適用于老高考舊教材廣西專版2023屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)第二部分7.3隨機(jī)變量及其分布課件理

7.3隨機(jī)變量及其分布專題七內(nèi)容索引0102考情分析?備考定向高頻考點(diǎn)?探究突破03預(yù)測(cè)演練?鞏固提升考情分析?備考定向試題統(tǒng)計(jì)題型命題規(guī)律復(fù)習(xí)策略(2018全國Ⅰ,理20)

(2018全國Ⅲ,理8)(2019全國Ⅰ,理21)(2019全國Ⅱ,理18)(2020全國Ⅰ,理20)(2022全國乙,理10)(2022全國甲,理2)(2022全國甲,理19)選擇題解答題離散型隨機(jī)變量分布列的計(jì)算涉及排列、組合和概率的知識(shí),綜合性強(qiáng),是高考考查的重點(diǎn);兩點(diǎn)分布、超幾何分布和二項(xiàng)分布等重要的概率模型,應(yīng)用性強(qiáng),是高考命題的重中之重;高考常把隨機(jī)變量的分布列、均值和方差結(jié)合在一起重點(diǎn)考查考生分析、解決實(shí)際問題的能力.抓住考查的主要題目類型進(jìn)行訓(xùn)練,特別是條件概率與相互獨(dú)立事件的概率;離散型隨機(jī)變量及其分布列;二項(xiàng)分布與正態(tài)分布;離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差.高頻考點(diǎn)?探究突破命題熱點(diǎn)一條件概率與相互獨(dú)立事件的概率【思考】

如何求事件的條件概率?判斷相互獨(dú)立事件的常用方法有哪些?例1(1)(2022廣西貴港模擬)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,記兩枚骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)分別為x,y,則在2x+y=12的條件下,x與y不相等的概率為(

)(2)2020年1月,教育部出臺(tái)《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見》(簡稱“強(qiáng)基計(jì)劃”),明確從2020年起強(qiáng)基計(jì)劃取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通過強(qiáng)基計(jì)劃的概率分別為,那么三人中恰有兩人通過的概率為(

)DC題后反思1.條件概率的兩種求解方法:2.判斷相互獨(dú)立事件的三種常用方法:(1)利用定義,事件A,B相互獨(dú)立?P(AB)=P(A)P(B).(3)具體背景下,①有放回地摸球,每次摸球的結(jié)果是相互獨(dú)立的.②當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量很大時(shí),不放回抽樣也可近似看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(2022北京東城三模)若某地區(qū)60歲及以上人群的新冠疫苗全程(兩針)接種率為60%,加強(qiáng)免疫(第三針)接種率為36%,則在該地區(qū)完成新冠疫苗全程接種的60歲及以上人群中隨機(jī)抽取一人,此人完成了加強(qiáng)免疫接種的概率為(

)A.0.6 B.0.375 C.0.36 D.0.216(2)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽,采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí),該隊(duì)獲勝,決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績,甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6,客場(chǎng)取勝的概率為0.5,且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立,則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是

.

A0.18解析:

(1)在該地區(qū)60歲及以上人群中隨機(jī)抽取一人,設(shè)事件A為“抽取的一人完成全程接種”,事件B為“抽取的一人完成加強(qiáng)免疫接種”,則P(A)=0.6,P(AB)=0.36,所以在該地區(qū)完成新冠疫苗全程接種的60歲及以上人群中隨機(jī)抽取一人,(2)前四場(chǎng)中有一場(chǎng)客場(chǎng)輸時(shí),甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;前四場(chǎng)中有一場(chǎng)主場(chǎng)輸時(shí),甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是0.4×0.6×2×0.52×0.6=0.072.綜上所述,甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是0.108+0.072=0.18.命題熱點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量及其分布列【思考】

如何求離散型隨機(jī)變量及其分布列?例2某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25℃,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20℃,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得到下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫/℃[10,15)[15,20)[20,

25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值?解:

(1)由題意知,X所有可能取值為200,300,500,由題中表格數(shù)據(jù)知因此X的分布列為

X200300500P0.20.40.4(2)由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為500,至少為200,因此只需考慮200≤n≤500.當(dāng)300≤n≤500時(shí),若最高氣溫不低于25

℃,則Y=6n-4n=2n;若最高氣溫位于區(qū)間[20,25),則Y=6×300+2(n-300)-4n=1

200-2n;若最高氣溫低于20

℃,則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此E(Y)=2n×0.4+(1

200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.當(dāng)200≤n<300時(shí),若最高氣溫不低于20

℃,則Y=6n-4n=2n;若最高氣溫低于20

℃,則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此E(Y)=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.所以n=300時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值,且最大為520元.題后反思求離散型隨機(jī)變量的分布列,首先要根據(jù)具體情況確定隨機(jī)變量的取值情況,然后利用排列、組合與概率知識(shí)求出隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2022全國甲,理19)甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽,比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分,負(fù)方得0分,沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后,總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率;(2)用X表示乙學(xué)校的總得分,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解:

(1)記“甲學(xué)校獲得冠軍”為事件A,則P(A)=0.5×0.4×(1-0.8)+0.5×(1-0.4)×0.8+(1-0.5)×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8=0.6,所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為0.6.(2)X的可能取值為0,10,20,30,則P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=0.5×0.4×(1-0.8)+0.5×(1-0.4)×0.8+(1-0.5)×0.4×0.8=0.44,P(X=20)=0.5×(1-0.4)×(1-0.8)+(1-0.5)×0.4×(1-0.8)+(1-0.5)×(1-0.4)×0.8=0.34,P(X=30)=(1-0.5)×(1-0.4)×(1-0.8)=0.06.所以X的分布列為X0102030P0.160.440.340.06所以E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.命題熱點(diǎn)三二項(xiàng)分布與正態(tài)分布【思考】

應(yīng)用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式應(yīng)滿足怎樣的條件?例3為了解某市高三學(xué)生的身體情況,某健康研究協(xié)會(huì)對(duì)該市高三學(xué)生組織了兩次體測(cè),其中第一次體測(cè)的成績(滿分:100分)的頻率分布直方圖如圖所示,第二次體測(cè)的成績X~N(65,2.52).(1)試通過計(jì)算比較兩次體測(cè)成績平均分的高低;(2)若該市有高三學(xué)生20000人,記體測(cè)成績?cè)?0分以上的同學(xué)的身體素質(zhì)為優(yōu)秀,假設(shè)這20000人都參與了第二次體測(cè),試估計(jì)第二次體測(cè)中身體素質(zhì)為優(yōu)秀的人數(shù);(3)以頻率估計(jì)概率,若在參與第一次體測(cè)的學(xué)生中隨機(jī)抽取4人,記這4人成績?cè)趨^(qū)間[60,80)上的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973.解:

(1)由頻率分布直方圖可得第一次體測(cè)成績的平均分為:0.12×45+0.2×55+0.25×65+0.35×75+0.06×85+0.02×95=65.9;第二次體測(cè)的成績X~N(65,2.52),故第二次體測(cè)成績的平均分為65.因?yàn)?5.9>65,所以第一次體測(cè)成績的平均分高于第二次體測(cè)成績的平均分.故ξ的分布列為

題后反思利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可以簡化求概率的過程,但需要注意檢驗(yàn)該概率模型是否滿足公式P(X=k)=pk(1-p)n-k的三個(gè)條件:(1)在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)p;(2)n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn),而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的;(3)該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望;(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.(ⅰ)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;(ⅱ)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ(精確到0.01).附:若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-3σ<Z≤μ+3σ)≈0.9973.解:

(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]上的概率為0.997

3,從而該零件的尺寸在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]之外的概率為0.002

7,故X~B(16,0.002

7).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997

316≈0.042

3.X的數(shù)學(xué)期望E(X)=16×0.002

7=0.043

2.(2)(ⅰ)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個(gè)零件尺寸在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]之外的概率只有0.002

7,一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中,出現(xiàn)尺寸在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]之外的零件的概率只有0.042

3,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.命題熱點(diǎn)四離散型隨機(jī)變量的均值與方差【思考】

求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的基本方法有哪些?例4有750粒試驗(yàn)種子需要播種,現(xiàn)有兩種方案:方案一,將750粒種子分種在250個(gè)坑內(nèi),每坑3粒;方案二,將750粒種子分種在375個(gè)坑內(nèi),每坑2粒.已知每粒種子發(fā)芽的概率均為0.6,并且,若一個(gè)坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽,則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種;若一個(gè)坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽,則這個(gè)坑需要補(bǔ)種(每個(gè)坑至多補(bǔ)種一次,且補(bǔ)種的種子同第一次).假定每個(gè)坑第一次播種需要2元,補(bǔ)種(按相應(yīng)方案補(bǔ)種相應(yīng)粒數(shù))1個(gè)坑需1元,每個(gè)成活的坑可收獲125粒試驗(yàn)種子,每粒試驗(yàn)種子收益1元.(1)用X元表示播種費(fèi)用,分別求出兩種方案的數(shù)學(xué)期望;(2)如果在某塊試驗(yàn)田對(duì)該種子進(jìn)行試驗(yàn),你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪種方案?用X1元表示一個(gè)坑的播種費(fèi)用,則X1的可能取值是2,3,所以P(X1=2)=p2,P(X1=3)=p1,所以X1的分布列為用X2元表示一個(gè)坑的播種費(fèi)用,則X2的可能取值為2,3,所以P(X2=2)=p4,P(X2=3)=p3.所以X2的分布列為

(2)設(shè)收益為Y元,方案一:用Y1元表示一個(gè)坑的收益,則Y1的可能取值為0,125,Y1的分布列為方案二:用Y2元表示一個(gè)坑的收益,則Y2的可能取值為0,125,Y2的分布列為因?yàn)?10-516=294(元),45

675-31

122=14

553(元),即方案二所需的播種費(fèi)用比方案一只多了294元,但是收益比方案一多14

553元,所以應(yīng)該選擇方案二.題后反思求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的基本方法有:(1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,可直接按定義(公式)求解;(2)已知隨機(jī)變量X的均值、方差,求隨機(jī)變量Y=aX+b的均值、方差,可直接用均值、方差的性質(zhì)求解,即E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)(a,b為常數(shù));(3)如能分析所給隨機(jī)變量服從常用的分布,可直接利用它們的均值、方差公式求解,即若X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=p,D(X)=p(1-p);若X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2022江西南昌模擬)某學(xué)校舉行“百科知識(shí)”競賽,每個(gè)班選派一名學(xué)生代表參加.某班經(jīng)過層層選拔,李明和王華進(jìn)入最后決賽,決賽方式如下:給定4個(gè)問題,假設(shè)李明能且只能對(duì)其中3個(gè)問題回答正確,王華對(duì)其中任意一個(gè)問題回答正確的概率均為

.由李明和王華各自從中隨機(jī)抽取2個(gè)問題進(jìn)行回答,而且每個(gè)人對(duì)每個(gè)問題的回答均相互獨(dú)立.(1)求李明和王華回答問題正確的個(gè)數(shù)均為2的概率;(2)設(shè)李明和王華回答問題正確的個(gè)數(shù)分別為X,Y,求X,Y的數(shù)學(xué)期望E(X),E(Y)和方差D(X),D(Y),并由此決策派誰代表該班參加競賽更好.預(yù)測(cè)演練?鞏固提升B解析:

在A同學(xué)先勝一局的條件下,A同學(xué)最終能獲勝有兩種情況:2.某地市在一次測(cè)試中,高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績?chǔ)畏恼龖B(tài)分布N(80,σ2),已知P(60<ξ<80)=0.3,若按成績分層抽樣的方式取100份試卷進(jìn)行分析,則應(yīng)從100分以上的試卷中抽取(

)A.10份

B.15份C.20份

D.30份C解析:

由題意可知正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為直線x=80,所以P(80<ξ<100)=P(60<ξ<80)=0.3,所以P(ξ>100)=0.5-0.3=0.2,故應(yīng)從100分以上的試卷中抽取100×0.2=20(份).3.已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為

.假定兩球是否落入盒子互不影響,則甲、乙兩球都落入盒子的概率為

;甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為

.

4.(2022新高考Ⅱ,13)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),若P(2<X≤2.5)=0.36,則P(X>2.5)=

.

0.14解析:

由題意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.14.1解析:

因?yàn)閄~B(100,p),所以E(X)=