圓錐曲線的通用形式與標(biāo)準(zhǔn)形式的轉(zhuǎn)換全套

[名校]圓錐曲線的通用形式與標(biāo)準(zhǔn)形式的轉(zhuǎn)換圓錐曲線的來(lái)歷及其種類(lèi)，列出的都是其標(biāo)準(zhǔn)方程。方程特征值離心率e圓X2+y2=r2半徑r等于0橢圓X2/a2+y2/b2=1長(zhǎng)軸在x上為2a小于1雙曲線X2/a2-y2/b2=1實(shí)軸在x上大于1拋物線Y2=2px焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為p,對(duì)稱(chēng)軸為x等于1表一：圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式它們共同的特點(diǎn)是其圖形中心都在直角坐標(biāo)的原點(diǎn)，都對(duì)稱(chēng)于坐標(biāo)軸，并且沒(méi)有xy乘積項(xiàng)。那么有沒(méi)有一種通用的形式能夠表達(dá)上面的圓錐曲線方程呢？答案是肯定的。設(shè)二元二次方程為：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0（1）就能滿足圓錐曲線的通式，其中A，B,C,D,E,F都是實(shí)數(shù)。（1）式通過(guò)坐標(biāo)的平移或旋轉(zhuǎn)的變換就可以變成表一中的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式。討論1：如果B=0，那么Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，（2）這個(gè)方程通過(guò)配方就可以轉(zhuǎn)換成圓錐曲線的對(duì)稱(chēng)軸平行于x或y軸（特殊情況可能是直線或一點(diǎn)）的形式。如果A或C中有一個(gè)為零，則曲線的形式為拋物線，例如x2-4x

?8y

+12=0其經(jīng)過(guò)配方為（x-2）2=8(y-1),這是頂點(diǎn)在（2，1）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離p=4的拋物線。如圖1：圖一方程式(2)通過(guò)平移可以轉(zhuǎn)換成表一的標(biāo)準(zhǔn)形式。平移的公式為：x=x’+hy=y’+k（3）其中（x,y）是（1）式的原坐標(biāo)，(x’,y’)是平移后的新坐標(biāo)。由下圖可清晰地看出點(diǎn)P在新舊坐標(biāo)之間的關(guān)系，其中O‘（h,k）是新坐標(biāo)原點(diǎn)在舊坐標(biāo)系的坐標(biāo)。圖2：坐標(biāo)軸平移討論2：如果A，C同為正數(shù)或負(fù)數(shù)，B=0，則式子（1）為橢圓的表達(dá)式。例如：9x2

+4y2?36x

+24y

+36=0，它經(jīng)過(guò)配方可變成：利用平移原理，可知它在新坐標(biāo)是符合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,只要設(shè)x’=x-2,y’=y+3，即坐標(biāo)平移到（2，-3）這點(diǎn)就滿足標(biāo)準(zhǔn)形式。圖3討論3：如果A，C是異號(hào)，B=0，則是（1）是雙曲線的方程，舉例如下：9x2

?16y2+36x

+32y

–124=0，將其配方可得：根據(jù)平移公式可知h=-2,k=1,即新坐標(biāo)原點(diǎn)，也是雙曲線的軸對(duì)稱(chēng)中心為（-2，1），其中長(zhǎng)半軸a=4,短半軸（虛軸）=3，曲線如下：圖4討論4：如果B≠0，通過(guò)坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換可去掉xy乘積項(xiàng)。高中學(xué)習(xí)了坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換的公式：x=x’cosθ-y’sinθy=x’sinθ+y’cosθ（4）該公式根據(jù)下圖可自行推導(dǎo)。圖5：坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)將旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)公式（4）帶入（1）中推導(dǎo)會(huì)得出新坐標(biāo)系下的方程：A’x’2+Bx’y’+Cy’2+Dx’+Ey’+F=0(5)將（5）式與（1）式的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，然后讓B’=0,可推出：若A=C，則旋轉(zhuǎn)π/4,就可以消除xy乘積項(xiàng)。A≠C可得下面的系數(shù)轉(zhuǎn)換式子：若A≠C，利用（6）式子可得出θ角，然后按上面的算式求A’,B‘，C’，D‘，E’,F’.但實(shí)際上利用三角變換可以不求θ角，而直接算出新系數(shù)。因?yàn)橹纁ot2θ的值可求得tanθ,隨后利用tanθ的結(jié)果帶入上面的系數(shù)公式，請(qǐng)讀者利用三角函數(shù)的知識(shí)自行推導(dǎo)。舉個(gè)例子：13x2?63xy

+7y2?256=0.在這個(gè)等式中A

=13,

B

=?63,

C

=7,

D

=0,

E

=0,及

F

=?256.cot2θ

=（A

–

C）/B,

可得θ=π/3,帶入旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的公式中可得：A’=4，B’=0,C’=16,D’=0,E’=0,F’=F.由此可得方程：其曲線圖形如下：圖6想想xy=1怎樣坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，最后是什么圓錐曲線？最后討論Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0系數(shù)滿足什么條件會(huì)是橢圓，雙曲線或拋物線。令判別式Δ=B2-4AC，當(dāng)Δ=0時(shí)為拋物線（特殊形式為兩平行直線）當(dāng)Δ＜0時(shí)為橢圓（特殊形式為點(diǎn)）當(dāng)Δ＞0時(shí)為雙曲線（特殊形式是兩相交