高考中數(shù)列和不等式證明的交叉

PAGEPAGE5用心愛心專心高考中數(shù)列和不等式證明的交叉數(shù)列和不等式是高考的兩大熱點也是難點，數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中一個重要的內(nèi)容，在高等數(shù)學(xué)也有很重要的地位，不等式是高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維能力的一個突出的內(nèi)容，它可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維中的很多方法，當(dāng)兩者結(jié)合在一起的時候，問題會變得非常的靈活。所以在復(fù)習(xí)時，我們在分別復(fù)習(xí)好兩類知識的同時，一定要注意它們的相互滲透和交叉，培養(yǎng)靈活的思維能力。數(shù)列和證明不等式的交叉，是這兩大塊知識的主要交叉點，它在數(shù)列的特殊情景下，巧妙的融合了不等式的證明，它所涉及的問題往往是靈活的應(yīng)用了數(shù)列和不等式的知識，把這兩者完美的結(jié)合在了一起。例1設(shè)和分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，且，，若，試比較和的大小。分析：這兩個通項大小的比較，它們的未知量比較多，比容易直接完成。因通過它們的項數(shù)把他們組合在一起。設(shè)的公差為，的公比為。顯然，因為，所以有，，即。。又因為，所以。若時，==。因為，，所以有：。若時，，，所以也有：。綜上所述，當(dāng)，且時，。在證明過程，對等比數(shù)列求和公式的逆用，是本題證明的一個轉(zhuǎn)折點，它避免了一些不必要的分類討論，時問題得以簡化。例2已知遞增的等比數(shù)列前三項之積為，且這三項分別減去，，后成等差數(shù)列，求證：。分析：要想證明這個不等式，首先要求出左邊的和式。根據(jù)題意，是等比數(shù)列，所以左邊的和式可以利用錯位相減法來求和。先確定這個等比數(shù)列。由可得，，所以。再設(shè)等比數(shù)列的公比為。則根據(jù)條件可得：，解得，或（舍去）。所以，因此，。令=①，則②，由①-②得，，即，=例3在某兩個正數(shù)，之間，若插入一個數(shù)，使，，成等差數(shù)列；若另插入兩個數(shù)，，使，，，成等比數(shù)列，求證：分析：不等式左邊有字母，右邊有不同字母、，要比較兩邊的大小，必須尋找、、三者之間的聯(lián)系，利用數(shù)列的關(guān)系可得：，，。為計算方便，我們再令，，則，，，那么，==，得。例4設(shè)，且，求證：對一切自然數(shù)，都有。分析：因為，所以，由已知，所以有，，即。又因為，則有，，所以。在上式中取，得個不等式，把它們相加得，，于是，要證明成立，只要證明該數(shù)列是一個遞增的數(shù)列，且即可。(1)由可知，，，所以，即數(shù)列是一個單調(diào)遞增的數(shù)列，那么。(2)由(1)可知，數(shù)列各項都為正。則=≤==，所以.例10已知數(shù)列中，對一切自然數(shù)，都有且。求證：(1)；(2)若表示數(shù)列的前項之和，則。分析：從題目的結(jié)構(gòu)可以看出，條件是解決問題的關(guān)鍵，必須從中找出和的關(guān)系。(1)由已知，可得，又因為，所以有，,因此，即。(2)由結(jié)論(1)可知，，即，于是有，，即。從上面的一系列問題中，我們可以看出，數(shù)列和不等式證明是緊密相連互相