2022年河南省鄭州市高考理科數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2022年河南省鄭州市高考理科數(shù)學(xué)一模試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)

條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)

號(hào)涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無(wú)效。

3、非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在

試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。

一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合4={XM-9X-22W0},8={小=3",?eN},則ACB=()

A.{9}B.{I,3}C.{3,9}D.{1,3,9)

2.若(z-1)i=i-2,則z=()

A.2+2iB.2-2/C.2iD.-2i

3.已知點(diǎn)A(-I,2),B(1,0),C(I,-2),D(4,2),則向量n與夾角的余弦值

V2

'-To

4.將函數(shù)/(x)=sin(2x+今+2sin2(x+卷)的圖象向左平移<p(<p>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到

5.已知f(x+1)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，當(dāng)尤［-1,1)時(shí)，/(%)=

(—2x2+4,-1<x<0.io

j.>則/'(3),f(-=()

ksinnx,0<x<l

A.V3B.—\/3

6.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=CA=CB=5,AB=PC=2,點(diǎn)D,E分別為A8,

PC的中點(diǎn)，則異面直線尸力，BE所成角的余弦值為()

第1頁(yè)共26頁(yè)

p

c.一D.-

46

7.2021年1月18號(hào)，國(guó)家航天局探月與航天工程中心表示，中國(guó)首輛火星車全球征名活

動(dòng)已經(jīng)完成了初次評(píng)審.評(píng)審委員會(huì)遴選出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、風(fēng)

火輪、追夢(mèng)、天行、星火10個(gè)名稱，將其作為中國(guó)首輛火星車的命名范圍.某同學(xué)為了

研究這些初選名稱的涵義，計(jì)劃從中選3個(gè)名稱依次進(jìn)行分析，其中有1個(gè)是祝融，其

余2個(gè)從剩下的9個(gè)名稱中隨機(jī)選取，則祝融不是第3個(gè)被分析的情況有（）

A.144種B.336種C.672種D.1008種

8.下列說法正確的為（）

A.某高中為了解在校學(xué)生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層抽樣的方法從該

校三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為60的樣本.已知該校高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生數(shù)之

比為5：4：3,則應(yīng)從高三年級(jí)中抽取14名學(xué)生

B.10件產(chǎn)品中有8件正品，2件次品，若從這10件產(chǎn)品中任取2件，則恰好取到1件

次品的概率為:

C.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2,。2）,p（X<5）=0.86,則尸（XW-1）=0.14

D.設(shè)某校男生體重y（單位：依）與身高x（單位：c〃?）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組

樣本數(shù)據(jù)（xi,yi）（i=l,2,n）,用最小二乘法建立的回歸方程為y=0.85x-82,若

該校某男生的身高為170cm,則可斷定其體重為62.5依

9.已知3a=5b=V15,則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）

A.a+h=2ahB.ab>1

C.10g26/+10g2Z?>0D.（Q—+（b一V*

11

10.設(shè)數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為S〃，若Qn=1+4+—J，則（）

n(n+l)

第2頁(yè)共26頁(yè)

_?2+九+2

A.Q"—n(n+l)

n2+n—1

B.

sn=n+1

C.anw|

D.滿足SW2021的〃的最大值為2021

1i1-一

11.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足-/(%)+/(%)>0,且有/'(1)=5,貝1」2/(%)>?丁的

2，

解集為()

A.(-8,2)B.(1,+8)C.(-8,1)D.(2,+8)

12.我國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中對(duì)同余問題有了較深的研究.設(shè)a,b,m為正

整數(shù)，若“和人被根除得的余數(shù)相同，則稱a和人對(duì)模相同余，記為a三人(，"。而?).下

列說法正確的是()

A.若I。-2b\=km,keN*,則a=b(modm)

B.227三65(mod7)

C.若a三(m+2)(modm)>h=(m+3)Cmodm'),m>6,則三(m+5)(modm)

D.若a三b(modm),“eN*,則?！叭齜"

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.拋物線y=-67的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

7FV2sin(a-^)

14.已知a為第四象限角，且cosa=普，則--——十=_____.

》cos^a-sin￡a

x2y21

15.已知雙曲線C--T-=1(6/>0,b>0),過左焦點(diǎn)尸且斜率為一的直線交C的一條

a2b24

漸近線于點(diǎn)A,且A在第一象限，若|。4|=|0月(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，則C的漸近線方程

為.

16.如圖所示的四邊形ABCZ)是邊長(zhǎng)為夜的正方形，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,將△8D4

沿BD折起到△BD4'的位置，使平面4'BO_L平面BCD給出以下5個(gè)結(jié)論：

①4'CLBD-,

②l\NBC和△4'CD都是等邊三角形；

③平面A'8CJ_平面A'CD；

?VA,BCD=

⑤三棱錐4'-BCO表面的四個(gè)三角形中，面積最大的是△/!'8c和△4'CD.

第3頁(yè)共26頁(yè)

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共60

分.

17.(12分)在△A2C中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,已知百6?晶=2ShABC,

Z?+c=8.

(1)求角A的大??；

(2)求。的最小值.

第4頁(yè)共26頁(yè)

18.(12分)如圖，某市有南、北兩條城市主干道，在出行高峰期，北干道有Ni,N2,N3,

1

M四個(gè)交通易堵塞路段，它們被堵塞的概率都是南干道有Si,S2兩個(gè)交通易堵塞路

段，它們被堵塞的概率分別為‘，某人在高峰期駕車從城西開往城東，假設(shè)以上各路

段是否被堵塞互不影響.

(1)求北干道的M,N2,N3,刖四個(gè)易堵塞路段至少有一個(gè)被堵塞的概率；

(2)若南干道被堵塞路段的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)若按照“平均被堵塞路段少的路線是較好的高峰期出行路線”的標(biāo)準(zhǔn)，則從城西開

往城東較好的高峰期出行路線是哪一條？請(qǐng)說明理由.

城西匕兇~7?敢*—二^^F

第5頁(yè)共26頁(yè)

19.(12分)如圖所示的四棱錐尸-ABC。的底面A8C。是一個(gè)等腰梯形，AD//BC,且A。

=2AB=2BC=4,P0是△以￡)的中線，點(diǎn)E是棱P。的中點(diǎn).

(1)證明：CE〃平面布B.

(2)若平面外￡>!_平面ABC。，且布=PE>,PO=AO,求平面%B與平面PC。所成銳

二面角的余弦值.

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v213

20.(12分)已知橢圓E：—7+77=1(a>b>0)的離心率為一，且橢圓E經(jīng)過點(diǎn)(1,一),

a2b222

過左焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB和CD.

(1)求橢圓E的方程；

(2)當(dāng)四邊形AC2。的面積取得最小值時(shí)，求弦A8所在直線的方程.

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21.(12分)已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex+x.

(1)判斷了(x)的單調(diào)性：

(2)當(dāng)xG[O,+8)時(shí)，f(x)》(x+1)In(x+1)-or2-1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值

范圍.

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（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為1:+與G為參數(shù)）.以坐標(biāo)原

/1-c

點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為PCOS0-psine

-4=0.

（1）求C和/的直角坐標(biāo)方程；

（2）若P為曲線C上任意一點(diǎn)，直線，與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A,B,求面積

的最大值.

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［選修4?5：不等式選講］

23.已知函數(shù)/(x)=|x+2|-\ax-2|.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求不等式f(x)>2的解集；

(2)當(dāng)屆(0,2)時(shí)，/(x)>x,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

第10頁(yè)共26頁(yè)

2022年河南省鄭州市高考理科數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合A={M?-9x-22<0},8={小=3〃,nGN},則AA8=()

A.{9}B.{1,3}C.{3,9}D.{1,3,9}

解：集合A={x|?-9x-22W0}={x\-2WxW11},

n

B={x\x=3fHGN}={1,3,9,27,?},

：.AQB={\t3,9}.

故選：D.

2.若(z-1)i=i-2,則2=()

A.2+2iB.2-2iC.2iD.-2i

解：V(z-1)i=i-2,

?z—1=-：-=l+2i.

??z=1+2i+1=2+2i.

故選：A.

3.己知點(diǎn)A(-1,2),B(1,0),C(1,-2),D(4,2),則向量48與CD夾角的余弦值

為（）

A7瓶7V2V2

A?一RB.——C-D,

10-w10

解：???點(diǎn)A(-1,2)、B(1,0)、C(1,-2)、D(4,2),

：.AB(2,-2),CD=(3,4),

則向量而與晶夾角余弦值為?ABCD6—8V2

\AB\\CD\2^X510,

故選：c.

4,將函數(shù)/（%）=s譏（2、+/）+2sin2（%+看）的圖象向左平移<p（（p>0）個(gè)單位長(zhǎng)度,得到

函數(shù)g（x）的圖象，其圖象關(guān)于直線、=表對(duì)稱，則平的最小值為（）

7T71n71

A.-B.-C.一D.-

4386

第11頁(yè)共26頁(yè)

解：/(%)=sin(2x+今+2sin2(x+看)=sin(2x+)—cos(2x+芻+1=y/2sin(2x+—

4)+1=V2sin(2x++1,

函數(shù)/(x)的圖象向左平移<p個(gè)單位長(zhǎng)度，得到g(x)=近5出(2%+2口+金)+1,

當(dāng)工=今時(shí)，/(莉)=x令+2@+今)=土魚，

即2X-^2+2①+=k7i+

整理得2@="+1(依Z),

71

所以當(dāng)攵=0時(shí)，(p的最小值為廣

8

故選：C.

5.已知f（x+1）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，當(dāng)x€[-1,1）時(shí)，/（%）=

-2x2+4,-1<x<0則/⑶?/（-￥）=（

sinnx,0<x<l

A.V3B.—V3_V3

解：?.了（x+1）是定義在R上且周期為2的函數(shù),

—2x2+4,-1<x<0

當(dāng)x€[-1,1)時(shí)，/(x)=

sinnx,0<%<1

則/（3）?/（一學(xué)）可（--（-2+4）Xsin—=2x^=V3,

J331

故選：A.

6.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=CA=CB=S,AB=PC=2,點(diǎn)。，￡分別為AB,

PC的中點(diǎn)，則異面直線尸Q,BE所成角的余弦值為（）

第12頁(yè)共26頁(yè)

解：在三棱錐P-ABC中，PA=PB=CA=CB=5,AB=PC=2,點(diǎn)、D,E分別為A8,

PC的中點(diǎn)，

取CD中點(diǎn)尸，連接EF,則痔〃PC,且EF=*PD=.,52—M=后,

.?.NEFC是異面直線PD,BE所成角（或所成角的補(bǔ)角），

BE=V52-M=276,BF=JBD?+鄉(xiāng)2=J1+（%-與2=近,

222

.,Dr,r,EF+BE-BF6+24-723

..cos/BEF-2XEFXBE=2xRx2R=3'

23

則異面直線PD,BE所成角的余弦值為丁.

24

故選：A.

7.2021年1月18號(hào)，國(guó)家航天局探月與航天工程中心表示，中國(guó)首輛火星車全球征名活

動(dòng)已經(jīng)完成了初次評(píng)審.評(píng)審委員會(huì)遴選出弘毅、飄麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、風(fēng)

火輪、追夢(mèng)、天行、星火10個(gè)名稱，將其作為中國(guó)首輛火星車的命名范圍.某同學(xué)為了

研究這些初選名稱的涵義，計(jì)劃從中選3個(gè)名稱依次進(jìn)行分析，其中有1個(gè)是祝融，其

余2個(gè)從剩下的9個(gè)名稱中隨機(jī)選取，則祝融不是第3個(gè)被分析的情況有（）

A.144種B.336種C.672種D.1008種

解：其余2個(gè)從剩下的9個(gè)名稱中隨機(jī)選取，共有C；=36種，

則祝融不是第3個(gè)被分析的情況有36XC之花=144種，

故選：A.

8.下列說法正確的為（）

A.某高中為了解在校學(xué)生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層抽樣的方法從該

校三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為60的樣本.已知該校高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生數(shù)之

比為5：4：3,則應(yīng)從高三年級(jí)中抽取14名學(xué)生

第13頁(yè)共26頁(yè)

B.10件產(chǎn)品中有8件正品，2件次品，若從這10件產(chǎn)品中任取2件，則恰好取到1件

次品的概率為:

C.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,。2),p(x<5)=0.86,則P(XW-l)=0.14

D.設(shè)某校男生體重y(單位：&g)與身高x(單位：c”)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組

樣本數(shù)據(jù)(普，y)(z=l,2,〃)，用最小二乘法建立的回歸方程為y=0.85x-82,若

該校某男生的身高為176cm,則可斷定其體重為62.5依

解：對(duì)于A：已知該校高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生之比為5：4：3,則設(shè)高一，高二，高

三的人數(shù)為5x,4x,3x,

所以5x+4x+3x=60,解得尤=5,

高二中抽取的人數(shù)為20,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8：10件產(chǎn)品中有8件正品，2件次品，若從這10件產(chǎn)品中任取2件，則恰好取到

1件次品的概率為「=翠=弗，故3錯(cuò)誤；

Go

對(duì)于C隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,。2),P(X<5)=0.86,尸(XW-1)=1-P

(X<5)=0.14,故P(XW-l)=0.14.故C正確；

對(duì)于D：回歸方程為y=0.85x-82,若該學(xué)校某姓身高為170cm,則y=0.85X170-82

=62.5,但只能是估計(jì)其體重為62.5依，不能斷定，故。錯(cuò)誤.

故選：C.

9.已知3。=5b=715,則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是()

A.a+b=2abB.ab>l

C.Iog2〃+log2b>0D.(Q—+(b—*)2V*

b

解：,.,30=5=V15,log3y/15,b=log5y/lSf

1111

a+b=醞辰+福屈=’。9行3+1噌='。。代(3x5)=

l°^y/151S=2，

.*.—7—=2,.\a+b=2ab,故選項(xiàng)A正確，

ab

*/a+h=lab>2y[ab,ab>1,故選項(xiàng)8正確，

\*ab>l,AIog2a+log2i=log2(ab)>0,故選項(xiàng)C正確,

第14頁(yè)共26頁(yè)

11a

，+工=2,b=

ab

??.(a-畀+(b一孑…#+號(hào)產(chǎn)卜一護(hù)員,

當(dāng)且僅當(dāng)(a—2)2=—%即。=1時(shí)，等號(hào)成立，

又；“=/。93后>1，，等號(hào)取不到，

即缶一芥+的一扔》,故選項(xiàng)。錯(cuò)誤,

故選：D.

10.設(shè)數(shù)列｛“"｝的前〃項(xiàng)和為S",若an=Jl+^+^y)則()

2

An4-n+2

?61n~n(n+l)

_n2+n-l

B??一九+1

C.nn<

D.滿足S〃W2021的n的最大值為2021

解:.卜i—產(chǎn)嗡喘"5

錯(cuò)誤；

中在_九*+注+1_一1,11

因?yàn)椤?=而而=1+而5=1+/一在I'

所以S,f+T+；V+…+>+=〃+1—焉；=〃+舟=彳譽(yù)，B錯(cuò)誤;

_1I1、一1

“"=l+n(n+l)>1+(n+l)(n+2)'

所以a〃>a〃+1,即數(shù)列｛?〃｝單調(diào)遞減,

2

所以a〃Wai=]C正確;

因?yàn)椤ā?gt;0,

所以數(shù)列｛5｝單調(diào)遞增，且S2020V2021,S202i>2021,

所以滿足品W2021的n的最大值為2020,D錯(cuò)誤.

故選：C.

11IT

11.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足；f(%)+/'。)>0,且有〃1)=:則2f(x)〉eT的

2/

第15頁(yè)共26頁(yè)

解集為()

A.(-8,2)B.(1,+8)c.(-°°,1)D.(2,+°°)

解：設(shè)尸(x)=/(x)-et則

X1XX1

F(x)=f(x),+5/(%)?+/(%)]>0,

/2

所以尸(x)在R上單調(diào)遞增，

11I1

又因?yàn)?1,所以尸(1)=/(1)-e2=ie2.

l—xX11

又因?yàn)?/(%)>e*丁等價(jià)于/a)?e2>*e2,即尸G)>F(1),

所以x>l,即所求不等式的解集為(1,+8).

故選：B.

12.我國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中對(duì)同余問題有了較深的研究.設(shè)〃，兒團(tuán)為正

整數(shù)，若。和。被機(jī)除得的余數(shù)相同，則稱。和b對(duì)模團(tuán)同余，記為a三b(modm).下

列說法正確的是()

A.若|〃-2"=6，&EN*,則a三〃(modm)

B.227三656nod7)

C.若。三(ni+2)(modm),b=(m+3)(modm),〃?>6,貝(Jab三(m+5)(modm)

D.若a三b(tnodm),,則。"三夕(modm)

解：對(duì)于4,若-2/?|=k〃z,則a=k%+2b或2/?=&加+小故a三2b(modm),故選項(xiàng)A

錯(cuò)誤；

對(duì)于8,因?yàn)?27=89=(7+1)9=c/9+c/8++C/+L

所以227被7除得的余數(shù)為1,65被7除得的余數(shù)為2,故選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由4三(n?+2)(modm),可得〃=癡+2,

由b三(相+3)(modm),可得b=〃〃+3,

所以以=(km+2)Ctm+3)=卜府+(3%+2f)m+6，

加被切除得的余數(shù)為6,而加+5被根除得的余數(shù)為5,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于￡),若a三b(modm),則〃=k%+r,b=hn+r,

an=(km+r)〃=(km),7+C^(/cm)n-1r4-C^(/cm)n-2r2+...+/7\

btl=(〃％+「)”=(tm)"+C，(￡m)n-ir+髭(tm)71-2r2++7,

所以an=bn(modm),nEN*,故選項(xiàng)D正確.

第16頁(yè)共26頁(yè)

故選：D.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.拋物線y=-67的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-［）.

解：；拋物線y=-67,即/=一前，

.1Pl

.片運(yùn)’廣彳

故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,—去），

故答案為：（0,一克）.

/FV2sin（a-7）一

14.已知a為第四象限角，且cosa=*,則一:——十=煙.

5cosza-sinza——

解：因?yàn)閍為第四象限角，且cosa=爭(zhēng)，

所以sina=—Vl—cos2a——今工

又cos2a-sin2a=（cosa-sina）（cosa+sina）,

可得V^sin(a—J)=sina-cosa,

V2sin(a-^)

]

所以?=Vs.

cos2a-sin2asina+cosa

故答案為：V5.

yz1

15.已知雙曲線C--77=1（。>0,Z?>0）,過左焦點(diǎn)尸且斜率為一的直線交C的一條

a2b24

漸近線于點(diǎn)4且A在第一象限，若［0川=|。用（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），則C的漸近線方程為y

8

=土—x.

-------15—

解：由題意可得直線AF的方程為）=/（x+c）,

雙曲線C過第一、三象限的漸近線的方程為

聯(lián)立兩直線方程得，A（4^-,豐-）,

4b-a4b-a

9

：\OA\=\OF\=cf

（舟2+（舟2=。2,整理可得156=8“,即!="，

O

雙曲線C的漸近線方程為）'=±1》.

第17頁(yè)共26頁(yè)

8

故答案為：y=±—

16.如圖所示的四邊形ABCQ是邊長(zhǎng)為迎的正方形，對(duì)角線AC,相交于點(diǎn)。，將△8D4

沿8。折起到△8D4'的位置，使平面A'BCD.給出以下5個(gè)結(jié)論：

①4，CLBD；

②△?!'BC和△?!'C。都是等邊三角形；

③平面A'BC_L平面A'CD；

]

?VA'-BCD=O：

⑤三棱錐A'-88表面的四個(gè)三角形中，面積最大的是△△'BC和aA'CD.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②④⑤.

解：對(duì)于①，???四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為魚的正方形，對(duì)角線AC,BO相交于點(diǎn)0,

將△BD4沿折起到△8D4'的位置，使平面A'平面BCQ,

.?.A'OLBD,C0VBD,

；A'OCICO=O,二？"平面A'OC,

'：A'Cu平面A'OC,/.AzCA.BD,故①正確；

對(duì)于②，"：0A'=0C,平面A'BQ_L平面8CQ,...A'C=&,

B=BC=A'C=CD=A'V2,

.?.△4'8c和AA'8都是等邊三角形，故②正確;

對(duì)于③，取4'C的中點(diǎn)E,連接BE、DE,

則BE_LA'C,DE±A'C,/BED是平面A'BC和平面A'0c所成二面角的平面角,

;BE=DE=J（或/一（易2=坐，BD=V2T2=2,

11

：.cosZBED='.管-4NBED=7T—arccos-^,

2x華x華一寸

...平面4'BC與平面A'C。不垂直，故③錯(cuò)誤;

[111

對(duì)于④，VA1-BCD=2XA。XS&BCD=WX1X[XV^XV^=W，故④正確;

第18頁(yè)共26頁(yè)

對(duì)于⑤，三棱錐A'-BCQ表面的四個(gè)三角形中,

]

SM'BD=S^BCD=2xV2xV2=1,

SAA,BC=SAA,CD=2xV2xV2xsm600=號(hào)，

?,?面積最大的是△4'3C和4A'CD,故⑤正確.

故答案為：①②④⑤.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共60

分.

17.(12分)在△A8C中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為小兒c,已知遍6?晶=2s.，

人+c=8.

(1)求角A的大??；

(2)求a的最小值.

解：(1)因?yàn)?AC=2s>ABC，所以遮AcosA=2x?心inA,

整理得sinA=V3cosA,所以tarb4=V3,

又AE(0,n),所以A=手

7T

(2)因?yàn)閠/2=/r+c2-2/?ccos—,/?+c=8,

3

所以d=(b+c)2-2bc-bc=M-3bc,

匕+c

故〃2264-3X(---)2=16,即

2

當(dāng)且僅當(dāng)b=c=4時(shí)，等號(hào)成立，所以。的最小值為4.

18.(12分)如圖，某市有南、北兩條城市主干道，在出行高峰期，北干道有M,N2,N3,

1

N4四個(gè)交通易堵塞路段，它們被堵塞的概率都是南干道有Si,S2兩個(gè)交通易堵塞路

段，它們被堵塞的概率分別為:，某人在高峰期駕車從城西開往城東，假設(shè)以上各路

23

段是否被堵塞互不影響.

第19頁(yè)共26頁(yè)

(1)求北干道的M,M,M,M四個(gè)易堵塞路段至少有一個(gè)被堵塞的概率；

(2)若南干道被堵塞路段的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)若按照“平均被堵塞路段少的路線是較好的高峰期出行路線”的標(biāo)準(zhǔn)，則從城西開

往城東較好的高峰期出行路線是哪一條？請(qǐng)說明理由.

城西匕M~^N2N：［~~NA二

解：(1)記北干道的M,N2,N3,M四個(gè)易堵塞路段至少有一個(gè)被堵塞為事件A,

則尸⑷=1-(T)，-盥=券

(2)由題意可知X的可能取值為0,1,2,

p(x=o)=(1-14)x(1一?糕)=1(

Z3b

12121

P(X=1)=,x(1—可)+(1—訝)x可=a，

P(X=2)=J1x2|=1,

X012

P111

623

隨機(jī)變量X的分布列為E(X)=0x1+lx1+2xi=

OZJo

(3)設(shè)北干道被塞路段的個(gè)數(shù)為Y,則丫?B(4,I),

14

所以E(y)=4x；=*

因?yàn)镋(X)<E(H,所以高峰期選擇南干道路線較好.

19.(12分)如圖所示的四棱錐P-A8C。的底面ABC。是一個(gè)等腰梯形，4D〃BC,且A。

=2AB=2BC=4,P。是△出。的中線，點(diǎn)E是棱P。的中點(diǎn).

(1)證明：CE〃平面PAB.

(2)若平面以。，平面ABCZ),且以=尸￡>,P0=40,求平面MB與平面PC。所成銳

二面角的余弦值.

第20頁(yè)共26頁(yè)

p

因?yàn)镺,E分別是棱A￡>,尸。的中點(diǎn)，

又OEC平面PAB,

所以O(shè)E〃出，

所以O(shè)E〃平面PAB,

又A￡>〃BC,且AO=2AB=2BC=4,

所以AO〃BC,且AO=BC,

所以ABC。是平行四邊形，

所以CO〃AB,從而CO〃平面B4B,

又COHOE=O,

所以平面OCE〃平面PAB,

又CEu平面OCE,

所以CE〃平面PAB.

(2)因?yàn)橐?尸力，所以PO_LAO,又平面以DJ_平面4BCZZ所以PO_L平面ABC。,

取8c的中點(diǎn)為M,連接OM,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM,0D,(^為》軸、y軸、z軸的正

方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

易知PO=AO=2,OM=V3,

所以A(0,-2,0),B(V3,-L0),C(V3,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),

AP=(0,2,2),AB=(V3,1,0),CD=(-V3,1,0),DP=(0,-2,2),

設(shè)平面以8的法向量為膽=(x,y,z),

則<t令z=V5,得,〃=(1,-V3,V3),

?AB=y/3x+y=0,

設(shè)平面PC。的法向量為〃=Gi,y\.zi),

第21頁(yè)共26頁(yè)

_.（n-CD=—V3%i4-Vi=0/.廠/-、

則＜一令xi=l,得〃=（1,V3,V3）,

（n-DP=-2yi+2zi=0,

設(shè)平面PAB與平面PCD所成的銳二面角為0,

則cosO=|cos<M7,”>|=i^K=:,即平面以8與平面PCD所成銳二面角的余弦值為巳.

13

20.（12分）已知橢圓E：二+==1（a>6>0）的離心率為一,且橢圓E經(jīng)過點(diǎn)（1,-）,

a2b222

過左焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB和CD.

（1）求橢圓E的方程；

（2）當(dāng)四邊形AC8O的面積取得最小值時(shí)，求弦AB所在直線的方程.

c119

解：（1）由已知得一=一，"=廿+。2,+=1,

a2a24b2

解得Q=2,b=V3/c=1,

x2y2

所以橢圓E的方程為7?+1.

43

（2）當(dāng)AB或CO中有一條直線垂直于x軸時(shí)，不妨設(shè)ABLx軸，

因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)尸的坐標(biāo)為（-1,0）,

所以直線AB的方程為尸-1,|AB|=3,|C￡）|=4,四邊形ACB。的面積S=>4x3=6.

當(dāng)AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其斜率為k（AW0）,

由（1）知尸（-1,0）,

所以直線AB的方程為），=Z（X+1）,

x22

與橢圓E的方程一+==1聯(lián)立并消去y得（3+4F）/+8FX+4F-12=0,

43

設(shè)A（xi,yi）,B（x2,y2）,則/+不二—-7/^x=——

3+亦23+4/c，

222

\AB\=V14-k\xr-x2\=V14-k-J。1+女下一地冷=V1+k?

第22頁(yè)共26頁(yè)

64k4_16k248_Jl+必2

J64k4_(16H-48)(3+4k2)=養(yǎng))=4-

yj(3+4k2)23+4/3+4fc2

4k2

3+4/'

同理直線CO的方程為丫=-i(x+1),

K

與橢圓E的方程三"+(~=1聯(lián)立并消去y得(3++px-12=0,

4

設(shè)C(X3,>3),D(X4，、4),同理可得\CD\=4----2--'

3/+4

114〃24

所以四邊形ACBD的面積S=^\AB\x\CD\=1(4-^^)(4——f—)=8(1-

3+4k3k+4

—)=8x?。.雞西=72X葉+2/產(chǎn)，

3+4d3d+43+4/3d+412j+25^+12

理+2t+l=72X1]

設(shè)(f>0),則S=72x72x

12t2+25t+1212+二一12+去

tz+2t+l

11

因?yàn)?>0,所以t+,>2,t+/+2>4,

所以12-I---7--<竽，

t+1+24

故S>72x^=翳，當(dāng)且僅當(dāng)t=",即f=l,4=±1時(shí)，四邊形ACBZ)的面積取得

最小值,

此時(shí)直線AB的方程為)，=±(x+1).

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=(%-1)ex+x.

(1)判斷f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x€[0,+°°)時(shí)，/(x)2(x+1)In(x+1)-ax2-1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值

范圍.

解：(1)因?yàn)?(X)=(X-1)F+X,

所以，(x)=xex+\,

令g(x)=xex+1,貝!lg'(x)=(1+x)

當(dāng)(-8,-i)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)尤(-1,+8)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以g(X)2g(-1)=1—；>0,

即/(x)>0,則f(x)在R上單調(diào)遞增，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.

第23頁(yè)共26頁(yè)

(2)f(x)2(x+1)In(x+1)-ax2-1等價(jià)于(x-1)e"-(x+1)In(x+l)+tzx2+x+l

20,

令〃(x)=(x-1)F-(x+1)In(x+1)+ov2+x+l,

則hf(x)=xex-In(x+1)+2以，

令(p(x)=xex-In(x+l)+2or,

則(p