河北省秦皇島市青龍縣聯(lián)考高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)答案

2023—2024學(xué)年第一學(xué)期青龍縣部分學(xué)校期中聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試題本試卷共22題．全卷滿分150分.考試用時120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合0，1，，，則A. B. C.0， D.1，【答案】B【解析】【分析】化簡集合N，再求即可．【詳解】集合0，1，，，．故選B．【點睛】本題考查了集合的化簡與簡單運算問題，是基礎(chǔ)題目．2.平面直角坐標(biāo)系中，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量，向量，以下說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，根據(jù)向量垂直和向量共線的坐標(biāo)表示可判斷BD，根據(jù)向量模的運算可判斷A，根據(jù)數(shù)量積運算可判斷C.【詳解】由題意不妨設(shè)，則，，據(jù)此逐一考查所給的選項：，，則，選項A錯誤；，則，選項B正確；，則，選項C錯誤；不存在實數(shù)滿足，則不成立，選項D錯誤；故選：B3.“”是“函數(shù)與函數(shù)為同一函數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式，結(jié)合充分條件與必要條件定義，論證充分性與必要性是否成立即可.【詳解】若，則，即函數(shù)與函數(shù)為同一函數(shù)，充分性成立；若函數(shù)與函數(shù)為同一函數(shù)，的值可以為，即兩個函數(shù)數(shù)為同一函數(shù)不能推出，必要性不成立，所以，“”是“函數(shù)與函數(shù)為同一函數(shù)”的充分而不必要條件，故選：A【點睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，以及充分條件與必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.4.等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A.2 B.2 C.1 D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項和公式的結(jié)構(gòu)求得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，當(dāng)時，，不合題意；當(dāng)時，等比數(shù)列前項和公式，依題意.故選：A5.將一個長方體沿從同一個頂點出發(fā)的三條棱截去一個棱錐，棱錐的體積與剩下的幾何體的體積之比為（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)棱柱和棱錐的體積公式計算【詳解】設(shè)長方體同一頂點引出的三條棱長分別是、、，則截去的棱錐的體積，原長方體的體積，剩下的幾何體的體積為，∴故選：D6.已知均為單位向量，若，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意均為單位向量，若，兩邊平方，解得即，代入夾角公式，根據(jù)夾角取值范圍，即可求得夾角.【詳解】解：依題意，，，所以，即，所以，

，所以.

故選：C.【點睛】本題主要考查平面向量的概念及運算等基礎(chǔ)知識，向量夾角的范圍，以及已知三角函數(shù)值求角的方法，屬于基礎(chǔ)題.7.已知，若則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義域，對中的分為和討論，代入相應(yīng)的解析式，并分別結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，即可求出的范圍．【詳解】當(dāng)時，由得，所以，又，故，當(dāng)時，由得，所以，又，故，綜上，的取值范圍是．故選：D.【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的不等式解法及指數(shù)、對數(shù)不等式的解法，同時考查分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題．8.已知的一段圖象如圖所示，則（）A.B.的圖象的一個對稱中心為C.的單調(diào)遞增區(qū)間是D.函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到的是一個奇函數(shù)的圖象【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)函數(shù)圖像求出函數(shù)解析式，即可判斷A，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可；【詳解】解：由圖可知，，所以，解得，所以，又函數(shù)過點，即，所以，解得，因為，所以，所以，故A錯誤；因為，所以函數(shù)關(guān)于對稱，故B錯誤；令，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C正確；將函數(shù)的圖象向左平移個單位得為偶函數(shù)，故D錯誤；故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列敘述中正確的是（）A.“”是“是反比例函數(shù)”的既不充分也不必要條件B.“”是“”的充分不必要條件C.“”是“有實數(shù)解”的充要條件D.“”是“方程有一個正根和一個負(fù)根”的充要條件【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合選項即可求解.【詳解】對于選項A，當(dāng)時，不是反比例函數(shù)，當(dāng)是反比例函數(shù)時，，所以“”是“是反比例函數(shù)”的既不充分也不必要條件，故A正確；對于選項B，“”時，，當(dāng)時，或，所以不能得出，故“”是“”的充分不必要條件，故B正確；對于選項C，“有實數(shù)解，等價于，故“”是“有實數(shù)解”的充分不必要條件，故C錯誤；對于選項D，“方程有一個正根和一個負(fù)根”等價于，解得，所以，“”是“方程有一個正根和一個負(fù)根”的充要條件，故選項D正確.故選：ABD.10.如圖，為圓錐的底面圓的直徑，點是圓上異于，的動點，，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓錐的側(cè)面積為B.三棱錐體積的最大值為C.的取值范圍是D.若，為線段上的動點，則的最小值為【答案】BD【解析】【分析】先求出圓錐母線長，利用圓錐的側(cè)面積公式判斷A；當(dāng)時，的面積最大，計算體積最大值判斷B；先用取極限的思想求出的范圍，再利用求范圍判斷C；將以為軸旋轉(zhuǎn)到與共面，得到，求出判斷D作答.【詳解】在中，，則圓錐的母線長，半徑，對于A，圓錐的側(cè)面積為：，A錯誤；對于B，當(dāng)時，的面積最大，此時，則三棱錐體積的最大值為：，B正確；對于C，是等腰三角形，，又因為，則，依題意，，而，因此，C錯誤；對于D，由，，得，有為等邊三角形，將以為軸旋轉(zhuǎn)到與共面的位置，得到，則為等邊三角形，，如圖，于是，因為，，所以，D正確.故選：BD11.已知函數(shù)，則下列選項正確的是（）A.是的極大值點B.使得C.若方程為參數(shù)，有兩個不等實數(shù)根，則的取值范圍是D.方程有且只有兩個實根．【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及極值，畫出函數(shù)的大致圖像，結(jié)合圖像對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，則，當(dāng)，時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，且，；當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且，，故恒成立，畫出的大致圖像如圖所示.∴是的極大值點，故A正確．結(jié)合圖像可知，B正確．方程等價于或，由圖知有一個實數(shù)根，要使原方程有兩個實數(shù)根等價于只有一解．由圖可得：或，故C錯；分別畫出與的圖像，由圖可得兩函數(shù)圖像有三個交點，故D錯誤．故選：AB【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)，分別研究與的圖象，從而數(shù)形結(jié)合即可得解.12.某社區(qū)開展“防疫知識競賽”，甲?乙兩人榮獲一等獎的概率分別為p和q，兩人是否獲得一等獎相互獨立，則這兩人中至少有一人獲得一等獎的概率為（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】令且A、B相互獨立，從正反兩個角度，利用事件的關(guān)系及含義表示出兩人中至少有一人獲得一等獎，進(jìn)而求出其概率即可.【詳解】記A“甲獲得一等獎”，B為“乙獲得一等獎”，則且A、B相互獨立.從正面考慮，甲?乙兩人中至少有一人獲得一等獎為，為三個互斥事件，所以；從反面考慮，事件“甲?乙兩人中至少有一人獲得一等獎”的對立事件是“甲?乙兩人都沒獲得一等獎”，即事件，易得，所以“這兩人中至少有一人獲得一等獎”的概率為，綜上，A、D正確.故選：AD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.，，則的值__________．【答案】54【解析】【詳解】由，得：，則，故答案為54.14.的展開式中的系數(shù)為___________【答案】80【解析】【分析】寫出二項展開式的通項，求出指定項即可得解.【詳解】展開式的通項，含的項中，，解得，所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：8015.在中，角所對的邊分別為，若，，，則_______．【答案】【解析】【詳解】試題分析：由正弦定理又所以,所以考點：正弦定理的應(yīng)用.16.已知函數(shù)f(x)＝x(8－2x)(5－2x)在區(qū)間［0，3］上的最大值是______．【答案】18【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，明確函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值.【詳解】由題意可得，∴，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)f(x)＝x(8－2x)(5－2x)在區(qū)間［0，3］上的最大值是，故答案為18【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列滿足，，且，，構(gòu)成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)可得，所以數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，再根據(jù)，，構(gòu)成等比數(shù)列，得，即，解出后利用等差數(shù)列通項公式即可求出數(shù)列的通項公式．（2）易知，則利用錯位相減求和法即可求出數(shù)列的前項和．【詳解】解：（1）由，得，所以數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，又，，構(gòu)成等比數(shù)列，得，即，整理解得，所以．（2），則，，兩式相減得，即，所以．18.四棱錐中，，底面為等腰梯形，，，為線段的中點，.（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角正弦值.【答案】（1）見解析，（2）【解析】【分析】（1）過作于，則由已知可得，從而得，再由∽,可得，由此得，得到，再可證得平面，從而有，然后由線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）如圖，以為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解線面角的正弦值.【詳解】（1）證明：因為，為線段的中點，所以，在等腰梯形中，作于，則由得，所以，所以，因為，所以所以∽,所以，所以，所以，因為，，所以平面，因為在平面內(nèi)，所以，因為，在平面內(nèi)，所以平面；（2）解：因為，，所以，,取的中點，連接，則，因為平面，所以，又所以平面，所以如圖，以為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，由（1）知平面，則平面的法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則,所以直線與平面所成角的正弦值為【點睛】此題考查了線面垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，空間直角坐標(biāo)的應(yīng)用，考查了運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于中檔題.19.在①，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并解答該問題.問題：銳角的內(nèi)角的對邊分別為，且______.（1）求；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選①，首先通過正弦定理將已知條件中的邊轉(zhuǎn)化成角，然后根據(jù)恒等變換化簡即可求出角；選②，首先通過正弦定理將已知條件中的邊轉(zhuǎn)化成角，然后將代入，最后根據(jù)恒等變換化簡即可求出角；選③，首先通過正弦定理將已知條件中的邊轉(zhuǎn)化成角，然后根據(jù)恒等變換化簡求出，即可求出角.（2）首先將代入，然后利用恒等變換將其化簡成正弦型函數(shù)，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解取值范圍即可.【小問1詳解】選①，所以，所以，整理得.因為，所以.因為，所以.選②因為，所以，所以，整理得.因為，所以，因為，所以.選③因為，所以，所以，整理得.因為，所以.因為，所以，.【小問2詳解】因為，所以.因為，所以，所以，所以，所以，故.20.衛(wèi)生紙要求無毒性化學(xué)物質(zhì)、無對皮膚有刺激性的原料、無霉菌病毒性細(xì)菌殘留．衛(wèi)生紙的特征是吸水性強(qiáng)、無致病菌、紙質(zhì)柔軟厚薄均勻無孔洞、起皺均勻、色澤一致．衛(wèi)生紙主要是供人們生活日常衛(wèi)生之用．是人民群眾生活中不可缺少的紙種之一．某品牌衛(wèi)生紙生產(chǎn)廠家為保證產(chǎn)品質(zhì)量．現(xiàn)從甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取600件進(jìn)行品質(zhì)鑒定．并將統(tǒng)計結(jié)果整理如下：合格品優(yōu)等品甲生產(chǎn)線16030乙生產(chǎn)線32090（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷是否有的把握認(rèn)為產(chǎn)品的品質(zhì)與生產(chǎn)線有關(guān)？（2）用分層抽樣的方法，從樣本的優(yōu)等品中抽取8件進(jìn)行詳細(xì)檢測，再從這8件產(chǎn)品中任選2件，求所選的2件產(chǎn)品中至少有1件來自甲生產(chǎn)線的概率．附：，其中．【答案】（1）有的把握認(rèn)為產(chǎn)品的品質(zhì)與生產(chǎn)線有關(guān)（2）【解析】【分析】（1）由獨立性檢驗公式求，比較與臨界值的大小作答結(jié)論；（2）由抽樣比得兩生產(chǎn)線的抽樣數(shù)，再由古典概型概率公式可得.【小問1詳解】補(bǔ)充列聯(lián)表如下：

合格品優(yōu)等品總計甲生產(chǎn)線16030190乙生產(chǎn)線32090410總計480120600零假設(shè)產(chǎn)品的品質(zhì)與生產(chǎn)線無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認(rèn)為產(chǎn)品的品質(zhì)與生產(chǎn)線有關(guān)，此推斷有的把握認(rèn)為產(chǎn)品的品質(zhì)與生產(chǎn)線有關(guān).【小問2詳解】根據(jù)分層抽樣可知，在抽取的件優(yōu)等品中，來自甲生產(chǎn)線的有件，記為，來自乙生產(chǎn)線的有件，記為.設(shè)事件“所選的2件產(chǎn)品中至少有1件來自甲生產(chǎn)線”，從這件產(chǎn)品中任選件，所有的等可能結(jié)果有，共種；其中，所選2件產(chǎn)品中至少有1件來自甲生產(chǎn)線的結(jié)果有，共種；則由古典概型概率公式得.21.已知向量滿足，函數(shù).（1）求函數(shù)的對稱軸方程；（2）求函數(shù)在時的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由數(shù)量積公式結(jié)合輔助角公式得出的解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出對稱軸方程；（2