現(xiàn)代設(shè)計題目

1．優(yōu)化數(shù)學模型的三要素。2．什么是可行域？什么是非可行域？3．給出具體的問題，建立其優(yōu)化數(shù)學模型。4．三種常用的迭代收斂準那么。第一章優(yōu)化設(shè)計概述

重點內(nèi)容第一章第三節(jié)優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學模型第一章練習1.一根長的鉛絲截成兩段，一端彎成圓圈，另一端彎折成方形，問應(yīng)以怎樣的比例截斷鉛絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學模型。3.有兩產(chǎn)品A和B，需要在兩個車間加工。每件產(chǎn)品A在第一車間的處理時間為1小時，在第二車間處理時間為1.25小時；每件產(chǎn)品B在第一車間的處理時間為1小時，在第二車間的處理時間為0.75小時。每個車間每月有200小時的時間可以利用，而且B產(chǎn)品的市場需求量最大為150件，假定A產(chǎn)品和B產(chǎn)品的利潤每件分別為￥4和￥5。確定使生產(chǎn)商的利潤最大時A產(chǎn)品和B產(chǎn)品的生產(chǎn)量。寫出這一問題的優(yōu)化模型。4.機械廠可生產(chǎn)假設(shè)干種零件。某一零件的日需求量A件，輪換到生產(chǎn)該零件時因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準備費B元〔與生產(chǎn)數(shù)量無關(guān)〕。零件的存貯費每日每件C元。假設(shè)不允許出現(xiàn)缺貨，且生產(chǎn)能力遠大于需求，即：缺貨時立即生產(chǎn)出來產(chǎn)品來供給需求。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)方案，即多少天生產(chǎn)一次〔稱為生產(chǎn)周期〕，每次產(chǎn)量多少，可使總費用最小?！蔡崾荆憾x在一個生產(chǎn)周期內(nèi)每天的平均費用最小為優(yōu)化的目標，生產(chǎn)周期為設(shè)計變量，且模型中出現(xiàn)的變量均暫可作為連續(xù)量處理?！车谝徽碌谌?jié)優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學模型第一章練習5.巡航導彈在飛行過程中，能夠收到地面上一些監(jiān)控臺發(fā)來的關(guān)于導彈當前位置的信息，根據(jù)這些信息可以較精確地確定導彈的位置。如下圖，VOR為高頻導航設(shè)備，它能夠得到角度信息。DME為測距儀，它能夠得到距離信息。圖中導彈接收到了來自3個VOR給出的角度和2個DME給出的距離，這5種設(shè)備的x，y坐標見括號內(nèi)。假設(shè)巡航導彈和這些設(shè)備是在同一個平面上，請建立求解導彈精確位置〔x,y〕的優(yōu)化數(shù)學模型〔以與這些設(shè)備測得值誤差最小的導彈坐標作為導彈的精確位置〕。第一章練習第一章第三節(jié)優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學模型計算多元函數(shù)的梯度與方向?qū)?shù)。

2.證明:目標函數(shù)在某點處的梯度是該目標函數(shù)等值線或超

曲面在該點的法向量

3.多元函數(shù)的泰勒展開式，取到二次項。

4.證明：駐點為極小點的充要條件為，海賽矩陣正定。

5.元函數(shù)求其極值點和極值?！蚕惹篑v點，再判斷海賽

矩陣〕

6.凸函數(shù)凸集的定義，性質(zhì)

7.拉格朗日乘子法

8.庫恩-塔克條件判斷約束極值點第二章

優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學根底

重點內(nèi)容第二章練習求解二元函數(shù)f(x1,x2)在x0=[1，2]T處函數(shù)變化率最大的方向和數(shù)值。求解二元函數(shù)f(x1,x2)在x0=[1，2]T處的二階泰勒展開式。3.二元函數(shù)求極值點和極值，〔先求駐點，再判斷是否極值點〕4.5.1.0.618的來歷2.黃金分割法3.牛頓法迭代公式的推導4.牛頓法迭代法第三章一維搜索方法

重點內(nèi)容1.用黃金分割法求函數(shù)f(x)=x2-3x+5在區(qū)間[1，1.8]中的極小點，迭代終止使用點距準那么,ε=0.3。第三章練習2.用0.618法對函數(shù)f(X)=x12+25x22，從起點X=沿方向進行一維搜索，a=0,b=0.1,要求精度，步長h=0.02?！部删幊獭辰馕鼋猓旱谌戮毩?.用牛頓法求極小點，f(α)=α4-4α3-3α+5，初始點α0=2.5，迭代終止使用點距準那么,ε=0.2。4.用二次插值法求迭代兩次后的極小點，f(α)=sinα，初始區(qū)間[4,5]。5.1。梯度法的求解2．原始牛頓法的迭代公式3．阻尼牛頓法的迭代公式，阻尼牛頓法求優(yōu)題目4．共軛的定義，原始共軛方向的產(chǎn)生5．鮑威爾法對原始共軛方向的改進6．共軛梯度法求優(yōu)題目7．共軛方向與梯度的關(guān)系8．二次函數(shù)的海賽矩陣G的逆矩陣如何通過尺度變換矩陣逼近得到？9．為使擬牛頓方向沿著目標函數(shù)下降的方向，證明H(k)必為對稱正定矩陣。10．DFP法求解優(yōu)題目，〔DFP法求H(k)的公式不需要記〕第四章重點內(nèi)容第四章練習2.1.第四章練習3.4.5.必須是正定對稱矩陣，才能保證擬牛頓法搜索方法是函數(shù)下降的方向。夾角就為銳角。由沿方向具有下降的性質(zhì)與代入證明：由于為使擬牛頓搜索方向朝著目標函數(shù)值下降的方向，必須為對稱正定矩陣（）第四章第七節(jié)變尺度法〔擬牛頓法〕6.第四章練習

搜索方向計算工作量小 大迭代點遠離最優(yōu)點 函數(shù)下降快函數(shù)下降慢迭代點接近最優(yōu)點 函數(shù)下降慢函數(shù)下降快梯度法阻尼牛頓法比較梯度法和牛頓法迭代公式:第四章第七節(jié)變尺度法〔擬牛頓法〕直接法：變量輪換法，原始共軛方向、鮑威爾法間接法：梯度法、牛頓法、變尺度法多變量無約束優(yōu)化方法的總結(jié)第四章多變量無約束優(yōu)化方法的總結(jié)第四章多變量無約束優(yōu)化方法的總結(jié)第四章多變量無約束優(yōu)化方法的總結(jié)例：用阻尼牛頓法求函數(shù)的極小點，

解：為最佳步長因子，由極值條件定第四章第四節(jié)牛頓型法第四章第四節(jié)牛頓型法或∴

第四章第四節(jié)牛頓型法例4—3求的一組共軛向量系d0,d1,d2。第四章第五節(jié)共軛方向法和鮑威爾法解：選三個坐標軸上的單位向量作為一組線性無關(guān)向量系第四章第五節(jié)共軛方向法和鮑威爾法例4-6用鮑威爾法求函數(shù)的極小值。

解：初始搜索方向初始點處的函數(shù)值第一輪迭代：初始點

第四章第五節(jié)共軛方向法和鮑威爾法1〕沿方向進行一維搜索，得最正確步長可通過得第四章第五節(jié)共軛方向法和鮑威爾法2〕再沿方向進行一維搜索，得最正確步長的計算可根據(jù)從而算出點處的函數(shù)值及沿搜索后函數(shù)值的下降量第四章第五節(jié)共軛方向法和鮑威爾法得從而算出第一輪終點處的函數(shù)值及沿搜索后的函數(shù)值下降量取沿、搜索后函數(shù)值下降量中的最大者初始點關(guān)于終點的反射點及其函數(shù)值為第四章第五節(jié)共軛方向法和鮑威爾法3)為確定下一輪迭代的搜索方向和起始點，需檢查判別條件

和是否滿足。因為，所以不滿足判別條件，因而下輪迭代應(yīng)繼續(xù)使用原來的搜索方向、。因為，所以取為下輪迭代起始點。第二輪迭代：第二輪初始點及其函數(shù)值為第四章第五節(jié)共軛方向法和鮑威爾法映射點1〕沿方向〔即軸方向〕進行一維搜索，相當于固定，改變使函數(shù)的值極小。設(shè)計點位置可通過函數(shù)對的偏導數(shù)等于零求得，即得點處的函數(shù)值及函數(shù)值下降量分別為第四章第五節(jié)共軛方向法和鮑威爾法2〕再沿方向〔即軸方向〕進行一維搜索，相當于固定，改變使函數(shù)的值極小。設(shè)計點位置可通過函數(shù)對的偏導數(shù)等于零求得，即得第二輪終點處的函數(shù)值及沿方向函數(shù)值下降量分別為第四章第五節(jié)共軛方向法和鮑威爾法沿、方向，函數(shù)值增量最大者為e1方向初始點關(guān)于終點的反射點及其函數(shù)值分別為第四章第五節(jié)共軛方向法和鮑威爾法3〕為確定下輪迭代的搜索方向和起始點，需檢查判別條件和經(jīng)代入運算，判別條件滿足，應(yīng)進行方向替換。

。用新方向替換，下輪迭代搜索方向為、下輪迭代起始點為，沿方向一維搜索。第四章第五節(jié)共軛方向法和鮑威爾法通過求得

因此，下輪迭代初始點及其函數(shù)值為可見已足夠接近極值點及極小值

第四章第五節(jié)共軛方向法和鮑威爾法例4—4用共軛梯度法求初始點的極小點解：初始搜索方向沿該方向進行一維尋優(yōu)帶入函數(shù)公式，求駐點第四章第六節(jié)共軛梯度法建立第二個搜索方向沿該方向進行一維尋優(yōu)第四章第六節(jié)共軛梯度法計算x2點處的梯度計算x2點處的海賽矩陣其一階主子式=2>0其二階主子式=2x4-〔-2〕x〔-2〕=4>0所以，x2點的海賽矩陣正定，x2點為極小點。第四章第六節(jié)共軛梯度法例:用DFP算法求

的極值解。

解1〕為了按DFP法構(gòu)造第一次搜尋方向d0,需計算初始點處的梯度。取初始變尺度矩陣為單位矩陣，H0=I，那么第一次搜尋方向為第四章第七節(jié)變尺度法〔擬牛頓法〕沿d0方向進行一維搜索，得其中，α0為一維搜索最正確步長，應(yīng)滿足求一階導數(shù)為零，得2〕再按DFP法構(gòu)造x1點處的搜索方向d1，需計算第四章第七節(jié)變尺度法〔擬牛頓法〕代入校正公式〔4-24〕第四章第七節(jié)變尺度法〔擬牛頓法〕那么第二次搜尋方向為再沿d1進行一維搜索，得其中α1為一維搜索最正確步長，應(yīng)滿足得第四章第七節(jié)變尺度法〔擬牛頓法〕3〕為了判斷x2點是否為極值點，需計算x2點處的梯度及其海賽矩陣。梯度為零向量，海賽矩陣正定。可見x2點滿足極值充要條件，因x2為極小點。此函數(shù)的極值解為第四章第七節(jié)變尺度法〔擬牛頓法〕1.隨機方向法的算法原理2．復合形法的搜索方法：反射，擴張，收縮，壓縮3.產(chǎn)生可行方向應(yīng)滿足什么條件？4.可行方向法將非行點返回到約束面上的步長求解思路5．可行方向的產(chǎn)生方法有哪兩種？6．可行方向法的計算思路7．內(nèi)點、外點、混合懲罰函數(shù)法求約束優(yōu)化問題的方法。8．外推法的思想第五章重點內(nèi)容第五章練習2．用外點懲罰函數(shù)法求解以下數(shù)學規(guī)劃問題的約束最優(yōu)點?！矡o約束尋優(yōu)局部用解析法〕。1．例6-2求約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解kx1x2f（x）0-2.02.06.01-0.1681.1171.1964-0.0331.0241.0257-0.1140.7170.73010-0.077-2.998-2.99713-0.002-3.0-3.0第五章第二節(jié)隨機方向法例：用復合形法求解約束優(yōu)化問題kx1x2f（x）0814265104.35216.901643.57084205.353146.682381.98728305.586.060630.38513…………675.219756.062530.06393第五章第三節(jié)復合形法減號的情況舍去，不滿足約束條件g(x)例1：用內(nèi)點法求以下問題的約束最優(yōu)解構(gòu)造懲罰函數(shù)由∴得極值點第五章第五節(jié)懲罰函數(shù)法

r(k)10.10.010.001…0

x*(r(k))21.3161.11.0321

ф(x*,r(k))31.6321.21.0631如下圖，沿ф(x*,r(k))=2x*-1逐漸逼近.x*(r(k))

x*=1第五章第五節(jié)懲罰函數(shù)法減號的情況舍去，不滿足約束條件g(x)例2內(nèi)點法解問題：解：構(gòu)造內(nèi)點懲罰函數(shù)解析法求該懲罰函數(shù)的極小值第五章第五節(jié)懲罰函數(shù)法rx*(r)Φ(x*(r))4[20]T41.2[1.4220]T2.0220.36[1.1560]T1.3360

[10]T

1第五章第五節(jié)懲罰函數(shù)法例4用外點法求問題懲罰函數(shù)：

的約束最優(yōu)解第五章第五節(jié)懲罰函數(shù)法從可行域外逼近最優(yōu)點x*=1。rx*(r)Φ(x*(r))0.3[0.2310]T0.0531.5[0.60]T0.367.5[0.8820]T0.78

∞

[10]T

1第五章第五節(jié)懲罰函數(shù)法例5試求點集A(x1,x2,x3)和點集B(x4,x5,x6)之間最短距離，約束條件為優(yōu)化問題數(shù)學模型為：第五章第五節(jié)懲罰函數(shù)法解：用混合法求解，取最優(yōu)解