人教版九年級上學期期中考試數(shù)學試卷-帶參考答案

第頁人教版九年級上學期期中考試數(shù)學試卷-帶參考答案一.選擇題（每題3分，共30分）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．3x﹣1＝0 B．a(chǎn)x2+bx+c＝0（a，b，c為常數(shù)） C．x2+x＝3 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝02．（3分）將一個正方體沿正面相鄰兩條棱的中點連線截去一個三棱柱，得到一個如圖所示的幾何體，則該幾何體的左視圖是（）A． B． C． D．3．（3分）在Rt△ABC中，各邊都擴大5倍，則銳角A的正切函數(shù)值（）A．不變 B．擴大5倍 C．縮小 D．不能確定4．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，可變形為（）A．（x+3）2＝16 B．（x﹣3）2＝16 C．（x+3）2＝2 D．（x﹣3）2＝25．（3分）正方形網(wǎng)格中，∠AOB如圖放置，則sin∠AOB的值為（）A． B． C．1 D．6．（3分）在銳角△ABC中，若（sinA﹣）2+|﹣cosB|＝0，則∠C等于（）A．60° B．45° C．75° D．105°7．（3分）在如圖所示的電路中，隨機閉合開關S1、S2、S3中的兩個，能讓燈泡L1發(fā)光的概率是（）A． B． C． D．8．（3分）?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，添加以下條件，不能判定平行四邊形ABCD為菱形的是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．∠ACD＝∠ACB D．BC＝CD9．（3分）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點（﹣2，3），若x＞﹣2，則（）A．y＞3 B．y＜3 C．y＞3或y＜0 D．0＜y＜310．（3分）如圖，已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，點D在BC邊上，DE與AC相交于點F，圖中相似的三角形有（）對．A．3 B．4 C．5 D．6二.填空題（每空3分，共18分）11．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一個根，則另一個根是．12．（3分）攔水壩的橫斷面如圖所示，迎水坡AB的坡比是，壩高BC＝8m，則坡面AB的長度是m．13．（3分）若△ABC∽△DEF，它們的面積比為9：4，則對應高的比為．14．（3分）構建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結合”思想的重要方法，在計算tan45°時，如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB，使BD＝AB，連接AD，使得∠D＝15°，所以tan15°＝，類比這種方法，計算tan22.5°＝．15．（3分）如圖，在平面直角坐標系中點A點C的坐標分別為（0，2），（﹣1，0），將三角形ACO沿著AC折疊，點O落在點D處，求過點D的反比例函數(shù)表達式．16．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，點E、F分別是AB、BC邊上的動點，且AE：BF＝2：1，連接AF和DE交于點G，連接CG，則CG的最小值是．三.解答題（共72分）17．（10分）計算：（1）2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°；（2）2sin30°﹣|1﹣|+×．18．（10分）用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋海?）x2+2x﹣3＝0；（2）2x2﹣2x﹣1＝0．19．（7分）如圖，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．請用尺規(guī)作圖法，在AC邊上求作一點P，使∠PBC＝45°．（保留作圖痕跡．不寫作法）20．（7分）西安是一座歷史悠久、文化瑰寶的城市，承載著豐富的歷史遺產(chǎn)和人文景觀，獨特的文化傳統(tǒng)，吸引著無數(shù)游客前來探索．某天甲、乙兩人來西安旅游，兩人分別從A、B、C三個景點中隨機選擇一個景點游覽．（1）甲選擇A景點的概率為；（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點的概率．21．（8分）如圖，已知，AD是△ABC的中線，且∠DAC＝∠B，CD＝CE．（1）求證：△ACE∽△BAD．（2）若AB＝15，BC＝10，試求AC和AD的長．22．（8分）樓觀臺顯靈山的老子銅像（圖1）栩栩如生，童顏鶴發(fā)，參悟天地的手勢寓意著天地和諧，萬物歸一，與莊嚴肅穆的說經(jīng)臺遙相對應，象征著老子的和諧哲學思想源遠流長．如圖2，小穎想利用無人機測量老子銅像BC的高度，無人機在點A處測得銅像頂部點B的俯角∠BAD為45°，銅像底部點C的俯角∠DAC為76°，此時無人機與銅像的水平距離AD為8m，點D、B、C在一條直線上，求老子銅像BC的高度．（參考數(shù)據(jù)：tan76°≈4.0）23．（10分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB：y＝x﹣3與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，已知點A，B的坐標分別為（4，1）和（m，﹣4）．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）點P為y軸正半軸上一點，若S△POC＝2S△AOC，求點P的坐標．（3）在（2）的條件下，平面直角坐標系中是否存在一點E，使得以A、B、P、E為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點E的坐標，若不存在，請說明理由．24．（12分）已知：如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5．在AD上取一點E，點F是AB邊上的一個動點，以EF為一邊作四邊形EFMN，使點N落在CD邊上，點M落在矩形ABCD內(nèi)或其邊上，若AF＝x，△BFM的面積為S．（1）當AE＝2，四邊形EFMN是正方形時，求x的值為；（2）當AE＝2，四邊形EFMN是菱形時，求S與x的函數(shù)關系式；（3）當四邊形EFMN是矩形時且矩形的兩鄰邊EF：EN＝2：1，請直接寫出S與x的函數(shù)關系式；并指出S的最大值．

2023-2024學年河北省石家莊市長安區(qū)一民初級中學九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一.選擇題（每題3分，共30分）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．3x﹣1＝0 B．a(chǎn)x2+bx+c＝0（a，b，c為常數(shù)） C．x2+x＝3 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程判斷即可．【解答】解：A．方程3x﹣1＝0不是一元二次方程，故本項不符合題意；B．方程ax2+bx+c＝0當a＝0時不是一元二次方程，故本項不符合題意；C．方程x2+x＝3符合定義，是一元二次方程，故本項符合題意；D．方程3x2﹣2xy﹣5y2＝0含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故本項不符合題意；故選：C．【點評】本題主要考查了一元二次方程的定義，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．2．（3分）將一個正方體沿正面相鄰兩條棱的中點連線截去一個三棱柱，得到一個如圖所示的幾何體，則該幾何體的左視圖是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)左視圖的定義，畫出左視圖即可判斷．【解答】解：根據(jù)左視圖的定義，從左邊觀察得到的圖形，是選項C．故選：C．【點評】本題考查三視圖、熟練掌握三視圖的定義，是解決問題的關鍵．3．（3分）在Rt△ABC中，各邊都擴大5倍，則銳角A的正切函數(shù)值（）A．不變 B．擴大5倍 C．縮小 D．不能確定【分析】在Rt△ABC中，各邊都擴大5倍，其相應邊長的比值不變，因此銳角A的正切函數(shù)值也不會改變．【解答】解：銳角三角函數(shù)值隨著角度的變化而變化，而角的大小與邊的長短沒有關系，因此銳角A的正切函數(shù)值不會隨著邊長的擴大而變化，故選：A．【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的意義，理解銳角三角函數(shù)的意義是正確判斷的關鍵．4．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，可變形為（）A．（x+3）2＝16 B．（x﹣3）2＝16 C．（x+3）2＝2 D．（x﹣3）2＝2【分析】將常數(shù)項移到右邊，再兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，從而得出答案．【解答】解：∵x2﹣6x﹣7＝0，∴x2﹣6x＝7，則x2﹣6x+9＝7+9，即（x﹣3）2＝16，故選：B．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．5．（3分）正方形網(wǎng)格中，∠AOB如圖放置，則sin∠AOB的值為（）A． B． C．1 D．【分析】連接AD，CD根據(jù)勾股定理可以得到OD＝AD，則CD是等腰三角形底邊上的中線，根據(jù)三線合一定理，可以得到△ODC是直角三角形．根據(jù)三角函數(shù)的定義就可以求解．【解答】解：如圖，連接AD，CD，設正方形的網(wǎng)格邊長是1，則根據(jù)勾股定理可以得到：，，在△ODA中，由等腰三角形三線合一得：∠OCD＝90°，則，∴，故選：B．【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的概念，注意到圖中的等腰三角形是解決本題的關鍵．6．（3分）在銳角△ABC中，若（sinA﹣）2+|﹣cosB|＝0，則∠C等于（）A．60° B．45° C．75° D．105°【分析】直接利用非負數(shù)的性質以及特殊角的三角函數(shù)值得出答案．【解答】解：∵（sinA﹣）2+|﹣cosB|＝0，∴sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴在銳角△ABC中，∠C＝60°．故選：A．【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值以及非負數(shù)的性質，正確記憶相關數(shù)據(jù)是解題關鍵．7．（3分）在如圖所示的電路中，隨機閉合開關S1、S2、S3中的兩個，能讓燈泡L1發(fā)光的概率是（）A． B． C． D．【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與能讓燈泡L1發(fā)光的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：畫樹狀圖得：∵共有6種等可能的結果，能讓燈泡L1發(fā)光的有2種情況，∴能讓燈泡L1發(fā)光的概率為＝．故選：B．【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．8．（3分）?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，添加以下條件，不能判定平行四邊形ABCD為菱形的是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．∠ACD＝∠ACB D．BC＝CD【分析】由平行四邊形的性質、菱形的判定、矩形的判定分別對各個選項進行判斷即可．【解答】解：A、AC＝BD時，?ABCD是矩形，故選項A符合題意；B、AC⊥BD時，?ABCD是菱形，故選項B不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠ACD＝∠ACB，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴?ABCD是菱形，故選項C不符合題意；D、BC＝CD時，?ABCD是菱形，故選項D不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的性質，矩形的判定以及等腰三角形的判定等知識，掌握菱形的判定是解題的關鍵．9．（3分）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點（﹣2，3），若x＞﹣2，則（）A．y＞3 B．y＜3 C．y＞3或y＜0 D．0＜y＜3【分析】先把（﹣2，3）代入y＝中求出k得到反比例函數(shù)解析式為y＝﹣，再分別計算出自變量x＞﹣2，對應的反比例函數(shù)值，然后根據(jù)反比例函數(shù)的性質求解．【解答】解：把（﹣2，3）代入y＝得k＝﹣2×3＝6，所以反比例函數(shù)解析式為y＝﹣，∴x＝﹣，當x＞﹣2時，﹣＞﹣2；∴當y＞0時，﹣6＞﹣2y，∴y＞3，所以函數(shù)值y的取值范圍為y＞3或y＜0．故選：C．【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy＝k．10．（3分）如圖，已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，點D在BC邊上，DE與AC相交于點F，圖中相似的三角形有（）對．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由等邊三角形的性質得出∠BAC＝∠B＝∠C＝∠DAE＝∠ADE＝∠E＝60°，得出△ABC∽△ADE，再證出∠BAD＝∠FAE，得出△ABD∽△AEF；由∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，證出△AEF∽△DCF，得出△ABD∽△DCF；由∠DAF＝∠CAD，∠ADF＝∠C，即可得出△ADF∽△ACD．【解答】解：圖中的相似三角形有△ABC∽△ADE，△ABD∽△AEF，△AEF∽△DCF，△ABD∽△DCF，△ADF∽△ACD；理由如下：∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，∴∠BAC＝∠B＝∠C＝∠DAE＝∠ADE＝∠E＝60°，∴△ABC∽△ADE；∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠FAE，∴△ABD∽△AEF；∵∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△DCF；∵∠DAF＝∠CAD，∠ADF＝∠C，∴△ADF∽△ACD，故選：C．【點評】本題考查了等邊三角形的性質、相似三角形的判定與性質；熟練掌握等邊三角形的性質，并能進行推理論證與計算是解決問題的關鍵．二.填空題（每空3分，共18分）11．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一個根，則另一個根是1．【分析】利用根與系數(shù)的關系求出兩根之積，把已知根代入計算即可求出另一根．【解答】解：∵x＝2是一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一個根，設另一根為a，∴2a＝2，解得：a＝1，則另一根是1．故答案為：1．【點評】此題考查了根與系數(shù)的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解本題的關鍵．12．（3分）攔水壩的橫斷面如圖所示，迎水坡AB的坡比是，壩高BC＝8m，則坡面AB的長度是16m．【分析】利用坡比的定義得出AC的長，進而利用勾股定理求出AB的長．【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：，壩高BC＝8m，∴＝＝，解得AC＝8，則AB＝＝16（m）．故答案為：16．【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用，正確利用坡比的定義求出AC的長是解題關鍵．13．（3分）若△ABC∽△DEF，它們的面積比為9：4，則對應高的比為3：2．【分析】直接利用相似三角形對應高的比等于相似比進而得出答案．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，面積比為9：4，∴對應高的比為：3：2．故答案為：3：2【點評】此題主要考查了相似三角形的性質，正確記憶相關性質是解題關鍵．14．（3分）構建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結合”思想的重要方法，在計算tan45°時，如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB，使BD＝AB，連接AD，使得∠D＝15°，所以tan15°＝，類比這種方法，計算tan22.5°＝﹣1．【分析】仿照題例構造含22.5°的直角三角形，利用直角三角形的邊角關系得結論．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，延長CB到D，使BD＝AB，連接AD．在Rt△ABC中，∵AC＝BC，∴∠ABC＝45°，AB＝AC．∵BD＝AB，∴∠D＝∠BAD．∵∠ABC＝∠D+∠BAD＝45°，∴∠D＝22.5°．在Rt△ACD中，tanD＝tan22.5°＝＝＝＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題考查了解直角三角形，看懂題例，學會構造含22.5°角的直角三角形是解決本題的關鍵．15．（3分）如圖，在平面直角坐標系中點A點C的坐標分別為（0，2），（﹣1，0），將三角形ACO沿著AC折疊，點O落在點D處，求過點D的反比例函數(shù)表達式﹣．【分析】設OD交AC于G，過D作DH⊥x軸于H，求出AC＝＝，tan∠CAO＝＝，根據(jù)將三角形ACO沿著AC折疊，點O落在點D處，有OG＝DG，OD⊥AC，故OG＝＝＝＝DG，知OD＝，而tan∠DOH＝tan∠CAO＝，可得OH＝2DH，有OH2+DH2＝OD2，得4DH2+DH2＝（）2，DH＝，可求得H（﹣，），再用待定系數(shù)法可得答案．【解答】解：設OD交AC于G，過D作DH⊥x軸于H，如圖：∵A（0，2），C（﹣1，0），∴OA＝2，OC＝1，∴AC＝＝，tan∠CAO＝＝，∵將三角形ACO沿著AC折疊，點O落在點D處，∴OG＝DG，OD⊥AC，∴2S△AOC＝OA?OC＝AC?OG，∴OG＝＝＝＝DG，∴OD＝，∵∠DOH＝90°﹣∠AOG＝∠CAO，∴tan∠DOH＝tan∠CAO＝，∴＝，∴OH＝2DH，∵OH2+DH2＝OD2，∴4DH2+DH2＝（）2，解得DH＝，∴OH＝，∴H（﹣，），設過點D的反比例函數(shù)表達式為y＝，則k＝﹣×＝﹣；故答案為：﹣．【點評】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，涉及對稱變換，銳角三角函數(shù)，勾股定理及應用等知識，解題的關鍵是求出D的坐標．16．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，點E、F分別是AB、BC邊上的動點，且AE：BF＝2：1，連接AF和DE交于點G，連接CG，則CG的最小值是3﹣3．【分析】通過證明△ABF∽△DAE，可得∠BAF＝∠ADE，可證∠AGD＝90°，則點G在以AD為直徑的圓上運動，由勾股定理可求解．【解答】解：∵AB＝3，AD＝6，∴AB：AD＝1：2，∴＝2，又∵∠B＝∠BAD＝90°，∴△ABF∽△DAE，∴∠BAF＝∠ADE，∴∠BAF+∠AED＝∠ADE+∠AED＝90°，∴∠AGD＝90°，∴點G在以AD為直徑的圓上運動，如圖，取AD的中點O，連接OC，交⊙O于G'，∵點O是AD的中點，∴AO＝OD＝3，∴OC＝＝＝3，∴CG'＝3﹣3，∴CG的最小值為3﹣3，故答案為：3﹣3．【點評】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定和性質，圓的有關知識，確定點G的軌跡是解題的關鍵．三.解答題（共72分）17．（10分）計算：（1）2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°；（2）2sin30°﹣|1﹣|+×．【分析】（1）利用特殊銳角的三角函數(shù)值及二次根式的運算法則計算即可；（2）利用特殊銳角的三角函數(shù)值，絕對值的性質及二次根式的運算法則計算即可．【解答】解：（1）原式＝2×﹣+×＝﹣+＝；（2）原式＝2×﹣（﹣1）+＝1﹣+1+＝2．【點評】本題考查實數(shù)的運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．18．（10分）用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋海?）x2+2x﹣3＝0；（2）2x2﹣2x﹣1＝0．【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用公式法解方程．【解答】解：（1）x2+2x﹣3＝0，（x+3）（x﹣1）＝0，x+3＝0或x﹣1＝0，所以x1＝﹣3，x2＝1；（2）2x2﹣2x﹣1＝0，a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，Δ＝b2﹣4ac＝4+8＝12＞0，x＝＝，所以x1＝，x2＝．【點評】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關鍵．19．（7分）如圖，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．請用尺規(guī)作圖法，在AC邊上求作一點P，使∠PBC＝45°．（保留作圖痕跡．不寫作法）【分析】根據(jù)作一個角等于已知角的作圖步驟作圖即可．【解答】解：如圖，∠PBC即為所求．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，熟練掌握作一個角等于已知角的作圖步驟作圖即可．20．（7分）西安是一座歷史悠久、文化瑰寶的城市，承載著豐富的歷史遺產(chǎn)和人文景觀，獨特的文化傳統(tǒng)，吸引著無數(shù)游客前來探索．某天甲、乙兩人來西安旅游，兩人分別從A、B、C三個景點中隨機選擇一個景點游覽．（1）甲選擇A景點的概率為；（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解即可．（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結果數(shù)和甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點的結果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）∵每個景點被選擇的可能性相等，∴隨機選擇一個景點，選擇A景點的概率為；故答案為：；（2）由題意，畫樹狀圖為：共有9種等可能的結果，其中甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點的結果有5種，∴甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點的概率為．【點評】本題主要考查了列表法與樹狀圖法以及概率公式，熟練掌握概率公式是解答本題的關鍵，用到的知識點為：概率＝．21．（8分）如圖，已知，AD是△ABC的中線，且∠DAC＝∠B，CD＝CE．（1）求證：△ACE∽△BAD．（2）若AB＝15，BC＝10，試求AC和AD的長．【分析】（1）先利用等腰三角形的性質，由CD＝CE得到∠CED＝∠EDC，則可根據(jù)等角的補角相等得到∠AEC＝∠ADB，加上∠DAC＝∠B，于是可根據(jù)有兩組角對應相等的兩個三角形相似判斷△ACE∽△BAD．（2）由∠DAC＝∠B及公共角相等證明∴△ACD∽△BCA，利用相似比求AC，再由（1）的結論△ACE∽△BAD，利用相似比求AD．【解答】（1）證明：∵CD＝CE，∴∠CED＝∠EDC，∵∠AEC+∠CED＝180°，∠ADB+∠EDC＝180°，∴∠AEC＝∠ADB，∵∠DAC＝∠B∴△ACE∽△BAD．（2）∵∠DAC＝∠B，∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴，即，∴AC＝5，∵△ACE∽△BAD，∴，即，∴AD＝．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質．關鍵是利用已知相等角，等腰三角形底角的外角相等，證明三角形相似．22．（8分）樓觀臺顯靈山的老子銅像（圖1）栩栩如生，童顏鶴發(fā)，參悟天地的手勢寓意著天地和諧，萬物歸一，與莊嚴肅穆的說經(jīng)臺遙相對應，象征著老子的和諧哲學思想源遠流長．如圖2，小穎想利用無人機測量老子銅像BC的高度，無人機在點A處測得銅像頂部點B的俯角∠BAD為45°，銅像底部點C的俯角∠DAC為76°，此時無人機與銅像的水平距離AD為8m，點D、B、C在一條直線上，求老子銅像BC的高度．（參考數(shù)據(jù)：tan76°≈4.0）【分析】根據(jù)題意可得：CD⊥AD，然后分別在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DB和DC的長，從而利用線段的和差關系，進行計算即可解答．【解答】解：由題意得：CD⊥AD，在Rt△ADB中，∠BAD＝45°，AD＝8m，∴BD＝AD?tan45°＝8（m），在Rt△ADC中，∠DAC＝76°，∴DC＝AD?tan76°≈8×4＝32（m），∴BC＝CD﹣BD＝32﹣8＝24（m），∴老子銅像BC的高度約為24m．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．23．（10分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB：y＝x﹣3與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，已知點A，B的坐標分別為（4，1）和（m，﹣4）．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）點P為y軸正半軸上一點，若S△POC＝2S△AOC，求點P的坐標．（3）在（2）的條件下，平面直角坐標系中是否存在一點E，使得以A、B、P、E為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點E的坐標，若不存在，請說明理由．【分析】（1）把點A坐標代入反比例函數(shù)解析式y(tǒng)＝即可得到結論；（2）解方程得到C（3，0），求得OC＝3，設P（0，a），根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論；（3）設E（c，d），把（m，﹣4）代入y＝x﹣3得﹣4＝x﹣3，求得B（﹣1，﹣4），根據(jù)平行四邊形的性質列方程組即可得到結論．【解答】解：（1）把點A（4，1）代入y＝得，∴k＝4×1＝4，即反比例函數(shù)的解析式為y＝；（2）在y＝x﹣3中，令y＝0，則x＝3，∴C（3，0），∴OC＝3，設P（0，a），∵S△POC＝2S△AOC，∴，∴a＝2，∴P（0，2）；（3）設E（c，d），把（m，﹣4）代入y＝x﹣3得﹣4＝x﹣3，∴x＝﹣1，∴B（﹣1，﹣4），∵A（4，1），P（0，2），以A、B、P、E為頂點的四邊形是平行四邊形，∴或或，∴或或，∴E（3，﹣5）或（﹣5，﹣3）或（﹣5，7）．【點評】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積的計算，平行四邊形的判定，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是解題的關鍵．24．（12分）已知：如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝