3的周長為3+5++=8+2．故四邊形MNPQ的周長是6+2或10或8+2．故答案為：6+2或10或8+2．【點(diǎn)睛】考查了平面鑲嵌（密鋪），關(guān)鍵是得到與此正方形不全等的四邊形MNPQ（要求這四塊紙片不重疊無縫隙）的各種情況．三、解答題（本大題有8小題，17～20題每小題8分，第21題10分，第22，23小題每小題12分，第24小題14分，共80分，解答需要寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程）17.（1）計(jì)算：；（2）為何值時，兩個代數(shù)式，值相等？【答案】（1）-3；（2），.【解析】【分析】（1）根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算法則解答；（2）利用題意得到x2+1=4x+1，利用因式分解法解方程即可．【詳解】（1）原式.（2），，，，.【點(diǎn)睛】考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．18.如圖是某型號新能源純電動汽車充滿電后，蓄電池剩余電量（千瓦時）關(guān)于已行駛路程（千米）的函數(shù)圖象.（1）根據(jù)圖象，直接寫出蓄電池剩余電量為35千瓦時時汽車已行駛的路程，當(dāng)時，求1千瓦時的電量汽車能行駛的路程；（2）當(dāng)時求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并計(jì)算當(dāng)汽車已行駛180千米時，蓄電池的剩余電量.【答案】（1）1千瓦時可行駛6千米；（2）當(dāng)時，函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)汽車行駛180千米時，蓄電池剩余電量為20千瓦時.【解析】【分析】（1）由圖象可知，蓄電池剩余電量為35千瓦時時汽車已行駛了150千米，據(jù)此即可求出1千瓦時的電量汽車能行駛的路程；（2）運(yùn)用待定系數(shù)法求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，再把x=180代入即可求出當(dāng)汽車已行駛180千米時，蓄電池的剩余電量．【詳解】（1）由圖像可知，蓄電池剩余電量為35千瓦時時汽車行駛了150千米.1千瓦時可行駛千米.（2）設(shè)，把點(diǎn)，代入，得，∴，∴當(dāng)時，.答：當(dāng)時，函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)汽車行駛180千米時，蓄電池剩余電量為20千瓦時.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵：（1）熟練運(yùn)用待定系數(shù)法就解析式；（2）找出剩余油量相同時行駛的距離．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該類問題應(yīng)結(jié)合圖形，理解圖形中點(diǎn)的坐標(biāo)代表的意義．19.小明、小聰參加了跑的5期集訓(xùn)，每期集訓(xùn)結(jié)束市進(jìn)行測試，根據(jù)他們的集訓(xùn)時間、測試成績繪制成如下兩個統(tǒng)計(jì)圖：根據(jù)圖中信息，解答下列問題：（1）這5期集訓(xùn)共有多少天？小聰5次測試的平均成績是多少？（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，結(jié)合體育運(yùn)動的實(shí)際，從集訓(xùn)時間和測試成績這兩方面，說說你的想法.【答案】（1）這5期的集訓(xùn)共56天，小聰5次測試的平均成績是11.68秒；（2）見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)圖中的信息可以求得這5期的集訓(xùn)共有多少天和小聰5次測試的平均成績；（2）根據(jù)圖中的信心和題意，說明自己的觀點(diǎn)即可，本題答案不唯一，只要合理即可．【詳解】（1）這5期的集訓(xùn)共有：5+7+10+14+20=56（天），小聰5次測試的平均成績是：（11.88+11.76+11.61+11.53+11.62）÷5=11.68（秒），答：這5期的集訓(xùn)共有56天，小聰5次測試的平均成績是11.68秒；（2）從集訓(xùn)時間看，集訓(xùn)時間不是越多越好，集訓(xùn)時間過長，可能造成勞累，導(dǎo)致成績下滑，如圖中第4期與前面兩期相比；從測試成績看，兩人的最好成績是都是在第4期出現(xiàn)，建議集訓(xùn)時間定為14天．【點(diǎn)睛】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、算術(shù)平均數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．20.如圖1，為放置在水平桌面上的臺燈，底座的高為.長度均為的連桿，與始終在同一水平面上.（1）旋轉(zhuǎn)連桿，，使成平角，，如圖2，求連桿端點(diǎn)離桌面的高度.（2）將（1）中的連桿繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，使，如圖3，問此時連桿端點(diǎn)離桌面的高度是增加了還是減少？增加或減少了多少？（精確到，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）；（2）下降了，約.【解析】【分析】（1）如圖2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解決問題．（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．則四邊形PCHG是矩形，求出DF，再求出DF-DE即可解決問題．【詳解】（1）過點(diǎn)作，垂足為，如圖2，則四邊形是矩形，，∴，∴.（2）下降了.如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形為矩形，∵，∴，又∵，∴，∴，，∴.∴下降高度：.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．21.如圖，內(nèi)接于圓，直徑的長為2，過點(diǎn)的切線交的延長線于點(diǎn).張老師要求添加條件后，編制一道題目，并解答.（1）在添加條件，求的長，請你解答.（2）以下是小明，小聰?shù)膶υ挘盒∶鳎何壹拥臈l件是，就可以求出的長.小聰：你這樣太簡單了，我加的條件是，連結(jié)，就可以證明與全等.參考此對話，在內(nèi)容中添加條件，編制一道題目（可以添線、添字母），并解答.【答案】（1），見解析；（2）見解析.【解析】【分析】（1）連接OC，如圖，利用切線的性質(zhì)得∠OCD=90°，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OD=2，然后計(jì)算OA+OD即可；（2）添加∠DCB=30°，求AC的長，利用圓周角定理得到∠ACB=90°，再證明∠A=∠DCB=30°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求AC的長．【詳解】（1）連接OC，如圖，∵CD為切線，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵∠D=30°，∴OD=2OC=2，∴AD=AO+OD=1+2=3；（2）添加∠DCB=30°，求AC的長，∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∵∠ACO+∠OCB=90°，∠OCB+∠DCB=90°，∴∠ACO=∠DCB，∵∠ACO=∠A，∴∠A=∠DCB=30°，在Rt△ACB中，BC=AB=1，∴AC=BC=．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了圓周角定理．22.有一塊形狀如圖的五邊形余料，，，，，.要在這塊余料中截取一塊矩形材料，其中一邊在上，并使所截矩形的面積盡可能大.（1）若所截矩形材料的一條邊是或，求矩形材料的面積；（2）能否截出比（1）中面積更大的矩形材料？如果能，求出這些矩形材料面積的最大值，如果不能，請說明理由.【答案】（1）S=30；（2）能，的最大值為30.25.【解析】【分析】（1）①若所截矩形材料的一條邊是BC，過點(diǎn)C作CF⊥AE于F，得出S1=AB?BC=6×5=30；②若所截矩形材料的一條邊是AE，過點(diǎn)E作EF∥AB交CD于F，F(xiàn)G⊥AB于G，過點(diǎn)C作CH⊥FG于H，則四邊形AEFG為矩形，四邊形BCHG為矩形，證出△CHF為等腰三角形，得出AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH，求出BG=CH=FH=FG-HG=1，AG=AB-BG=5，得出S2=AE?AG=6×5=30；（2）在CD上取點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FM⊥AB于M，F(xiàn)N⊥AE于N，過點(diǎn)C作CG⊥FM于G，則四邊形ANFM為矩形，四邊形BCGM為矩形，證出△CGF為等腰三角形，得出MG=BC=5，BM=CG，F(xiàn)G=DG，設(shè)AM=x，則BM=6-x，F(xiàn)M=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x，得出S=AM×FM=x（11-x）=-x2+11x，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】（1）①若所截矩形材料的一條邊是BC，如圖1所示：過點(diǎn)C作CF⊥AE于F，S1=AB?BC=6×5=30；②若所截矩形材料的一條邊是AE，如圖2所示：過點(diǎn)E作EF∥AB交CD于F，F(xiàn)G⊥AB于G，過點(diǎn)C作CH⊥FG于H，則四邊形AEFG為矩形，四邊形BCHG為矩形，∵∠C=135°，∴∠FCH=45°，∴△CHF為等腰直角三角形，∴AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH，∴BG=CH=FH=FG-HG=6-5=1，∴AG=AB-BG=6-1=5，∴S2=AE?AG=6×5=30；（2）能；理由如下：在CD上取點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FM⊥AB于M，F(xiàn)N⊥AE于N，過點(diǎn)C作CG⊥FM于G，則四邊形ANFM為矩形，四邊形BCGM為矩形，∵∠C=135°，∴∠FCG=45°，∴△CGF為等腰直角三角形，∴MG=BC=5，BM=CG，F(xiàn)G=DG，設(shè)AM=x，則BM=6-x，∴FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x，∴S=AM×FM=x（11-x）=-x2+11x=-（x-5.5）2+30.25，∴當(dāng)x=5.5時，S的最大值為30.25．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、矩形面積公式以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．23.如圖1是實(shí)驗(yàn)室中的一種擺動裝置，在地面上，支架是底邊為的等腰直角三角形，擺動臂長可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，擺動臂可繞點(diǎn)