2023-2024年新高考數(shù)學一輪復習培優(yōu)教案10.2《二項式定理》 (原卷版)

頁第二節(jié)二項式定理核心素養(yǎng)立意下的命題導向1.結(jié)合二項式定理的推導，考查對二項式定理及通項公式的理解，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合求二項展開式中的特定項及二項式系數(shù)性質(zhì)的研究，考查二項式定理的應用，凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．[理清主干知識]1．二項式定理(1)定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an﹣1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an﹣kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)．(2)通項：第k＋1項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an﹣kbk.(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的二項式系數(shù)為：Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1,2，…，n)．2．二項式系數(shù)的性質(zhì)[澄清盲點誤點]一、關鍵點練明1．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\r(x)))10的展開式中x2的系數(shù)等于()A．45B．20C．﹣30D．﹣902．二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)＋\f(1,2x)))8的展開式的常數(shù)項是________．3．在二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))n的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中含x2項的系數(shù)是______．4．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f(1,\r(x))))n的展開式的所有二項式系數(shù)的和為128，則n＝________.二、易錯點練清1．在二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))n的展開式中，所有二項式系數(shù)的和是32，則展開式中各項系數(shù)的和為________．2．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))(1＋2x)5的展開式中，x3的系數(shù)為________．3．(2x﹣1)6的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是________．(用數(shù)字作答)考點一二項展開式中特定項及系數(shù)問題考法(一)形如(a＋b)n(n∈N*)的展開式中與特定項相關的量[例1](1)在(eq\r(x)﹣2)5的展開式中，x2的系數(shù)為()A．﹣5B．5C．﹣10D．10(2)若二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x6－\f(1,x\r(x))))n的展開式中含有常數(shù)項，則n的值可以是()A．8B．9C．10D．11[方法技巧]求形如(a＋b)n(n∈N*)的展開式中與特定項相關的量(常數(shù)項、參數(shù)值、特定項等)的步驟考法(二)形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)展開式中與特定項相關的量[例2]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為()A．5B．10C．15D．20[方法技巧]求形如(a＋b)n(c＋d)m的展開式問題的思路(1)若n，m中一個比較小，可考慮把它展開得到多個，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展開分別求解．(2)觀察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1﹣x)7＝[(1＋x)(1﹣x)]5(1﹣x)2＝(1﹣x2)5(1﹣x)2.(3)分別得到(a＋b)n，(c＋d)m的通項公式，綜合考慮．考法(三)形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展開式中與特定項相關的量[例3]在(2x2＋x﹣1)5的展開式中，x3的系數(shù)為________．[方法技巧]求形如(a＋b＋c)n展開式中特定項的步驟[針對訓練]1．(1﹣2x)3(2＋x)4展開式中x2的系數(shù)為()A．0B．24C．192D．4082．(多選)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2＋\f(1,x)))4的展開式中各項系數(shù)之和為A，第二項的二項式系數(shù)為B，則()A．A＝256 B．A＋B＝260C．展開式中存在常數(shù)項D．展開式中含x2項的系數(shù)為543.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)))4的展開式中x2項的系數(shù)為8，則a＝________.4．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))6的展開式中常數(shù)項是________(用數(shù)字作答)．考點二二項式系數(shù)的性質(zhì)及各項系數(shù)和[典例]二項式(2x﹣3y)9的展開式中，求：(1)二項式系數(shù)之和；(2)各項系數(shù)之和；(3)所有奇數(shù)項系數(shù)之和；(4)各項系數(shù)絕對值之和．[方法技巧]1．賦值法的應用(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展開式的各項系數(shù)之和，只需令x＝1即可．(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．2．二項展開式各項系數(shù)和、奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和的求法若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)的展開式中：(1)各項系數(shù)之和為f(1)．(2)奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f1＋f－1,2).(3)偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f1－f－1,2).[提醒]注意區(qū)分二項式系數(shù)與二項展開式的各項系數(shù)．[針對訓練]1．(多選)若(1﹣2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)0＝1B．a(chǎn)1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2C．a(chǎn)0﹣a1＋a2﹣a3＋a4﹣a5＝35D．a(chǎn)0﹣|a1|＋a2﹣|a3|＋a4﹣|a5|＝﹣12．在二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(3,x)))n的展開式中，各項系數(shù)之和為A，各項二項式系數(shù)之和為B，且A＋B＝72，則展開式中常數(shù)項的值為________．一、創(chuàng)新思維角度——融會貫通學妙法巧用二項式系數(shù)的性質(zhì)解題題型(一)對稱性問題[例1]已知(1＋x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則這兩項的二項式系數(shù)為________．[名師微點]利用二項展開式的特點與組合數(shù)的性質(zhì)可得二項式系數(shù)的對稱性，但要注意到二項式系數(shù)、項的系數(shù)是兩個不同的概念，二項式系數(shù)與二項展開式中某一項的系數(shù)也不一定相同，因此二項展開式的字母系數(shù)不一定具有這一性質(zhì)．題型(二)增減性與最大值問題[例2]若(1＋x)n(n∈N*)的二項展開式中，只有x5的系數(shù)最大，則n＝________.[名師微點]“若二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大；若二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項的二項式系數(shù)最大”，這是二項展開式中二項式系數(shù)的重要性質(zhì)．題型(三)系數(shù)之和問題[例3]已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(3,\r(3,x))))n的展開式中，各項系數(shù)的和與其各項二項式系數(shù)的和之比為64，則n＝________.[名師微點]賦值法是求二項展開式系數(shù)問題時常用的方法，但取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解題時注意避免漏項等情況．二、創(chuàng)新考查方式——領悟高考新動向1．已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，則(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2﹣(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2的值為()A．39B．310C．311D．3122．已知正項等比數(shù)列{an}中，a3＝3a1a2，a4＝eq\f(256,3)，用{x}表示實數(shù)x的小數(shù)部分，如{1.5}＝0.5，{2.4}＝0.4，記bn＝{an}，則數(shù)列{bn}的前15項的和S15為________．3．已知多項式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，則a4＝________，a5＝________.eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])一、基礎練——練手感熟練度1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x)))6的展開式中xSKIPIF1<0的系數(shù)為()A．﹣12B．12C．﹣192D．1922．(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展開式中x4的系數(shù)為()A．50B．55C．45D．603．已知(x＋1)n的展開式的各項系數(shù)和為32，則展開式中x4的系數(shù)為()A．20B．15C．10D．54．在(1﹣x)5(2x＋1)的展開式中，含x4項的系數(shù)為()A．﹣5B．﹣15C．﹣25D．255．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x2)))5的展開式中，x2的系數(shù)是________．6．已知m∈Z，二項式(m＋x)4的展開式中x2的系數(shù)比x3的系數(shù)大16，則m＝________.二、綜合練——練思維敏銳度1．二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,x)))8的展開式中x2的系數(shù)是﹣7，則a＝()A．1B.eq\f(1,2)C．﹣eq\f(1,2)D．﹣12．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(1,\r(x))))6展開式的常數(shù)項為60，則a值為()A．4B．±4C．2D．±23．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展開式中x2的系數(shù)是()A．60B．80C．84D．1204．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(x))))n的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最小的項的系數(shù)為()A．﹣126B．﹣70C．﹣56D．﹣285．若二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(a,x)))7的展開式中的各項系數(shù)之和為﹣1，則含x2的項的系數(shù)為()A．560B．﹣560C．280D．﹣2806．(eq\r(3,2)＋x)5的展開式中系數(shù)為有理數(shù)的各項系數(shù)之和為()A．1B．20C．21D．317．已知(2m＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為64，則m＝()A.eq\f(7,4)B.eq\f(7,2)C．4D．78．設(2﹣x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，則eq\f(a2＋a4,a1＋a3)的值為()A．﹣eq\f(61,60)B．﹣eq\f(122,121)C．﹣eq\f(3,4)D．﹣eq\f(90,121)9．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,x)))5的展開式中，x3的系數(shù)等于﹣5，則該展開式的各項的系數(shù)中最大值為()A．5B．10C．15D．2010．(多選)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\r(\f(a,x))))n的展開式中最中間的一項是﹣eq\f(5,2)xeq\r(x)，則()A．a(chǎn)＝eq\f(1,2)B．展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為64C．展開式中的所有項的系數(shù)和為eq\f(1,64)D．展開式中的常數(shù)項為eq\f(15,16)11．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,\r(x))))10的展開式中含有xSKIPIF1<0的系數(shù)是﹣120，則a＝________.12．若(1＋2020x)2020＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2020x2020，則eq\f(a1,2020)＋eq\f(2a2,20202)＋eq\f(3a3,20203)＋…＋eq\f(1010a1010,20201010)＝__________.13．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若a0＋a1＋…＋an＝62，則logn25等于________．14．已知(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，設Sn＝a0＋a1＋a2＋…＋an，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\