新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測專題6.3平面向量的應(yīng)用（講）原卷版

專題6.3平面向量的應(yīng)用新課程考試要求1.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題．2.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題.3.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及所有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：邏輯推理（多例）、直觀想象（多例）、數(shù)學(xué)運算（多例）等.考向預(yù)測（1）以平面圖形為載體，借助于平面向量研究平面幾何平行、垂直等問題；也易同三角函數(shù)、解析幾何等知識相結(jié)合，以工具的形式出現(xiàn)．（2）正弦定理或余弦定理獨立命題；（3）正弦定理與余弦定理綜合命題；（4）與三角函數(shù)的變換結(jié)合命題；（5）考查較為靈活，題型多變，選擇題、填空題的形式往往獨立考查正弦定理或余弦定理，解答題往往綜合考查定理在確定三角形邊角中的應(yīng)用，多與三角形周長、面積有關(guān)；有時也會與平面向量、三角恒等變換、立體幾何等結(jié)合考查.【知識清單】知識點1.向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用主要有以下方面：(1)證明線段相等、平行，常運用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時也用到向量減法的意義．(2)證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線(或線段)是否平行，常運用向量平行(共線)的條件：a∥b?a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)．(3)證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線(線段)是否垂直等，常運用向量垂直的條件：a⊥b?a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)．(4)求與夾角相關(guān)的問題，往往利用向量的夾角公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)．(5)向量的坐標(biāo)法，對于有些平面幾何問題，如長方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示，通過代數(shù)運算解決幾何問題．知識點2．向量在物理中的應(yīng)用數(shù)學(xué)中對物理背景問題主要研究下面兩類：(1)力向量力向量是具有大小、方向和作用點的向量，它與前面學(xué)習(xí)的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不計作用點的情況下，__可用向量求和的平行四邊形法則，求兩個力的合力__．(2)速度向量速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四邊形法則，求兩個速度的合速度__．知識點3．正弦定理正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形為：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)等形式，以解決不同的三角形問題．面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB知識點4．余弦定理余弦定理：，，.變形公式cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，osC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)【考點分類剖析】考點一：平面向量在平面幾何中的應(yīng)用【典例1】（2021·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一期中）已知非零向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為（）A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【典例2】（2021·吉林吉林市·高三三模（文））已知SKIPIF1<0?SKIPIF1<0為平面上的兩個定點，且SKIPIF1<0，該平面上的動線段SKIPIF1<0的端點SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則動線段SKIPIF1<0所形成圖形的面積為（）A．36 B．60 C．72 D．108【典例3】（2021·濟南市·山東師范大學(xué)附中高一期中）設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面上一點，且滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面積為2，則SKIPIF1<0面積為_______________．【總結(jié)提升】1.用平面向量解決幾何問題，往往涉及平行、垂直．2.處理幾何問題有兩個角度，一是注意選定基底，用相同的向量表示研究對象；二是通過建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算求解．3.要證明兩線段平行，如AB∥CD，則只要證明存在實數(shù)λ≠0，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))成立，且AB與CD無公共點．4.要證明A、B、C三點共線，只要證明存在一實數(shù)λ≠0，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))．5.要求一個角，如∠ABC，只要求向量eq\o(BA,\s\up6(→))與向量eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角即可．6.在解決求長度的問題時，可利用向量的數(shù)量積及模的知識，解題過程中用到的整體代入使問題得到簡捷、明了的解決．【變式探究】1．（2021·河北高一期中）已知SKIPIF1<0是邊長為2的正三角形，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)的一點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0長度的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02.（2021·寧夏銀川市·銀川一中高三其他模擬（理））若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)任意一點，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀為______．（填：等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形）考點二：用向量方法探究存在性問題【典例4】在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是邊AC上靠近點A的一個三等分點，試問：在線段BM(端點除外)上是否存在點P，使得PC⊥BM?【規(guī)律總結(jié)】本題若用平面幾何知識解非常復(fù)雜，利用共線向量則能巧妙解決，在今后解題中注意體會和應(yīng)用．【變式探究】△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是邊BC的中點，BE⊥AD，垂足為E，延長BE交AC于F，連接DF，求證：∠ADB＝∠FDC．考點三：平面向量在物理中的應(yīng)用【典例5】（2021·全國高一課時練習(xí)）空間作用在同一點的三個力SKIPIF1<0兩兩夾角為SKIPIF1<0，大小分別為SKIPIF1<0，設(shè)它們的合力為SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0，且與SKIPIF1<0夾角余弦為SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，且與SKIPIF1<0夾角余弦為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，且與SKIPIF1<0夾角余弦為SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，且與SKIPIF1<0夾角余弦為SKIPIF1<0【典例6】（2021·全國高一課時練習(xí)）如圖，重為SKIPIF1<0的勻質(zhì)球，半徑SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，放在墻與均勻的SKIPIF1<0木板之間，SKIPIF1<0端鎖定并能轉(zhuǎn)動，SKIPIF1<0端用水平繩索SKIPIF1<0拉住，板長SKIPIF1<0，與墻夾角為SKIPIF1<0，如果不計木板的重量，則SKIPIF1<0為何值時，繩子拉力最??？最小值是多少？【總結(jié)提升】1.求幾個力的合力，可以用幾何法，通過解三角形求解，也可用向量法求解．2．如果一個物體在力G的作用下產(chǎn)生位移為s，那么力F所做的功W＝|F||s|cosθ，其中θ是F與s的夾角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力與位移的數(shù)量積．【變式探究】1．【多選題】（2021·浙江高一期末）在水流速度為SKIPIF1<0的河水中，一艘船以SKIPIF1<0的實際航行速度垂直于對岸行駛，則下列關(guān)于這艘船的航行速度的大小和方向的說法中，正確的是（）A．這艘船航行速度的大小為SKIPIF1<0B．這艘船航行速度的大小為SKIPIF1<0C．這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為SKIPIF1<0D．這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為SKIPIF1<02.（2021·云南昆明市·高三三模（理））兩同學(xué)合提一捆書，提起后書保持靜止，如圖所示，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0大小之比為___________．考點四：正弦定理【典例7】（2019·全國高考真題（文））的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinA+acosB=0，則B=___________.【典例8】（2021·濟南市·山東師范大學(xué)附中高一期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角SKIPIF1<0；（2）在平面四邊形SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．【總結(jié)提升】已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角，這是解題的難點，應(yīng)引起注意．已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，注意解的情況．如已知a，b，A，則A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的個數(shù)無解一解兩解一解一解無解【變式探究】1.（2019·北京高考模擬（理））在ΔABC中，已知BC=6，AC=4，sinA=32.（2018·北京高考真題（理））在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–17（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC邊上的高．考點五余弦定理【典例9】（2020·全國高考真題（文））SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知B=150°.（1）若a=SKIPIF1<0c，b=2SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積；（2）若sinA+SKIPIF1<0sinC=SKIPIF1<0，求C.【典例10】（2021·濟南市·山東省實驗中學(xué)高一期中）在平面四邊形ABCD中，AB=4，AD=2SKIPIF1<0，對角線AC與BD交于點E；E是BD的中點，且SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，求cos∠AED的值；（2）若SKIPIF1<0，求BD的長.【規(guī)律方法】應(yīng)用余弦定理解答兩類問題：【變式探究】1.（2021·四川雅安市·雅安中學(xué)高一期中）已知SKIPIF1<0的角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，設(shè)向量SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，求證SKIPIF1<0為等腰三角形；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積.2.（2019·北京高考真題（文））在△ABC中，a=3，，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B+C）的值．【總結(jié)提升】已知三邊，由余弦定理求，再由求角，在有解時只有一解.已知兩邊和夾角，余弦定理求出對邊.考點六正弦定理與余弦定理的綜合運用【典例11】（2020·江蘇省高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c