2022年寧夏中衛(wèi)市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）（學(xué)生版+解析版）

2022年寧夏中衛(wèi)市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.（5分）己知集合4={-1,0,1,2,3},B={x|/-2x>0},則ACB=（）

A.{3}B.{2,3}C.{-1,3}D.{1,2,3}

2.（5分）若zi=l+3i,則2=（）

A.3+iB.3-jC.3+2/D.3-2z

3.（5分）已知向量Z=（x,1）,b=（4,x）,則"x=2"是"Z〃匕"的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.（5分）已知COS（TT+a）=一［，貝ljsin（a-2n）=（）

4434

+a+

--c---

A.5B.5一55

5.（5分）已知拋物線b=4x的焦點為F,點M在拋物線上，且|MQ=3,則M的橫坐標為

（）

A.1B.V2C.2D.3

6.（5分）杜甫的“三吏三別”深刻寫出了民間疾苦及在亂世中身世飄蕩的孤獨，揭示了戰(zhàn)

爭給人民帶來的巨大不幸和困苦.“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼關(guān)吏》，“三別”

是指《新婚別》《無家別》《垂老別》.語文老師打算從“三吏”中選二篇，從“三別”中

選一篇推薦給同學(xué)們課外閱讀，那么語文老師選的含《新安吏》和《無家別》的概率是

（）

2457

A.一B.一C.一D.—

9999

7.（5分）在長方體A8CD-AiBiCiOi中，AB=BC=\,441=遮，則異面直線ADi與BBi

所成角為（）

8.（5分）某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出x+y的值是（)

開始

i=O,x=l,y=l

------i=i+l

A.-1B.-5C.-3D.0

9.（5分）“干支紀年法”是我國歷法的一種傳統(tǒng)紀年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、

辛、壬、癸被稱為“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做

“十二地支”.地支又與十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”

依次對應(yīng)天干”以“甲”字開始，“地支”以“子”字開始，兩者按干支順序相配，

組成了干支紀年法，其相配順序為甲子、乙丑、丙寅、、癸酉：甲戌、乙亥、丙子、…、

癸未；甲申、乙寅、丙戌、…、癸已；…；共得到60個組合，稱為六十甲子，周而復(fù)始，

無窮無盡.2020年是“干支紀年法”中的庚子年，那么2082年出生的孩子屬相為（）

A.猴B.馬C.羊D.虎

10.（5分）關(guān)于函數(shù)/'（x）=2s譏+看）的圖象或性質(zhì)的說法中，正確的個數(shù)為（）

①函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于直線工=竽對稱；

②將函數(shù)/（x）的圖象向右平移g個單位所得圖象的函數(shù)為y=2sin（^x+^）；

③函數(shù)/（x）在區(qū)間（T，y）上單調(diào)遞增；

④若f（x）=a,則cos8%—電=*

A.1B.2C.3D.4

xv

11.（5分）設(shè)尸i,尸2分別為雙曲線"一三=1（。>0,。>0）的左、右焦點，雙曲線上存

azbz

在一點尸使得|PFi|+|PF2|=2b,|尸乃|『尸2|=我，則該雙曲線的離心率為（）

,-5-

A.V10B.3C.-D.V2

2

12.（5分）設(shè)函數(shù)f（%）=['以'",0,若函數(shù)g（x）=f（x）有兩個零點，則實數(shù)加

\,xex,%<0

的取值范圍是（）

A.T，e）B.（-1,0]

1I

C.（一工，0）U（0/+oo）D.（—―/+8）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

x-y>0

13.（5分）已知實數(shù)x,y滿足約束條件卜+y20,則z=i+2y的最小值為.

.2%+y<1

2Xx<T0

'為奇函數(shù)，則g（2）=___.

{g。），x>0

15.（5分）在△43C中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,設(shè)AABC的面積為S,其

中a=2V3,y+,2=24,則S的最大值為.

16.（5分）在四面體見8c中，平面以81.平面ABC,%=PB=AB=2,4C=BC=宇,

則該四面體的外接球的體積為.

P

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必

考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：

共60分.

17.(12分)已知數(shù)列｛〃"｝中，前〃項和為S”,且滿足Sn=|(4"-1),“6N*,設(shè)為=log2M

(I)分別求｛〃”｝和｛如｝的通項公式：

(II)求數(shù)列｛｝的前n項和Tn.

("?n4+l4)(,On上+32)、J

18.(12分)為進一步推進全國文明城市創(chuàng)建工作，營造濃厚的創(chuàng)建氛圍，確保創(chuàng)建工作高

質(zhì)量達標.某市物業(yè)主管部門決定在市區(qū)住宅小區(qū)開展文明城市創(chuàng)建工作滿意度測評，

現(xiàn)從某小區(qū)居民中隨機抽取若干人進行評分，繪制出如下的頻率分布直方圖(分組區(qū)間

為[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]),并將分數(shù)從低到

高分為四個等級：

滿意度評分[40,60)[60,80)[80,90)[90,100]

滿意度等級不滿意基本滿意滿意非常滿意

(1)求表中“的值；若用A表示事件”滿意度評分不低于80分”，將頻率視為概率，求

事件A發(fā)生的概率；(2)若居民的滿意指數(shù)不低于0.9,則該小區(qū)可獲得“最美小區(qū)”稱

號.根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計知識，判斷該小區(qū)是否能獲得“最美小區(qū)”稱號？并說明理由.

19.(12分)如圖，四棱錐P-ABC。的底面ABCO為矩形，PA^PC,PB=PD.

(1)證明：平面以C,平面ABC。.

(2)若AB=2W,PD=2^2,BC=2,求點8到平面PCD的距離.

p

有且只有一個公共點.

(1)求橢圓E的方程；

(2)過點M(l,0)的直線L與橢圓￡交于兩點A,B,若京=2屆，求直線〃的方

程

21.(12分)已知函數(shù)/'(%)=亍+a/nx,aeR.

(1)若曲線y=/(x)在點尸(1,f(1))處的切線垂直于直線y=x+2,求a的值；

(2)當(dāng)時，求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e］上的最小值.

(-)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一道作答.如果多做，則按所做的第一

題計分.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

22.(10分)已知圓C的方程為(x-1)2+⑶-1)2=9,直線/的參數(shù)方程為｛；二:黑,

"為參數(shù),0Wa<Tt).以原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

(1)求圓C的極坐標方程；

(2)設(shè)/與C交于A,3兩點，當(dāng)|0川+|。8|=2夕時，求/的極坐標方程.

［選修4-5：不等式選講］

、、1

23.(1)設(shè)。，b,cER,a+b+c=1,證明：ab+bc+ac<

(2)求滿足方程(/+2)(/+8)=16沖的實數(shù)x,y的值.

2022年寧夏中衛(wèi)市高考數(shù)學(xué)一模試卷(文科)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合4={-1,0,1,2,3),B={x\x2-2x>0],則AA8=()

A.{3}B.{2,3}C.{-1,3}D.{1,2,3}

【解答】解：由3中不等式變形得：x(x-2)>0,

解得：xVO或x>2,即B={RxVO或x>2},

VA={-1,0,1,2,3},

：.AQB={-1,3},

故選：C.

2.(5分)若力=l+3i,則5=()

A.3+zB.3-iC.3+2/D.3-2i

【解答】解：?.?zi=l+3i,

.l+3i(l+3i)io.

1i2

Az=3+i.

故選：A.

3.(5分)已知向量'=(x,1),b=(4,x),則“x=2”是嗎〃*的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：若ZIIb,則/-4=0,

：.x=+2,

，x=2時，能得出熱||b；而得不出x=2,

?,.”x=2”是aa||b"的充分不必要條件.

故選：B.

4.(5分)已知COS(TT+a)=-引則sin(a-2n)=()

443A

A.-B.一gC.土一D.土V

5555

【解答】解：因為cos（7T+a）=—&=-cosa,

所以cosa=引

_________4

則sin（a-2TT）=sina=±V1—cos2a=±g.

故選：D.

5.（5分）已知拋物線）2=4x的焦點為F,點M在拋物線上，且|MF|=3,則M的橫坐標為

（）

A.1B.V2C.2D.3

【解答】解：由題意可知=XM+1=3,解得XM=2.

故選：C.

6.（5分）杜甫的“三吏三別”深刻寫出了民間疾苦及在亂世中身世飄蕩的孤獨，揭示了戰(zhàn)

爭給人民帶來的巨大不幸和困苦.“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼關(guān)吏》，“三別”

是指《新婚別》《無家別》《垂老別》.語文老師打算從“三吏”中選二篇，從“三別”中

選一篇推薦給同學(xué)們課外閱讀，那么語文老師選的含《新安吏》和《無家別》的概率是

（）

2457

A?-B.-C?—D.一

9999

【解答】解：設(shè)語文老師選的含《新安吏》和《無家別》為事件A,

；基本事件總數(shù)為武?盤=9,

事件A包含的基本事件數(shù)為??盤=2,

2

.?.p（4）=g,

故選：A.

7.（5分）在長方體A8C￡>-AiBiCiDi中，AB=8C=1,AAr=V3,則異面直線AD1與B31

所成角為（）

nn7171

A.-B.-C.一D.-

4362

【解答】解：長方體A3CD-451C1D1中，DDU/BB1,

則異面直線AD1與BB\所成角的平面角為NAD1D,

則tanNADiA備=e=季

即

o

71

所以異面直線AD\與BBi所成角為7

6

故選：C.

8.（5分）某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出x+y的值是（)

A.-1B.-5C.-3D.0

【解答】解：i=0,x=l,y=l,

第一次循環(huán)，0W3,x=\-1=0,y=0+l=l,i=0+l=l,

第二次循環(huán)，1W3,x=0-l=-l,y—-1+1=0,i—\+\—2,

第三次循環(huán)，2W3,x--1-0=-1,y—-1+0=-1,i—2+\=3,

第四次循環(huán)，3W3,x=-1-（-1）=0,y=0+（-1）=-1,?=3+l=4,

4<3不成立，輸出x+y的值為-1.

故選：A.

9.（5分）“干支紀年法”是我國歷法的?一種傳統(tǒng)紀年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、

辛、壬、癸被稱為“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、己、午、未、申、酉、戌、亥叫做

“十二地支”.地支又與十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”

依次對應(yīng).“天干”以“甲”字開始，“地支”以“子”字開始，兩者按干支順序相配，

組成了干支紀年法，其相配順序為甲子、乙丑、丙寅、、癸酉：甲戌、乙亥、丙子、…、

癸未；甲申、乙寅、丙戌、…、癸己；…；共得到60個組合，稱為六十甲子，周而復(fù)始，

無窮無盡.2020年是“干支紀年法”中的庚子年，那么2082年出生的孩子屬相為（）

A.猴B.馬C.羊D.虎

【解答】解：六十甲子，周而復(fù)始，無窮無盡，

即周期是60,2082年與2022年一樣，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬

寅年，

則2082年出生的孩子屬相為虎.

故選：D.

10.（5分）關(guān)于函數(shù)/0）=25譏&尢+看）的圖象或性質(zhì)的說法中，正確的個數(shù)為（）

①函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=竽對稱；

②將函數(shù)/（x）的圖象向右平移g個單位所得圖象的函數(shù)為y=2sin（^x+號）；

Sir

③函數(shù)/（x）在區(qū)間（―￡—）上單調(diào)遞增；

33

④若f（x）=a,則cos&x-今）=/

A.1B.2C.3D.4

O1TT1O-jTp^rrO-rr

【解答】解：①當(dāng)文=竽時，-%+—=-x—+—=一,此時f（X）取得最小值，即

J262362

函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于直線》=學(xué)對稱，故①正確；

②將函數(shù)/(x)的圖象向右平移g個單位所得圖象的函數(shù)為y=2sing(尸卷+1]=2sin

(|x),不是y=2si*%+號)，故②錯誤；

TT57T1TT57r1JT

③當(dāng)xW(一亍，—)，則(-7?—)，一才+工^(0,IT),

3326626

此時函數(shù)f(x)在區(qū)間(一?！?上不單調(diào)，故③錯誤；

④若/(x)=。，即sin(一久+一)=冬，

262

?.1,71J叫71rn.f1717117T

.-x+——(r-5)=5,則-%+——一=一九一亍,

2623226223

11TCTC7rlTT17rQ

則cos(-x—0)=cos(-%+———)=cos[——(-%+-)]=sin(~x+-)=5，

23262226262

則cos(?T)=號錯誤，故④錯誤，

故正確的個數(shù)為1個，

故選：A.

2V2

11.(5分)設(shè)F1,尸2分別為雙曲線"一匕=1(〃>0,匕>0)的左、右焦點，雙曲線上存

a1bz

在一點P使得|PFi|+|PF2|=2b,\PFi\\PF2\=lab,則該雙曲線的離心率為()

A.V10B.3C.-D.V2

2

【解答】解：由雙曲線的定義可得，

IIPF1I-|PF2||=2a,

0

由|PFi|+|PF2|=2b,\PFI\-\PF2\=^ab,

則有(|PF1|+|PF2|)2-4\PFi\'\PF2\=4b2-^ab=4a2,

即有(h-3a)<3h+a)=0,

即有匕=34，則6=J1+4尸="U.

故選：A.

12.(5分)設(shè)函數(shù)若函數(shù)g(x)=f(x)-機有兩個零點，則實數(shù)相

be"%<0

的取值范圍是()

11

A.(--/e)B.0]

11

C.(-}O)u(o，+8)D.(-9，+00)

【解答】解：因為當(dāng)了W0時，y=x/WO,

所以(x+1),

令y，=0,得x=-1,

所以當(dāng)在(-8,一1)時，y<o,y=x"單調(diào)遞減；當(dāng)xe[-1,0])時，y>0,y=xex

單調(diào)遞增；

所以ymin=-

作出y=/(x)的圖象如圖所示：

g(x)=f(x)-〃7有兩個零點等價于y=/(x)的圖象與y=相的圖象有2個交點，

由圖象可得機>—

x-y>0

13.(5分)已知實數(shù)x,y滿足約束條件卜+yNO,則z=x+2y的最小值為7

.2%+y<1

【解答】解：由約束條件作出可行域如圖,

聯(lián)立解得A(1,7),

由z=x+2y,得產(chǎn)—5+*,由圖可知，當(dāng)直線尸一方+獅時,

直線在y軸上的截距最小，z有最小值為1-2=-1.

故答案為：-1.

2Xx<0

'為奇函數(shù)，則g(2)=1

{g(x),x>04-

2XxVO

'為奇函數(shù)，

{g(x),x>0

則/(2)=g(2),而-2)=2'2=1,

1

則g(2)=-/<-2)=一?

故答案為：-

15.(5分)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,設(shè)△ABC的面積為S,其

中a=2V3,b2+c2=24,則S的最大值為3近.

【解答】解：由余弦定理得，cosA=等L=微>0,

因為24=b2+c2^2bc,當(dāng)且僅當(dāng)〃=c=2百時取等號，

所以bcW12,

又siiL4=

所以S=^bcsinA='J(bc)2一36W3次.

故答案為：3V5.

16.(5分)在四面體B4BC中，平面平面ABC,PA=PB=AB=2,AC=BC=孥,

2071571

則該四面體的外接球的體積為….

【解答】解：四面體B43C中，平面B43_L平面A3cPA=PB=AB=2,AC=BC=學(xué),

如圖所示：

在△ABC中，利用余弦定理：AB2=AC2+CB2-2AC*BC*cosZACB,

整理得cos-4cB=-々，

解得4CB=竽，

2

心.27T=2/?，

S叫

所以aABC的外接圓的半徑為R=專，

在中，中心點E到AB的距離為，，22-1=y；即FD=冬

所以外接球的半徑R=(等)2+熄)2=得

所以囁=”.雷)3=^詈.

,,…,20V157T

故答案為：

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必

考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題:

共60分.

9

17.(12分)已知數(shù)列｛傲｝中，前”項和為品，且滿足%=((平-1),"CN*,設(shè)醫(yī)=log2Z.

(I)分別求｛〃“｝和｛阮｝的通項公式；

(II)求數(shù)列｛?%二日八上不｝的前〃項和Tn.

【解答】解：(/)由匕=,(4n-1)知，

當(dāng)〃》2時，Sx=[(4n-J),

nnJ2n

兩式相減，得與=Sn-Sa=j(4-l)-1(4--1)=2-\

n

即0n=22T(n>2),

7

當(dāng)〃=1時，%=Si=g(4-1)=2滿足上式

2n-1

an=2(nEN*),bn=\og2an=2n-1.

2nx

綜上可知：an=2-(nEN*),bn=2n-l(nEN*).

、」八4411

(〃)由(/)知T;--------=—;------=——----，

(如+l)(bn+3)2n(2n+2)nn+1

?11,11,1111n

-Tn=1-2+2-3+3~4+"'+n~^=1~^=^

18.(12分)為進一步推進全國文明城市創(chuàng)建工作，營造濃厚的創(chuàng)建氛圍，確保創(chuàng)建工作高

質(zhì)量達標.某市物業(yè)主管部門決定在市區(qū)住宅小區(qū)開展文明城市創(chuàng)建工作滿意度測評，

現(xiàn)從某小區(qū)居民中隨機抽取若干人進行評分，繪制出如下的頻率分布直方圖(分組區(qū)間

為[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]),并將分數(shù)從低到

高分為四個等級：

滿意度評分[40,60)[60,80)[80,90)[90,100]

滿意度等級不滿意基本滿意滿意非常滿意

(1)求表中a的值；若用A表示事件“滿意度評分不低于80分”，將頻率視為概率，求

事件A發(fā)生的概率；(2)若居民的滿意指數(shù)不低于0.9,則該小區(qū)可獲得“最美小區(qū)”稱

號.根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計知識，判斷該小區(qū)是否能獲得“最美小區(qū)”稱號？并說明理由.

【解答】解：(1)由頻率分布直方圖可知:(0.002+0.004+0.016+0.018+a+0.024)X10=l,

解得a=0.036,“滿意度評分不低于80分”的頻率為：(0.036+0.024)X10=0.6.

因此，事件A發(fā)生的概率估計值為06

(2)滿意度的平均分為：45X0.02+55X0.04+65X0.16+75X0.18+85X0.36+95X0.24=

80.4

所以居民的滿意指數(shù)叩=盥=0.804<0.9.

所以該小區(qū)不可獲得“最美小區(qū)”稱號.

19.(12分)如圖，四棱錐P-ABC。的底面ABC。為矩形，PA=PC,P8=PD.

(1)證明：平面B4C_L平面48CD.

(2)若A8=2g,PD=2V2,BC=2,求點B到平面PCD的距離.

【解答】證明：(1)連接BD,交AC于點O,連接P。，如圖所示,

?.?底面ABC。為矩形，二。為AC,8。的中點，

又：以二也，PB=PD,

：.POLAC,PO1.BD,

又：ACC8Q=0,

."0J_平面4BCD,

：POu平面PAC,

平面用C_L平面ABCD.

解：⑵：AB=2b，BC=2,

：.AC^BD=>/AB2+BC2=4,：.0D=0C=2,

在RtZXPO。中，NP0D=9Q°,

：.P0=>/PD2-OD2=2,

.,.在RtAPOC中，PC=>JPO2+OC2=2V2.

在△「(7￡?中，PD=PC=2五,CD=2?

:.SNCD=|xCDxJPC2-CD)2=1x2V3xV8^3=V15,

"：BC±CD,:&BCD=IXBCxCD=x2x2V3=2V3,

設(shè)點B到平面PCD的距離為h,

由等體積法可知VBPCD=VPBCD,

又：PO_L平面ABCD,：.P0為點P到平面BCD的距離,

11

,*2xS近口xh——xS^BCDxP。

.SABCDXPO_2&x2_4V5

S“CD-~7TT~丁

4A/5

即點B到平面PCD的距離為

XVV3「

20.(12分)已知橢圓E：—4--=l(a>b>0)的離心率為一，與直線/：x-y+V5=0

az2

有且只有一個公共點.

(1)求橢圓E的方程;

(2)過點M(l,0)的直線L與橢圓E交于兩點A,B,若薪=2屆，求直線Z,的方

程

【解答】解：(1)由題意可知，e=E=坐，即2c=V5a,由q2=/+c2,所以〃2=4廬，

故橢圓方程為：f+4)2-4B=o,

將y=%4-6代入橢圓方程，整理得5/+8V5X+20—4b2=0,

由橢圓與直線只有一個公共點，則4=(8遮產(chǎn)-4X5X(20-4b2)=0,

解得廿=1，/=4,

產(chǎn)

所以橢圓E的方程：—+y2=1；

4

(2)設(shè)直線L的方程：x=my+\,A(xi,y\),B(X2,”)，

聯(lián)立方程組｛：2；黑;4=0,消去X，整理得(加2+4)y2+2my-3-0,

所以%+丫2=一舄,%"一品，

由薪=(1一%，一%)，薪=(%2—1，、2)，且京=2詁，貝lj-yi=2”，

所以‘乃=滔百'、2=帚彳’代入一商工歹二一再？

解得m=±馬要，

所以直線L的方程為“=土型y+1,BP5x±2715-5=0,

當(dāng)直線L的斜率為0,顯然不滿足41=2MB,

所以直線L的方程：5x±2V15-5=0.

21.(12分)已知函數(shù)/(X)=彳+abix,?GR.

(1)若曲線y=/(x)在點尸(1,/(I))處的切線垂直于直線y=x+2,求a的值；

(2)當(dāng)“20時，求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e］上的最小值.

【解答】解：⑴因為/(x)=1+a/nx,所以廣。)=一5+或

:曲線y=/(x)在點P(1,7(I))處的切線垂直于直線y=x+2,

又直線y=x+2的斜率為1,

廣⑴=一1+三=一1,

(2)(x)=++E=xG(0,+oo),。20,x>0,

①當(dāng)“=0時，在區(qū)間(0,e］上/'。)=1VO,此時函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,e］上單

調(diào)遞減，

則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e］上的最小值為/(e)=今

②當(dāng)0寸Ve,即a>|時，在區(qū)間(