奧賽輔導(dǎo)第六講萬(wàn)有引力和天體運(yùn)動(dòng)

第六講萬(wàn)有引力和天體運(yùn)動(dòng)漳州實(shí)驗(yàn)中學(xué)張春霞一、知識(shí)點(diǎn)擊1．開(kāi)普勒定律第一定律〔軌道定律〕：所有行星分別在大小不同的橢圓軌道上圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)。太陽(yáng)是在這些橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。第二定律〔面積定律〕：對(duì)每個(gè)行星來(lái)說(shuō)，太陽(yáng)和行星的連線〔叫矢徑〕在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積?！懊娣e速度〞：〔θ為矢徑r與速度的夾角〕第三定律〔周期定律〕：所有行星的橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值相等。即：．2．萬(wàn)有引力定律⑴萬(wàn)有引力定律：自然界中任何兩個(gè)物體都是相互吸引的．任何兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間引力的大小跟這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的二次方成反比．，，稱(chēng)為引力常量．⑵重力加速度的根本計(jì)算方法設(shè)M為地球的質(zhì)量，g為地球外表的重力加速度．在地球外表附近〔〕處：，在地球上空距地心r=R+h處：，在地球內(nèi)部跟離地心r處：，，3．行星運(yùn)動(dòng)的能量⑴行星的動(dòng)能當(dāng)一顆質(zhì)量為m的行星以速度繞著質(zhì)量為M的恒星做平徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)：，式中。⑵行星的勢(shì)能對(duì)質(zhì)量分別為M和m的兩孤立星系，取無(wú)窮遠(yuǎn)處為萬(wàn)有引力勢(shì)能零點(diǎn)，當(dāng)m與M相距r時(shí)，其體系的引力勢(shì)能：⑶行星的機(jī)械能：4．宇宙速度和引力場(chǎng)⑴宇宙速度〔相對(duì)地球〕第一宇宙速度：環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)的速度〔環(huán)繞速度〕．第二宇宙速度：人造天體發(fā)射到地球引力作用以外的最小速度〔脫離速度〕．第三宇宙速度：使人造天體脫離太陽(yáng)引力范圍的最小速度〔逃逸速度〕．⑵引力場(chǎng)、引力半徑與宇宙半徑．對(duì)于任何一個(gè)質(zhì)量為M，半徑為r的均勻球形體系都有類(lèi)似于地球情況下的這兩個(gè)特征速度．如果第二宇宙速度超過(guò)光速，即，那么有關(guān)系．在這種物體上，即使發(fā)射光也不能克服引力作用，最終一定要落回此物體上來(lái)，這就是牛頓理論的結(jié)論，近代理論有類(lèi)似的結(jié)論，這種根本發(fā)不了光的物體，被稱(chēng)為黑洞，這個(gè)臨界的r值被稱(chēng)為引力半徑，記為用地球質(zhì)量代入，得到rg≈0.9cm，設(shè)想地球全部質(zhì)量縮小到1cm以下的小球內(nèi)，那么外界就得不到這個(gè)地球的任何光信息．如果物質(zhì)均勻分布于一個(gè)半徑為r的球體內(nèi)，密度為ρ，那么總質(zhì)量為又假設(shè)半徑r正好是引力半徑，那么，得此式表示所設(shè)環(huán)境中光不可能發(fā)射到超出rg的范圍，聯(lián)想起宇宙環(huán)境的質(zhì)量密度平均值為10-29g/cm3，這等于說(shuō)，我們不可能把光發(fā)射到1028cm以外的空洞，這個(gè)尺度稱(chēng)為宇宙半徑．二、方法演練類(lèi)型一、天體運(yùn)動(dòng)中一類(lèi)應(yīng)用開(kāi)普勒定律的問(wèn)題，解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)一定要注意運(yùn)動(dòng)的軌道、面積、周期，但三者之間也是有關(guān)聯(lián)的，正因?yàn)槿绱耍忸}時(shí)要特別注意“面積速度〞。例1．要發(fā)射一艘探測(cè)太陽(yáng)的宇宙飛船，使其具有與地球相等的繞日運(yùn)動(dòng)周期，以便發(fā)射一年后又將與地球相遇而發(fā)回探測(cè)資料。在地球發(fā)射這一艘飛船時(shí)，應(yīng)使其具有多大的繞日速度？分析與解：如示6—1所示，圓為地球繞日軌道，橢圓為所發(fā)射飛船的繞日軌道，S點(diǎn)〔太陽(yáng)〕為此橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，因飛船與地球具有相等的繞日周期，由開(kāi)普勒周期定律：可知橢圓的半長(zhǎng)軸a=R，兩軌道的交點(diǎn)必為半軸頂點(diǎn)，發(fā)射飛船時(shí)，繞日速度應(yīng)沿軌道切線方向，即與橢圓長(zhǎng)軸平行的方向．那么飛船的“面積速度〞為：，地球的“面積速度〞為：，故：當(dāng)繞日速度的方向不同時(shí)，其軌道的短軸b不同，但長(zhǎng)半軸R相同，太陽(yáng)為橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)，且發(fā)射的繞日速度大小相同．例2．一物體A由離地面很遠(yuǎn)處向地球下落，落至地面上時(shí)，其速度恰好等于第一宇宙速度．地球半徑R=6400km.假設(shè)不計(jì)物體在運(yùn)動(dòng)中所受到的阻力，求此物體在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。分析和解：物體落至地面時(shí)其速度值為第一宇宙速度值，即：上式中R為地球半徑，g為地球外表處的重力加速度。設(shè)A最初離地心的距離為r，那么由其下落過(guò)程中機(jī)械能守恒，應(yīng)有：且GM=gR2聯(lián)立上三式可解得：r=2R物體在中心天體引力作用下做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其速度、加速度是變化的，可以將它看繞中心天體的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，將其短軸取無(wú)限小。這就是我們通常所說(shuō)的“軌道極限化〞。物體A下落可以看成是沿著很狹長(zhǎng)的橢圓軌道運(yùn)行，其焦點(diǎn)非常接近此橢圓軌道長(zhǎng)軸的兩端，如圖6—2所示，那么由開(kāi)普勒第一定律，得知地心為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．那么橢圓長(zhǎng)半軸為a=R又由開(kāi)普勒第三定律，物體沿橢圓軌道運(yùn)行的周期和沿繞地心〔軌道不計(jì)為R〕的圓軌道運(yùn)行的周期相等．其周期為：再由開(kāi)普勒第二定律得：，類(lèi)型二、天體質(zhì)量〔密度〕的計(jì)算問(wèn)題往往是由萬(wàn)有引力定律和向心力公式建立天體計(jì)算的根本方程，解題時(shí)一般要注意中心天體與運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星關(guān)系的建立，同時(shí)還要注意忽略微小量〔次要因數(shù)〕的問(wèn)題，這是解決這類(lèi)問(wèn)題的兩個(gè)非常重要的因數(shù)。例3．新發(fā)現(xiàn)一行星，其星球半徑為6400km，且由通常的水形成的海洋覆蓋它所有的外表，海洋的深度為10km，學(xué)者們對(duì)該行星進(jìn)行探查時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把試驗(yàn)樣品浸入行星海洋的不同深度時(shí)，各處的自由落體加速度以相當(dāng)高的精確度保持不變．試求此行星外表處的自由落體加速度．萬(wàn)有引力常量G=6.67×10-11Nm2/kg2。分析和解：解此題的關(guān)鍵就在于首先要建立中心天體和運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星，才能運(yùn)用根本方程式求行星外表處的自由落體加速度，假設(shè)把水視為運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星群，那么關(guān)鍵是如何求中心天體的質(zhì)量。以R表示此星球的半徑，M表示其質(zhì)量，h表示其外表層海洋的深度，R0表示除海洋外星球內(nèi)層的半徑，r表示海洋內(nèi)任一點(diǎn)到星球中心的距離．那么：，且，以ρ水表示水的密度．那么此星球外表海洋水的總質(zhì)量為因R>>h，略去h高次項(xiàng)，得由，，，依題意：，即：，那么將G＝6.67×10-11Nm2/kg2，ρ水＝1．0×103kg/m3，R＝6.4×106m代入得：g表=2.7m/s2。類(lèi)型三、天體運(yùn)動(dòng)的能量問(wèn)題要注意在軌運(yùn)行的衛(wèi)星的機(jī)械能，然后利用機(jī)械能的改變及功能原理來(lái)解題，這是因?yàn)樾l(wèi)星的運(yùn)行軌道變化既要注意其變軌機(jī)理，又要符合能量原理。例4．質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星，在圓形軌道上運(yùn)行．運(yùn)行中受到大小恒為的微弱阻力作用，以r表示衛(wèi)星軌道的平均半徑，M表示地球質(zhì)量，求衛(wèi)星在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中：〔1〕軌道半徑的改變量Δr=？〔2〕衛(wèi)星動(dòng)能的改變量ΔEk=？分析和解：因衛(wèi)星沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)，那么，那么，那么衛(wèi)星的機(jī)械能為設(shè)衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)一周軌道半徑改變量為△r，那么對(duì)應(yīng)機(jī)械能改變量為，根據(jù)功能原理：W=ΔE，即，，負(fù)號(hào)表示軌道半徑減小。〔2〕衛(wèi)星動(dòng)能的改變量為：類(lèi)型四、天體運(yùn)動(dòng)的宇宙速度問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是兩個(gè)問(wèn)題：一個(gè)是擺脫引力場(chǎng)所需要的能量的問(wèn)題；一個(gè)是能量的來(lái)源問(wèn)題。而能量要么來(lái)源于燃料，要么來(lái)源于碰撞。例5．宇宙飛行器和小行星都繞太陽(yáng)在同一平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，飛行器的質(zhì)量比小行星的質(zhì)量小很多，飛行器的速率為，小行星的軌道半徑為飛行器軌道半徑的6倍。有人企圖借助飛行器與小行星的碰撞使飛行器飛出太陽(yáng)系，于是他便設(shè)計(jì)了如下方案：Ⅰ．當(dāng)飛行器在其圓周軌道的適當(dāng)位置時(shí)，突然點(diǎn)燃飛行器上的噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)，經(jīng)過(guò)極短時(shí)間后立即關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，以使飛行器獲得所需的速度，沿圓周軌道的切線方向離開(kāi)圓軌道；Ⅱ．飛行器到達(dá)小行星的軌道時(shí)正好位于小行星的前緣，速度的方向和小行星在該處速度的方向相同，正好可被小行星碰撞；Ⅲ．小行星與飛行器的碰撞是彈性正碰。不計(jì)燃燒的燃料質(zhì)量．〔1〕試通過(guò)計(jì)算證明按上述方案能使飛行器飛出太陽(yáng)系．〔2〕設(shè)在上述方案中，飛行器從發(fā)動(dòng)機(jī)取得的能量為E1．如果不采取上述方案而令飛行器在圓軌道上突然點(diǎn)燃噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)，經(jīng)過(guò)極短時(shí)間后立即關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，以使飛行器獲得足夠的速度沿圓軌道切線方向離開(kāi)圓軌道后能直接飛出太陽(yáng)系．采用這種方法時(shí)飛行器從發(fā)動(dòng)機(jī)取得的能量的最小值用E2表示．問(wèn)為多少？分析和解：(1)設(shè)太陽(yáng)的質(zhì)量為M0，飛行器的質(zhì)量為m，飛行器繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R。根據(jù)所設(shè)計(jì)的方案，可知飛行器是從其原來(lái)的圓軌道上某處出發(fā)，沿著半個(gè)橢圓軌道到達(dá)小行星軌道上的．該橢圓既與飛行器原來(lái)的圓軌道相切，又與小行星的圓軌道相切．要使飛行器沿此橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，應(yīng)點(diǎn)燃發(fā)動(dòng)機(jī)使飛行器的速度在極短時(shí)間內(nèi)，由變?yōu)槟骋恢祏0．設(shè)飛行器沿橢圓軌道到達(dá)小行星軌道時(shí)的速度為u,因?yàn)榇笮閡0和u的這兩個(gè)速度的方向都與橢圓的長(zhǎng)軸垂直，由開(kāi)普勒第二定律可得u0R=6Ur〔1〕由能量關(guān)系，有〔2〕由萬(wàn)有引力定律，有，或〔3〕解〔1〕〔2〕〔3〕三式得〔4〕，〔5〕設(shè)小行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的速度為V，小行星的質(zhì)量為M，由萬(wàn)有引力定律，得〔6〕可以看出V>u〔7〕由此可見(jiàn)，只要選擇好飛行器在圓軌道上適宜的位置離開(kāi)圓軌道，使得它到達(dá)小行星軌道處時(shí)，小行星的前緣也正好運(yùn)動(dòng)到該處，那么飛行器就能被小行星撞擊。可以把小行星看作是相對(duì)靜止的，飛行器以相對(duì)速度射向小行星，由于小行星的的質(zhì)量比飛行器的質(zhì)量大得多，碰撞后，飛行器以同樣的速度彈回，即碰撞后，飛行器對(duì)小行星的速度的大小為，方向與小行星的速度的方向相同，故飛行器相對(duì)太陽(yáng)的速度為或?qū)ⅰ?〕〔6〕式代入得〔8〕如果飛行器能從小行星的軌道上直接飛出太陽(yáng)系，它應(yīng)具有的最小速度為u2，那么有得〔9〕可以看出〔10〕飛行器被小行星撞擊后具有的速度足以保證它能飛出太陽(yáng)系．為使飛行器能進(jìn)人橢圓軌道，發(fā)動(dòng)機(jī)應(yīng)使飛行器的速度由增加到u0，飛行器從發(fā)動(dòng)機(jī)取得的能量〔11〕假設(shè)飛行器從其圓周軌道上直接飛出太陽(yáng)系，飛行器應(yīng)具有最小速度為u3，那么有由此得〔12〕飛行器的速度由增加到u3，應(yīng)從發(fā)動(dòng)機(jī)獲取的能量為〔13〕所以〔14〕類(lèi)型五、天體運(yùn)動(dòng)的宇宙速度問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是兩個(gè)問(wèn)題：一個(gè)是擺脫引力場(chǎng)所需要的能量的問(wèn)題；一個(gè)是能量的來(lái)源問(wèn)題。而能量要么來(lái)源于燃料，要么來(lái)源于碰撞。例7．經(jīng)過(guò)用天文望遠(yuǎn)鏡長(zhǎng)期觀測(cè)，人們?cè)谟钪嬷幸呀?jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)它們的研究，使我們對(duì)宇宙中物質(zhì)的存在形式和分布情況有了較深刻的認(rèn)識(shí)，雙星系統(tǒng)由兩個(gè)星體構(gòu)成，其中每個(gè)星體的線度都遠(yuǎn)小于兩星之間的距離，一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)作孤立系統(tǒng)處理，現(xiàn)根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測(cè)量確定，該星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量M，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)．〔1〕試計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T計(jì)算；〔2〕假設(shè)實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)觀測(cè)，,且T觀測(cè)∶T計(jì)算=1∶〔N＞l〕，為了解釋T觀測(cè)與T計(jì)算的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)不到的暗物質(zhì)，作為一種簡(jiǎn)化模型，我們假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均這種暗物質(zhì)，而不考慮其他暗物質(zhì)的影響，試根據(jù)這一模型和上述觀測(cè)結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度．解.〔1〕雙星均繞它們的連線的中點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)速度為，向心加速度滿淀下面的方程①②周期③(2〕根據(jù)觀測(cè)結(jié)果，星體的運(yùn)動(dòng)周期④這說(shuō)明雙星系統(tǒng)中受到的向心力大于本身的引力，故它一定還受到其他指向中心的作用力，按題意，這一作用來(lái)源于均勻分布的暗物質(zhì)，均勻分布在球體內(nèi)的暗物質(zhì)對(duì)雙星系統(tǒng)的作用與一質(zhì)量等于球內(nèi)暗物質(zhì)的總質(zhì)量M'、位于中點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)相同，考慮暗物質(zhì)作用后雙星的速度即為觀察到的速度，現(xiàn)有⑤⑥因?yàn)樵谲壍酪欢〞r(shí)，周期和速度成反比，由④式得⑦把②⑥式代入⑦式得⑧設(shè)所求暗物質(zhì)的密度為ρ，那么有故⑨三、小試身手1．質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星，繞半徑為r0的圓軌道飛行，地球質(zhì)量為M，試求〔1〕衛(wèi)星的總機(jī)械能．〔2〕假設(shè)衛(wèi)星受微弱摩擦阻力(常量)，那么將緩慢地沿一螺旋軌道接近地球，因很小，軌道半例徑變化非常緩慢，每周旋轉(zhuǎn)可近似按半徑為r的圓軌道處理，但r將逐周縮短，在r軌道上旋轉(zhuǎn)一周r的改變量Δr是多少．〔3〕在r軌道上旋轉(zhuǎn)一周衛(wèi)星動(dòng)能的改變量是多少．2．一個(gè)飛行器被發(fā)射到一個(gè)圍饒?zhí)?yáng)的橢圓軌道上，以地球軌道為近日點(diǎn)，而以火星軌道為遠(yuǎn)日點(diǎn)，如圖6—3所示，地球至太陽(yáng)的距離為R1，火星至太陽(yáng)的距離為R2．〔1〕求軌道方程的參數(shù)λ和ε值；〔2〕利用開(kāi)普勒第三定律計(jì)算沿此軌道到達(dá)火星軌道所需時(shí)間．3．地球m繞太陽(yáng)M〔固定〕作橢圓運(yùn)動(dòng)，軌道半長(zhǎng)軸為A，半短軸為B，如圖6一4所示，試求地球在橢圓各頂點(diǎn)1、2、3的運(yùn)動(dòng)速度的大小及其曲率半徑．4．要發(fā)射一顆人造地球衛(wèi)星，使它在半徑為r2的預(yù)定軌道上繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，為此先將衛(wèi)星發(fā)射到半徑為r1的近地暫行軌道上繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如圖6—5所示，在A點(diǎn)，實(shí)際使衛(wèi)星速度增加，從而使衛(wèi)星進(jìn)入一個(gè)橢圓的轉(zhuǎn)移軌道上，當(dāng)衛(wèi)星到達(dá)轉(zhuǎn)移軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)B時(shí)，再次改變衛(wèi)星速度，使它進(jìn)入預(yù)定軌道運(yùn)行，試求衛(wèi)星從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)所需的時(shí)間，設(shè)萬(wàn)有引力恒量為G，地球質(zhì)量為M．5．宇宙飛船在距火星外表H高度處作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，火星半徑為R，今設(shè)飛船在極短時(shí)間內(nèi)向外側(cè)點(diǎn)噴氣，使飛船獲得一徑向速度，其大小為原速度的倍，因量很小，所以飛船新軌道不會(huì)與火星外表交會(huì)．如圖6一6，飛船噴氣質(zhì)量可忽略不計(jì)．〔1〕試求飛船新軌道的近火星點(diǎn)的高度和遠(yuǎn)火星點(diǎn)高度，〔2〕設(shè)飛船原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度，試計(jì)算新軌道的運(yùn)行周期T.6．質(zhì)量為m的登月器連接在質(zhì)量為M〔=2m〕的航天飛機(jī)上一起繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑是月球半徑Rm的3倍，某一時(shí)刻，將登月器相對(duì)航天飛機(jī)向運(yùn)動(dòng)反方向射出后，登月器仍沿原方向運(yùn)動(dòng)，并沿圖6一7所示的橢圓軌道登上月球外表，在月球外表逗留一段時(shí)間后，經(jīng)快速發(fā)動(dòng)沿原橢圓軌道回到脫離點(diǎn)與航天飛機(jī)實(shí)現(xiàn)對(duì)接，試求登月器在月球外表可逗留多長(zhǎng)時(shí)間？月球外表的重力加速度為gm=1.62m/s2，月球的半徑。7．從赤道上的C點(diǎn)發(fā)射洲際導(dǎo)彈，使之精確地?fù)糁斜睒O點(diǎn)N，要求發(fā)射所用的能量最少.假定地球是一質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體，R=6400km.質(zhì)量為m的物體在地球引力作用下作橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，其能量E與橢圓半長(zhǎng)軸a的關(guān)系為式中M為地球質(zhì)量，G為引力常量.〔1〕假定地球沒(méi)有自轉(zhuǎn)，求最小發(fā)射速度的大小和方向(用速度方向與從地心O到發(fā)射點(diǎn)C的連線之間的夾角表示).〔2〕假設(shè)考慮地球的自轉(zhuǎn)，那么最小發(fā)射速度的大小為多少？〔3〕試導(dǎo)出.參考解答1．解：〔1〕因人造地球衛(wèi)星沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)，那么，那么，那么衛(wèi)星的機(jī)械能為設(shè)衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)一周軌道半徑改變量為△r，那么對(duì)應(yīng)機(jī)械能改變量為，根據(jù)功能原理：W=ΔE，即，，負(fù)號(hào)表示軌道半徑減小。〔3〕衛(wèi)星動(dòng)能的改變量為：2．解：〔1〕在近日點(diǎn)處，橢圓軌道方程中的θ=0，即①在遠(yuǎn)日點(diǎn)處即②均①②式解得：，〔2〕根據(jù)開(kāi)普勒第三定律，〔常數(shù)〕地球繞太陽(yáng)的運(yùn)行周期T1〔=1年〕，設(shè)飛行器運(yùn)行的周期為T(mén)，那么即因此該飛行器沿此軌道運(yùn)行到火星軌道所需時(shí)間為。3．解：對(duì)頂點(diǎn)1、2，由機(jī)械能守恒定律有①根據(jù)開(kāi)普勒第二定律有②②式中由①②式解得由萬(wàn)有引力提供向心力得③④解得對(duì)頂點(diǎn)3，由機(jī)械能守恒得⑤將代入⑤得同樣可得4．解：以V表示衛(wèi)星的速度，當(dāng)衛(wèi)星在暫行軌道上經(jīng)過(guò)近地點(diǎn)A和遠(yuǎn)地點(diǎn)B時(shí)．V與r垂直，根據(jù)并普勒第二定律，有衛(wèi)星在暫行軌道上總機(jī)械能守恒，，解得，衛(wèi)星的面積速度為橢圓的面積為，其中，因此周期為從A到B點(diǎn)所需時(shí)間t為5．解：設(shè)火星和飛船的質(zhì)量分別為M和m，飛船沿橢圓軌道運(yùn)行時(shí)，飛船在最近點(diǎn)或最遠(yuǎn)點(diǎn)與火星中心的距離為r，飛船速度為．因飛船噴氣前繞圓軌道的面積速度為。等于噴氣后飛船繞橢圓軌道在P點(diǎn)的面積速度〔P點(diǎn)為圓和橢圓的交點(diǎn)〕，由開(kāi)普勒第二定律，后者又應(yīng)等于飛船在近、遠(yuǎn)火星點(diǎn)的面積速度，故，即由機(jī)械能守恒定律有飛船沿原圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，有式中，r=R＋h上述三個(gè)方程消去G、M、后可解得關(guān)于r的方程為上式有兩個(gè)解，大者為，小者為．，故近、遠(yuǎn)火星點(diǎn)距火星外表的高度為，(2)設(shè)橢圓軌道的半長(zhǎng)軸為，即飛船噴氣前繞圓軌道運(yùn)行的周期為，設(shè)飛船噴氣后，繞橢圓軌道運(yùn)行的周期為T(mén)，由開(kāi)普勒第三定律有故，即。6．解：設(shè)脫離前登月器與航天飛機(jī)一起繞月球運(yùn)動(dòng)的速度為V0，有，得其運(yùn)動(dòng)周期①式中Mm為月球的質(zhì)量，而月球外表的重力加速度，故因而①式中設(shè)登月器與航天飛機(jī)脫離后兩者的的速度分別為V1和V2，由動(dòng)量守恒可得②此后兩者沿不同的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，設(shè)登月器運(yùn)動(dòng)到月球外表時(shí)的速度為，那么由機(jī)械能守恒得③由開(kāi)普勒第二定律④由③④可得，⑤將⑤代入②得，⑥設(shè)航天飛機(jī)運(yùn)動(dòng)到離月球最遠(yuǎn)處與月球的距離為，速度為，同樣可得類(lèi)似于③④式的方程⑦⑧由⑦⑧式可解得故航天飛機(jī)運(yùn)動(dòng)軌道的半長(zhǎng)軸為⑨由題意知，登月器為能沿原軌道返回脫離點(diǎn)與航天飛機(jī)實(shí)現(xiàn)對(duì)接，那么它在月球上可逗留的時(shí)間應(yīng)是⑩式中與分別為航天飛機(jī)與登月器運(yùn)動(dòng)周期，由開(kāi)普勒第三定律，得，將兩式代入⑩式，得上式即為登月器在月球外表可逗留的時(shí)間，最短時(shí)間為11.5h.7．解：〔1〕這是一個(gè)大尺度運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)彈發(fā)射后，在地球引力作用下將沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng).如果導(dǎo)彈能打到N點(diǎn)，那么此橢圓一定位于過(guò)地心O、北極點(diǎn)N和赤道上的發(fā)射點(diǎn)C組成的平面(此平面是C點(diǎn)所在的子午面)內(nèi)，因此導(dǎo)彈的發(fā)射速度(初速度v)必須也在此平面內(nèi)，地心O是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，注意到橢圓上的C、N兩點(diǎn)到焦點(diǎn)O的距離相等，故所考察橢圓的長(zhǎng)軸是過(guò)O點(diǎn)垂直CN的直線，即圖上的直線AB，橢圓的另一焦點(diǎn)必在AB上.質(zhì)量為m的物體在質(zhì)量為M的地球的引力作用下作橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體和地球構(gòu)成的系統(tǒng)的能量E(無(wú)窮遠(yuǎn)作為引力勢(shì)能的零點(diǎn))與橢圓半長(zhǎng)軸a的關(guān)系為(1)要求發(fā)射的能量最