2023-2024學年高中數(shù)學人教A版選擇性必修第二冊第4章數(shù)列4.2等差數(shù)列4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式第2課時等差數(shù)列前n項和習題課課件

4.2等差數(shù)列4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式第2課時等差數(shù)列前n項和習題課1．會利用數(shù)列的前n項和Sn求數(shù)列的通項公式an.2．會使用裂項法求數(shù)列的前n項和．1．構造等差數(shù)列求和模型，解決實際問題．(數(shù)學建模、數(shù)學運算)2．能夠利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)性質求其前n項和的最值．(數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算)3．理解并應用等差數(shù)列前n項和的性質．(邏輯推理、數(shù)學運算)由Sn求an及裂項法求Sn

知識點

1．已知數(shù)列的前n項和Sn，若a1適合an，則通項公式an＝_________，若a1不適合an，則_______________________Sn－Sn－1練一練：已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，若p＋q＝5(p，q∈N*)，則ap＋aq＝(

)A．7 B．8C．9 D．10[解析]

當n＝1時，a1＝S1＝12＝1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.a1＝1也滿足an＝2n－1，故對任意的n∈N*，an＝2n－1，因此，ap＋aq＝2(p＋q)－2＝2×5－2＝8.故選B.B

(1)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－1，則a4＝(

)A．7

B．8

C．9

D．17題型探究題型一已知數(shù)列的前n項和Sn求通項an典例1A(3)因為an＋2Sn·Sn－1＝0，所以an＝－2Sn·Sn－1.[規(guī)律方法]

1.由Sn求通項公式an的步驟第一步：令n＝1，則a1＝S1，求得a1；第二步：令n≥2，則an＝Sn－Sn－1；第三步：驗證a1與an的關系：(1)若a1適合an，則an＝Sn－Sn－1.2．Sn與an的關系式的應用(1)“和”變“項”．首先根據(jù)題目條件，得到新式(與條件相鄰)，然后作差將“和”轉化為“項”之間的關系，最后求通項公式．(2)“項”變“和”．首先將an轉化為Sn－Sn－1，得到Sn與Sn－1的關系式，然后求Sn.對點訓練?C所以a1＋a2＋…＋an＝(2n－1)n，即a1＋a2＋…＋an－1＝(2n－3)(n－1)(n≥2)，當n≥2時an＝(2n－1)n－(2n－3)(n－1)＝4n－3，又因為a1＝1，滿足上式，所以an＝4n－3.故選C．題型二裂項求和[分析]

首先化簡{an}的通項公式，求出bn后再利用裂項相消法求出數(shù)列{bn}的前n項和．典例2對點訓練?C題型三求數(shù)列{|an|}的前n項和

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝33n－n2.(1)求證：{an}是等差數(shù)列；(2)問{an}的前多少項和最大；

(3)設bn＝|an|，求數(shù)列{bn}的前n項和S′n.典例3[解析]

(1)證明：當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又當n＝1時，a1＝S1＝32＝34－2×1，滿足an＝34－2n.故{an}的通項為an＝34－2n.所以an＋1－an＝34－2(n＋1)－(34－2n)＝－2.故數(shù)列{an}是以32為首項，－2為公差的等差數(shù)列．(2)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17.故數(shù)列{an}的前17項均大于或等于零．又a17＝0，故數(shù)列{an}的前16項或前17項的和最大．(3)由(2)知，當n≤17時，an≥0；當n≥18時，an<0.所以當n≤17時，S′n＝b1＋b2＋…＋bn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.當n≥18時，S′n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn＝n2－33n＋544.[規(guī)律方法]

等差數(shù)列的各項取絕對值后組成數(shù)列{|an|}．若原等差數(shù)列{an}中既有正項，也有負項，則{|an|}不再是等差數(shù)列，求和關鍵是找到數(shù)列{an}的正負項分界點處的n值，再分段求和．

在等差數(shù)列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求數(shù)列{|an|}的前n項和．對點訓練?題型四應用問題

用分期付款的方式購買一件家用電器，價格為1150元，購買當天先付150元，以后每月這一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率為1%，若交付150元后的第一個月算分期付款的第一個月，問分期付款的第十個月應交付多少錢？全部貨款付清后，買這件家電實際花了多少錢？典例4[解析]

購買時付了150元，欠款1000元，每月付50元，分20次付完．設每月付款的金額順次組成數(shù)列{an}，則a1＝50＋1000×0.01＝60(元)．a(chǎn)2＝50＋(1000－50)×0.01＝(60－0.5)(元)．a(chǎn)3＝50＋(1000－50×2)×0.01＝(60－0.5×2)(元)．依此類推，得a10＝60－0.5×9＝55.5(元)．a(chǎn)n＝60－0.5(n－1)(1≤n≤20)．∴付款數(shù){an}組成等差數(shù)列，公差d＝－0.5，全部貨款付清后的付款總數(shù)為＝(2a1＋19d)×10＋150＝(2×60－19×0.5)×10＋150＝1255(元)．所以第十個月應交付55.5元，買這件家電實際花了1255元．[規(guī)律方法]

一個實際問題可建立等差數(shù)列的模型的必要條件是：是離散型的變量問題，且變量的相鄰兩個值的差是一個常數(shù)．

在我國古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關的設計．例如，北京天壇圜丘的地面由扇環(huán)形的石板鋪成(如右圖)，最高一層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈．請問：(1)第9圈共有多少塊石板？(2)這9圈一