2023-2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)培優(yōu)教案5.4《復(fù)數(shù)》 (原卷版)

頁(yè)第四節(jié)復(fù)數(shù)核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.通過(guò)方程的解，認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)．2．結(jié)合復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模等概念的認(rèn)識(shí)，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．3．結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，考查復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．[理清主干知識(shí)]1．復(fù)數(shù)的定義及分類(1)復(fù)數(shù)的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實(shí)部是a，虛部是b.(2)復(fù)數(shù)的分類：eq\a\vs4\al(復(fù)數(shù)z＝a＋bi,a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實(shí)數(shù)b＝0，,虛數(shù)b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(純虛數(shù)a＝0，,非純虛數(shù)a≠0.))))2．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共軛復(fù)數(shù)a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)復(fù)數(shù)的模向量OZ→的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)3.復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)平面的概念建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面實(shí)軸、虛軸在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除原點(diǎn)以外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)平面向量eq\o(OZ,\s\up7(→))4.復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則：(1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．5．復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾個(gè)重要結(jié)論(1)|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)．(2)eq\x\to(z)·z＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2.(3)若z為虛數(shù)，則|z|2≠z2.(4)(1±i)2＝±2i.(5)eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.(6)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i.[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]一、關(guān)鍵點(diǎn)練明1．復(fù)數(shù)z＝eq\f(i,5＋i)的虛部為()A.eq\f(5,26)B．eq\f(5,26)iC．－eq\f(5,26)D．－eq\f(5,26)i2．復(fù)數(shù)z＝(1＋i)2，則|z|＝()A．0B．1C．2D．33．復(fù)數(shù)z＝eq\f(5,2－i)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限4．若復(fù)數(shù)z滿足z·i＝1＋i(i是虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)是________．二、易錯(cuò)點(diǎn)練清1．i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)eq\f(4＋3i,3－4i)的虛部是()A．－1B．1C．iD．－i2．若z＝3＋4i，則|z|＝()A.eq\r(5)B．5C．7D．25考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的概念1．已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i為虛數(shù)單位)是實(shí)數(shù)，則a＝()A．1B．－1C．2D．－22．若z＝1＋2i＋i3，則|z|＝()A．0B．1C.eq\r(2)D．23．(多選)已知i為虛數(shù)，且復(fù)數(shù)z滿足z(1＋2i)＝1＋i3，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的命題中正確的為()A．復(fù)數(shù)z的虛部為－eq\f(3,5)B．|z|＝eq\f(2\r(5),5)C．復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限D(zhuǎn)．z<1＋2i4．(多選)設(shè)z1，z2，z3為復(fù)數(shù)，z1≠0.下列命題中正確的是()A．若|z2|＝|z3|，則z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，則z2＝z3C．若eq\x\to(z)2＝z3，則|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，則z1＝z25．已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(a,2－i)＋eq\f(2－i,5)的實(shí)部與虛部的和為2，則實(shí)數(shù)a的值為________．[方法技巧]解決復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的方法及注意事項(xiàng)(1)求一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，只需將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)，則該復(fù)數(shù)的實(shí)部為a，虛部為b.(2)求一個(gè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，只需將此復(fù)數(shù)整理成標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式，實(shí)部不變，虛部變?yōu)橄喾磾?shù)，即得原復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)．復(fù)數(shù)z1＝a＋bi與z2＝c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(3)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的條件：①z＝a＋bi∈R?b＝0(a，b∈R)；②z∈R?z＝eq\x\to(z)；③z∈R?z2≥0.(4)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件：①z＝a＋bi是純虛數(shù)?a＝0且b≠0(a，b∈R);②z是純虛數(shù)?z＋eq\x\to(z)＝0(z≠0)；③z是純虛數(shù)?z2<0.考點(diǎn)二復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算[典題例析](1)(1＋2i)(2＋i)＝()A．－5iB．5iC．－5D．5(2)若z＝1＋i，則|z2－2z|＝()A．0B．1C.eq\r(2)D．2(3)eq\f(2－i,1＋2i)＝()A．1B．－1C．iD．－i[方法技巧]復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問(wèn)題的解題策略復(fù)數(shù)的加減法在進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算時(shí)，可類比合并同類項(xiàng)，運(yùn)用法則(實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減)計(jì)算即可復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可復(fù)數(shù)的除法除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡(jiǎn)形式[針對(duì)訓(xùn)練]1．復(fù)數(shù)eq\f(1,1＋2i)＋eq\f(i,2)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為()A.eq\f(1,10)B．－eq\f(1,10)C.eq\f(3,10)D．－eq\f(3,10)2．計(jì)算：(1)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)＝________；(2)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)＝________.考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的幾何意義[典例](1)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2)，則i·z＝()A．1＋2iB．－2＋iC．1－2iD．－2－i(2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)eq\f(m＋i,m－i)(i為虛數(shù)單位)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，－1)B．(－∞，0)C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)[方法技巧]復(fù)數(shù)幾何意義問(wèn)題的解題策略(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量OZ→相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?OZ→.(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問(wèn)題的解決更加直觀．[針對(duì)訓(xùn)練]1．復(fù)數(shù)z＝eq\f(1－i,3＋i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足條件|z|＝1，那么|z＋2eq\r(2)＋i|的最大值是()A．3B．2eq\r(3)C．1＋2eq\r(2)D．43．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z－i|＝|z＋i|(i為虛數(shù)單位)，且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z(x，y)，則下列結(jié)論一定正確的是()A．x＝1B．y＝1C．x＝0D．y＝0eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])1．已知i為虛數(shù)單位，z＝eq\f(4,1－i)，則復(fù)數(shù)z的虛部為()A．－2iB．2iC．2D．－22．設(shè)復(fù)數(shù)z＝eq\f(1－i,1＋i)，f(x)＝x2020＋x2019＋…＋x＋1，則f(z)＝()A．iB．－iC．1D．－13．若z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2＋m－6))＋(m－2)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為()A．－2B．2C．－3D．34．復(fù)數(shù)z＝eq\f(2i4,1＋i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限5．“a＝－2”是“復(fù)數(shù)z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)為純虛數(shù)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件6．已知a∈R，i是虛數(shù)單位，若z＝a＋eq\r(3)i，z·eq\x\to(z)＝4，則a＝()A．1或－1B．eq\r(7)或－eq\r(7)C．－eq\r(3)D．eq\r(3)7．已知m∈R，復(fù)數(shù)z1＝1＋3i，z2＝m＋2i，且z1·eq\x\to(z)2為實(shí)數(shù)，則m＝()A．－eq\f(2,3)B．eq\f(2,3)C．3D．－38．已知復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，z1＝3－i(i為虛數(shù)單位)，則eq\f(z1,z2)＝()A.eq\f(4,5)－eq\f(3,5)iB．－eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)iC．－eq\f(4,5)－eq\f(3,5)iD．eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i9．已知z＝a＋bi，其中a，b∈R，且滿足(a＋i)2＝bi5，則|z|＝()A．5B．eq\r(5)C．3D．eq\r(3)10．設(shè)z是復(fù)數(shù)，|z－i|≤2(i是虛數(shù)單位)，則|z|的最大值是()A．1B．2C．3D．411．已知ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是－2＋i,1－i,2＋2i，則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A．4－iB．－3－2iC．5D．－1＋4i12．(多選)已知復(fù)數(shù)z滿足z(2－i)＝i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為eq\x\to(z)，則()A．|z|＝eq\f(3,5)B.eq\x\to(z)＝－eq\f(1＋2i,5)C．復(fù)數(shù)z的實(shí)部為－1D．復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第二象限13．已知i為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)z滿足z－2i＝eq\f(1,1－i)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為()A.eq\f(13,2)B．eq\f(\r(26),2)C.eq\f(\r(10),2)D．eq\f(5,2)14．(多選)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|m＝in，n∈N))，其中i為虛數(shù)單位，則下列元素屬于集合M的是()A．(1－i)(1＋i)B．eq\f(1－i,1＋i)C.eq