培優(yōu)資料二次函數(shù)中的存在性問題(等腰三角形的存在性問題20121110)

培優(yōu)資料——二次函數(shù)中的存在性問題(等腰三角形和直角三角形)班級(jí)______________姓名_______例1如圖，拋物線經(jīng)過的三個(gè)頂點(diǎn)，已知軸，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且．（1）求拋物線的對(duì)稱軸；（2）寫出三點(diǎn)的坐標(biāo)并求拋物線的解析式；（3）探究：若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上且在軸下方的動(dòng)點(diǎn)，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說明理由．AACByx011解：（1）拋物線的對(duì)稱軸；

（2），，

把點(diǎn)A坐標(biāo)代入中，解得

∴。（3）存在符合條件的點(diǎn)P共有3個(gè)，以下分三類情形探索

設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于N，與CB交于M

過點(diǎn)B作軸于Q，易得，，，

①以AB為腰且頂角為角A的有1個(gè)：

∴

在中，

∴。

②以AB為腰且頂角為角B的有1個(gè)：

在中，

∴。

③以AB為底，頂角為角P的有1個(gè)，即

畫的垂直平分線交拋物線對(duì)稱軸于，此時(shí)平分線必過等腰的頂點(diǎn)C

過點(diǎn)作垂直y軸，垂足為K，顯然

∴

∵

∴

于是

∴。例2如圖，已知拋物線的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度向B運(yùn)動(dòng)，過M作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于Q．（1）求點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）設(shè)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)了x（秒）時(shí)，四邊形OBPC的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍．（3）在線段BC上是否存在點(diǎn)Q，使得△DBQ成為以BQ為一腰的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．解：（1）把x=0代入得點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（0，2），

把y=0代入得點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（3，0）；

（2）連結(jié)OP，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y），

=+

=

=

=

∵點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)上停止，

∴

∴；

（3）存在，

BC=

①若BQ=DQ

∵BQ=DQ，BD=2

∴BM=1

∴OM=3-1=2，

∴

∴QM=，

所以Q的坐標(biāo)為Q（2，），

②若BQ=BD=2

∵△BQM∽△BCO，

∴

∴

∴QM=，

∵，

∴，

∴BM=，

∴OM=，

所以Q的坐標(biāo)為Q（，）。例3如圖，點(diǎn)A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過點(diǎn)A．O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．解：（1）如圖，過B點(diǎn)作BC⊥x軸，垂足為C，則∠BCO=90°。

∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°。

又∵OA=OB=4，

∴OC=OB=×4=2，BC=OB?sin60°=。

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，﹣）。

（2）∵拋物線過原點(diǎn)O和點(diǎn)A．B，

∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx，將A（4，0），B（﹣2，﹣）代入，

得，解得。

∴此拋物線的解析式為。

（3）存在。

如圖，拋物線的對(duì)稱軸是x=2，直線x=2與x軸的交點(diǎn)為D，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，y）。

①若OB=OP，則22+|y|2=42，解得y=±，

當(dāng)y=時(shí)，

在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=，

∴∠POD=60°

∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三點(diǎn)在同一直線上。

∴y=不符合題意，舍去。

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣）。

②若OB=PB，則42+|y+|2=42，解得y=﹣。

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣）。

③若OP=BP，則22+|y|2=42+|y+|2，解得y=﹣。

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣）。

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P只有一個(gè)，其坐標(biāo)為（2，﹣）。（1）首先根據(jù)OA的旋轉(zhuǎn)條件確定B點(diǎn)位置，然后過B做x軸的垂線，通過構(gòu)建直角三角形和OB的長（即OA長）確定B點(diǎn)的坐標(biāo)。

（2）已知O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。

（3）根據(jù)（2）的拋物線解析式，可得到拋物線的對(duì)稱軸，然后先設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，而O、B坐標(biāo)已知，可先表示出△OPB三邊的邊長表達(dá)式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三種情況分類討論，然后分辨是否存在符合條件的P點(diǎn)。例4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過三點(diǎn)．（1）求過三點(diǎn)拋物線的解析式并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）試探究在直線上是否存在一點(diǎn)，使得的周長最小，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．AAOxyBFC圖4解：（1）拋物線的解析式為，頂點(diǎn)

（2）存在

，

（3）存在

理由：延長到點(diǎn)，