2023年江蘇省名校聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷及答案解析

2023年江蘇省名校聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷

本試卷滿分150分。共22道題。考試用時(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)和考生號(hào)填

寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)

的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不

能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案;

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

4

1.(5分)已知，是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù);一的模為()

l+ι

A.√2B.2C.2√2D.4

2.(5分)已知全集U=R,集合Z={x∣∕g(x-2)<1},集合B={小2-2X-320},則/

U(CuB)=()

A.(2,12)B.(-1,3)C.(-1,12)D.(2,3)

3.（5分）以下函數(shù)既是偶函數(shù)又在（0,+8）上單調(diào)遞減的是（）

A.f（x）=x4B.f（x）=√x

C.f（x）=G）XD./（x）=log^x?

4.（5分）函數(shù)/（x）=2閔COSX在區(qū)間［-π,π］上的圖象可能是（）

5.（5分）已知數(shù)列｛斯｝是公差為d（d≠O）的等差數(shù)列，且a”“3,成等比數(shù)列，則T=

a

()

第1頁(yè)共25頁(yè)

A.4B.3C.2D.1

6.（5分）若已知sinθ-cosθ=?,那么sin3θ-COS3。的值為（）

√5111125

A.—B.—C.—yr5D.

272727v17

7.（5分）若G是4∕8C的重心，且A=入幾+靛（λ,μ為實(shí)數(shù)），貝以+μ=（）

245

A.-B.1C.-D.-

333

8.（5分）三棱錐尸-4BC中，平面必CJ_平面4SC,AB±ACfPA=PC=AC=I,AB=Af

則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（）

2364

A.23πB.—7ΓC.—?rD.64π

43

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）下列命題正確的是（）

A.命題FxoWR,XO2+%O+1^OM的否定是“Vx€R,x2+x+l<0"

B.設(shè)x,y∈R,貝IJ“x22且y22"是的必要不充分條件

C.方程/+（機(jī)-3）x+機(jī)=0有兩正實(shí)數(shù)根的充要條件是we｛"z∣0<機(jī)<1｝

D.?x∈（0,+o°）,In（x÷3）>sinx

Tt

10.（5分）將函數(shù)/（x）=sin2x的圖象向右平移I個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，則函

數(shù)g（x）具有性質(zhì)（）

A.在（0,給上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)

B.最大值為1,圖象關(guān)于直線X=-苧對(duì)稱

C.在（-咨，金上單調(diào)遞增，為奇函數(shù)

D.周期為n,圖象關(guān)于點(diǎn)（苧，0）對(duì)稱

11.（5分）設(shè)數(shù)列｛斯｝滿足O<αι0an+↑=an+lπ（2-an）對(duì)任意的“6N*恒成立，則下列

說法正確的是（）

1

A.-<a2<lB?｛斯｝是遞增數(shù)列

C.l<α2θ2θV?∣D.-<iz2020?l

12.（5分）已知正方體∕5CD-48ιCιO∣棱長(zhǎng)為2,如圖，/為C。上的動(dòng)點(diǎn)，ZM，平面

第2頁(yè)共25頁(yè)

ɑ.下面說法正確的是()

A.直線48與平面a所成角的正弦值范圍為［苧，苧］

B.點(diǎn)M與點(diǎn)。重合時(shí)，平面a截正方體所得的截面，其面積越大，周長(zhǎng)就越大

C.點(diǎn)M為CCI的中點(diǎn)時(shí)，若平面a經(jīng)過點(diǎn)B,則平面a截正方體所得截面圖形是等腰梯

形

D.已知N為。。I中點(diǎn)，當(dāng)/M+A/N的和最小時(shí)，M為CCl的中點(diǎn)

三.填空題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

13.(5分)已知函數(shù)/(x)^x2+ax+b(a,fc∈R)在［-1,1］上存在零點(diǎn),且對(duì)任意的色［3,

4］,0≤to+6≤3,則人的取值范圍為.

14.(5分)在直角坐標(biāo)系XQy中，已知Sl=(-1,/),OB=(2,2),若40/8是直角三

角形，則實(shí)數(shù)f的值為.

15.(5分)若正數(shù)X,y滿足中(x+2j)=16,則x+y的最小值為.

16.(5分)已知函數(shù)/(x)=2lnx,g(x)=ax2-χ-∣(a>0),若總存在直線與函數(shù)y=/

(x),y=g(x)圖象均相切，則a的取值范圍是.

四.解答題(共6小題)

17.在4/8C中，角A,B,C所對(duì)邊分別為，b,c,C=≡,6=4,Z?Z8C的面積為6.

q

(1)求C的值；

(2)求CoS(B-C)的值.

第3頁(yè)共25頁(yè)

18.已知公差不為O的等差數(shù)列｛0.｝滿足S7=49,且α∣,〃2,45成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛“”｝的通項(xiàng)公式；

(2)若b=—，求數(shù)列｛為｝的前n項(xiàng)和T.

nα∏,?+ιn

第4頁(yè)共25頁(yè)

19.如圖，在四棱錐P-/8CD中，平面以。_1_平面/BC。，AB//CD,ZABC=90a,AB

=2,AD=√2,PA=PD=CD=CB=I,E總是線段尸B上的動(dòng)點(diǎn).

(I)當(dāng)E點(diǎn)在什么位置時(shí)，CE〃平面∕?D?證明你的結(jié)論.

(H)對(duì)于(I)中的點(diǎn)E,求/E與底面/88所成角的正弦值；

(III)求二面角4-PO-C的正弦值.

第5頁(yè)共25頁(yè)

20.已知函數(shù)/(x)=2sin(^+x)sin(π-X)-2cos2x+1.

(1)求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間及對(duì)稱軸方程；

(2)若06(0,J),且/⑻=務(wù)求tan(29-*)的值.

第6頁(yè)共25頁(yè)

21.已知數(shù)列｛<?｝的前〃項(xiàng)和是S”,且S”=知”-2,等差數(shù)列｛bQ中,?ι=20,63=16.

(1)求數(shù)列｛即｝和出”｝的通項(xiàng)公式；

(2)定義：α*6=f'a≤b.記Cn=“"%",求數(shù)列｛cn｝的前IO項(xiàng)的和T1O.

[b,a>b

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22.已知函數(shù)/(x)=?-x+alnx.

(I)求/(x)在(1,/(D)處的切線方程(用含。的式子表示)

(II)討論/(x)的單調(diào)性；

(III)若/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)Xi,X2,證明：‘"1)一"冷)〈a-2.

XLX2

第8頁(yè)共25頁(yè)

2023年江蘇省名校聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題(共8小題，滿分40分，每小題5分)

4

L(5分)已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)「的模為()

l+ι

A.√2B.2C.2√2D.4

【解答】解：∣?∣=∣?i=?=2√2.

故選：C.

2.(5分)已知全集U=K,集合∕={x∣∕g(χ-2)VI},集合8={X∣X2-2X-3?0},則/

U(CUB)=()

A.(2,12)B.(-1,3)C.(-1,12)D.(2,3)

【解答］解:A={x?lg(X-2)<1}={x∣0<x-2<10}={x∣2<x<12},

集合8=3》2-2》-3-0}=3:<:，3或;<<-1},

則CUB={x∣-lVχ<3},則ZU(CuS)={x∣-l<x<12}=(-1,12),

故選：C.

3.(5分)以下函數(shù)既是偶函數(shù)又在(0,+8)上單調(diào)遞減的是()

A.f(x)=dB.f(x)=√x

C-/(x)=(∣ΓD./(x)=,ogι∣x∣

【解答】解：對(duì)于4,函數(shù)在(0,+8)遞增，不合題意；

對(duì)于8,函數(shù)不是偶函數(shù)，不合題意；

對(duì)于C,函數(shù)不是偶函數(shù)，不合題意；

對(duì)于。，函數(shù)既是偶函數(shù)又在(O,+∞)上單調(diào)遞減，符合題意；

故選：D.

4.(5分)函數(shù)f(x)=2∣HCOSX在區(qū)間［-π,ιτ］上的圖象可能是()

第9頁(yè)共25頁(yè)

y

【解答】解：'：f(-x)=2∣'??os(-χ)=2?osx=∕(x),

.?.函數(shù)/(x)為偶函數(shù),排除選項(xiàng)A和B,

''f(π)=2四COSlr=-2π<0,，排除選項(xiàng)C,

第10頁(yè)共25頁(yè)

故選：D.

5.(5分)已知數(shù)列｛斯｝是公差為d(d≠O)的等差數(shù)列，且Ql,。3,。6成等比數(shù)列，則T

a

()

A.4B.3C.2

【解答】解：由數(shù)列｛斯｝是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，

且0,Q3，。6成等比數(shù)列得嗎=%?%，

2λ

即(Ql+2d)=α1(α1+5d).化為4d=a?d,

又dW0,解得與=4.

a

故選：A.

6.(5分)若已知sinθ-cosθ=尊，那么sin3θ-CoS3θ的值為(

【解答】解：因?yàn)閟inθ-cos。=卓所以SinaCOSa=5,

sin3α-cos3az=(sina-cosa)(sin2a+cos2a+sinacosa)=?

故選：C.

7.(5分)若G是4Z8C的重心，且啟=iU?+μ∕;(λ,以為實(shí)數(shù))，貝IJ入+卜=()

245

BC

一--

A.33D.3

【解答】解：若G是4/8C的重心,

如圖所示

根據(jù)中線向量，

TITIT

所以/W=∕B+54C,

T?T

由于4。=

T1→1→

所以4G=?,AB+ACr

即入=μ=^,

9

故人+入=亍

故選：A.

第11頁(yè)共25頁(yè)

8.（5分）三棱錐尸-力5。中，平面以CLL平面NBGABVAC,PA=PC=AC=2,48=4,

則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（）

2364

A.23πB.——71C.一πD.64π

43

【解答】解：根據(jù)題意，得到三棱錐P-48C的外接球的球心在等邊三角形RIC的中線

高線和過直角三角形/8C斜邊BC的中點(diǎn)的高的交點(diǎn)位置,

如圖所示:

三棱錐P-ABC中，平面均CJ_平面力8C,ABLAC,PA=PC=AC=2,AB=Af

所以PF=y∣22—I2=√3,EF=?,

在直角三角形力BC中，BC2=AB2+AC2,

解得：BC=Z瓜

所以CZ)=√5,

三棱錐的外接球半徑r=J(√5)2+(^)2=g,

貝US=4ττ■r2—

故選：C.

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二.多選題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

9.(5分)下列命題正確的是()

A.命題Λ3XO∈R.XO2+XO+1>OW的否定是1,VΛ-∈R,X2+X+?<0"

B.設(shè)X,j∈R,則"x22且y22”是“x2+產(chǎn)》4"的必要不充分條件

C.方程Λ2+(∕∏-3)x+w=0有兩正實(shí)數(shù)根的充要條件是"7∈{"i∣0<m≤1}

D.?x∈(0,+o0),In(x+3)>sinx

【解答】解：對(duì)于4,存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，

Fxo∈R,xo2+xo+l≥0,j的否定是u?x∈R,?+l<0,?故選項(xiàng)4正確；

對(duì)于8,“x22且y22"=“，+/24”不能推出“Q2且y22”,

例如〃=1,y=2,故。N2且歹N2”是ax2+y2^4ff的充分不必要條件，故選項(xiàng)5錯(cuò)誤;

'△=(m-3)2—4m≥0

對(duì)于C,由題意，得?3-zn>0,解得OVmW1,故選項(xiàng)C正確；

m>0

對(duì)于Q,當(dāng)x>0時(shí)，In(X+3)>ln3>lne=1,-IWsinxWl,

所以方(x+3)>sin?恒成立，故選項(xiàng)。正確.

故選：ACD.

Tt

10.(5分)將函數(shù)/(x)=sin2x的圖象向右平移1個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，則函

數(shù)g(x)具有性質(zhì)()

A.在(0,與上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)

B.最大值為1,圖象關(guān)于直線％=-苧對(duì)稱

C.在(-等，引上單調(diào)遞增，為奇函數(shù)

第13頁(yè)共25頁(yè)

D.周期為π,圖象關(guān)于點(diǎn)(詈，0)對(duì)稱

Tt

【解答】解：將函數(shù)/(x)=sin2x的圖象向右平移Z個(gè)單位后得到函數(shù)g(X)的圖象，

貝IJg(X)=sin2(x—午)=Sin(2x—?)="cos2x,

則函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，當(dāng)OVXV押，0V2x夸，此時(shí)g(x)為增函數(shù)，故/正確，

函數(shù)的最大值為1,當(dāng)X=-竽時(shí)，g(x)=-cos(-3π)=-cosn=l,為最大值,則

函數(shù)圖象關(guān)于直線X=-等對(duì)稱，故8正確，

函數(shù)為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤，

函數(shù)的周期7=華=兀，g(與)=-cos(半×2)=-CO號(hào)=0,即圖象關(guān)于點(diǎn)(竽，0)

對(duì)稱，故。正確

故正確的是ABD,

故選：ABD.

11.(5分)設(shè)數(shù)列｛斯｝滿足0<αιV4,如+1=劭+/〃(2-詼)對(duì)任意的〃6N*恒成立，則下列

說法正確的是()

A.?<az<?B.｛“”｝是遞增數(shù)列

C.?<02020<|D.<?2020<1

【解答】解：因?yàn)椤?+1=如+/〃(2-α,ι)且OVaIV3，設(shè)f(x)—x+ln(2-χ),則/(x)

=I-長(zhǎng)=爰，當(dāng)0Vχ<l時(shí)，/(x)>0,故/(x)在(0,1)上為單調(diào)遞增函數(shù),

即在(0,辦上為增函數(shù)，?∕(0)<∕(x)<∕(∣),所以Zn√^<Zn2<J+Zn∣<J+In^=

11

1,故5Vf(X)VI,即5<%V1(〃22),

所以g<Q2<l,??β2020<1*故選項(xiàng)/正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

由/G)在(0,1)上為單調(diào)遞增函數(shù)，?<αn<1(〃22),所以數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列，

故選項(xiàng)B正確；

11?1ill?

因?yàn)獒躒a2VL所以的=。2+伉(2—。2)>5+仇5>亍+/ne?=5+乏因此a2020>

第14頁(yè)共25頁(yè)

o3

。3〉五，故TVa2020V1，故選項(xiàng)。正確?

故選：ABD.

12.(5分)己知正方體∕5CZ)-∕∣8ιCιO∣棱長(zhǎng)為2,如圖，M為Cel上的動(dòng)點(diǎn)，4VTL平面

α.下面說法正確的是()

A,直線48與平面a所成角的正弦值范圍為［堂，辛］

B.點(diǎn)M與點(diǎn)Cl重合時(shí)，平面a截正方體所得的截面，其面積越大，周長(zhǎng)就越大

C.點(diǎn)區(qū)為CCl的中點(diǎn)時(shí)，若平面a經(jīng)過點(diǎn)8,則平面a截正方體所得截面圖形是等腰梯

D.已知N為。。1中點(diǎn)，當(dāng)4Λ∕+MN的和最小時(shí)，M為Cel的中點(diǎn)

【解答】解：對(duì)于/選項(xiàng)，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、。。所在直線分別為x、八Z

軸建立空間直角坐標(biāo)系D-χyz,

則點(diǎn)/(2,0,0)、B(2,2,0),

設(shè)點(diǎn)/(O,2,a)(OWaW2),?.7ΛΛL平面a,則薪為平面a的一個(gè)法向量，

—?T

且薪=(-2,2,a),i?=(0,2,0),?cos<AB,=.里竺L=—±==

?AB???AM?2×√a2÷8

2z.r√3√21

所以，直線48與平面a所成角的正弦值范圍為［字，孝］,Z選項(xiàng)正確;

第15頁(yè)共25頁(yè)

對(duì)于8選項(xiàng)，當(dāng)Λ/與CCI重合時(shí)，連接小￡>、BD、A?B.AC,

在正方體/8C。-∕ι8ιCιd中，CClJ■平面/8Cr>,

：8。U平面488,Λ50ICCi,：四邊形NBCD是正方形，則8O_L/C,VCCι∩∕4C

=C,二8。_1平面/。。，

Y/CIU平面ZCCI,.?.∕Ci?L8O,同理可證力CIJ_3。，

YAIDCBD=D,，/。_1平面/山。，

易知△小8。是邊長(zhǎng)為2√Σ的等邊三角形，

其面積為SA&BD=苧X(2√2)2=2√3,周長(zhǎng)為2√ΣX3=6√2.

設(shè)E、F、。、N、G、”分別為棱/1。、/181、BBi、BC、CD、?！返闹悬c(diǎn)，

易知六邊形EFQNGH是邊長(zhǎng)為√Σ的正六邊形，且平面EFQNGH〃平面A↑BD,

正六邊形EFQNGH的周長(zhǎng)為6√2,面積為6x*x(√2)2=3√3,

則△出8。的面積小于正六邊形EFQNGH的面積，它們的周長(zhǎng)相等，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)平面α交棱∕∣O∣于點(diǎn)E(6,0,2),點(diǎn)Λ∕(0,2,1),/IM=(-2,2,1),

第16頁(yè)共25頁(yè)

?.?∕M"L平面α,OEU平面a,：.AMVDE,即薪?法=-2b+2=0,得b=1,,E(1,

0,2),

所以，點(diǎn)E為棱NLOI的中點(diǎn)，同理可知，點(diǎn)尸為棱小田的中點(diǎn)，

則產(chǎn)(2,1,2),FF=(1,1,0),而Z?=(2,2,0),：.EF=^DB,：.EF//DBK

EF≠DB,

由空間中兩點(diǎn)間的距離公式可得DE=√22+O2+I2=√5,BF=

√(2-2)2+(1-2)2+(2-O)2=√5,

.'.DE=BF,

所以，四邊形BDEF為等腰梯形，C選項(xiàng)正確；

對(duì)于。選項(xiàng)，將矩形/CG由與矩形CcboI。延展為一個(gè)平面，如下圖所示：

.MCAC2√2-

若∕Λ∕+Λ∕N最短，則4、歷、N二點(diǎn)共線，?.?CCι"O5,=T7?=CGr=2—r

DNAD2√2+2

VMC=2-√2≠^CC1,

所以，點(diǎn)“不是棱Ccl的中點(diǎn)，。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

≡.填空題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

13.(5分)已知函數(shù)/(x)=x2+ax+b(a,?∈R)在［-1,1］上存在零點(diǎn)，且對(duì)任意的正［3,

第17頁(yè)共25頁(yè)

4］,0≤to+6≤3,則6的取值范圍為「一彳，35-8√T虧.

【解答】解：令/(x)=0,得-X2=αx+b,令g(x)=ax+b,

問題轉(zhuǎn)化為g(x)=αx+6和y=-%2在［-1,1］上有交點(diǎn)，

令z=ta+b,則g(X)過點(diǎn)(f,z),其中滿足｛裝;爸，

如圖示：

-5u

當(dāng)直線g(X)為/1時(shí)，6最小，當(dāng)直線g(X)在/2位置時(shí)，b最大,

47

由直線/1：y=a(x-4)+3=ox+3-4α,而α+3-4Q=-1,故Q=可，則b=3-4〃=—芽

由直線/2：尸α(X-4)+3=αx+3-4“，聯(lián)立g：Uj3-4α'

得：，+辦+3-44=0,??=6f2-4(3-4。)=0,解得：a=-8+2√19,

止匕時(shí)：6=3-4a=35-8√19,

故b的取值范圍是［一《，35-8√19］,

故答案為：［烏，35-8√19］.

14.(5分)在直角坐標(biāo)系XQy中，己知&=(-1,/),OB=(2,2),若40Z8是直角三

角形，則實(shí)數(shù)/的值為1或5.

【解答】解：'：OA=(-1,t),OB=(2,2),

：.AB=(3,2-t),

當(dāng)N4O8為直角時(shí)，

：.0A-0?=-2+2/=0.解得f=l.

當(dāng)//8。為直角時(shí),

第18頁(yè)共25頁(yè)

AB-OB=6+4-2/=0,解得f=5,

當(dāng)N8/O為直角時(shí)，

AB-OA=-3+t(2-Z)=0,無解，

綜上，f的值為1或5.

故答案為：1或5.

15.(5分)若正數(shù)X,y滿足中(x+2j)=16,則x+y的最小值為—2陋.

【解答】解：*.,正數(shù)X,V滿足中(x+2y)=16,

.*.x(x+2y)=竽，

:?χ(χ+2y)+y2=y+y2?即(%+y)2=y+√=^+^+y2≥=12,

8

當(dāng)且僅當(dāng)Q=/,即y=2,X=IO時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x+y取得最小值2√1

故答案為：2√1

16.(5分)已知函數(shù)/(x)=2lnx,g(x)=αx2-x-?∣(α>0),若總存在直線與函數(shù)y=/

3

(χ),y=g(X)圖象均相切，則?的取值范圍是一弓，+8).

【解答】解：設(shè)y=∕G)與y=g(x)的圖象在交點(diǎn)處存在切線y=fcv+f,且切點(diǎn)為(小

2//777),

9

由/(x)=―,g,(X)=Iax-1,

2?1

可z得-=k=2an-1,2lnn=kn+t=arr-n—-?,

nZ

化為kn=2,an2=4'，則2lnn=???,

即4lnn+n=1,

4

設(shè)人(〃)=4/〃〃+〃，h'(〃)=—+1>0,可得〃(〃)在(0,+o°)遞增，

由〃(1)=1,可得4癡+〃=1的解為〃=1,

則α=∣,由y="χ2.χ-4(”>o)的圖象可得，當(dāng)“越大時(shí)，拋物線的開口越小，

可得此時(shí)夕=∕(x)和y=g(x)的圖象相離，總存在直線與它們的圖象都相切，

則"的范圍是［|,+8).

3

故答案為：與，+8).

第19頁(yè)共25頁(yè)

17.在4/8C中，角4,B,C所對(duì)邊分別為，b,c,C=$6=4,Z?4SC的面積為6.

(1)求C的值；

(2)求COS(B-C)的值.

1

【解答】解：（1）由已知S△/BC=嚴(yán)加后。

.’1π

..6=2^?4sιn-,

Λtz=3√2,

又c2=a2+b2-IabcosC,

/?

Λc2=18+16-2X4X3√Σx芳=10,

Λc=VlO,

(2)Vc=√Tθ,C=?,6=4,

二由正弦定理一%=可得sin8=b'si^c==竽，

SinBSinCC√10?

'：b<a,8為銳角，可得cos8=Vl—SiMB=洛,

cos(B-C)=COSBCOSC+sinBSinC=?×-?+X?=~y?~?

18.已知公差不為O的等差數(shù)列｛斯｝滿足S7=49,且m,α2.。5成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)若bn=J—,求數(shù)列｛a｝的前”項(xiàng)和%,

7αΓn??+l

【解答】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為"(d≠0),

第20頁(yè)共25頁(yè)

7x6d

7%+--=49

由題意,2,解得

(ɑ?+d>=QI(Ql+4d)CrJ

數(shù)列｛如｝的通項(xiàng)公式O?=2N-1；

Sh=2=2=_1______L_

-

"αn?αn+1(2n-l)(2n+l)2n-l2n+l

.?.數(shù)列｛6"｝的前n項(xiàng)和Tn=(1—?)+(1-^)+—+(2n-l~2n+l

=1L_=且

'2n+l2n+l'

19.如圖，在四棱錐P-/8CD中，平面以。_1_平面/BC。，AB//CD,ZABC=90a,AB

=2,AD=√2,PA=PD=CD=CB=I,E總是線段尸B上的動(dòng)點(diǎn).

(I)當(dāng)E點(diǎn)在什么位置時(shí)，CE〃平面∕?D?證明你的結(jié)論.

(II)對(duì)于(I)中的點(diǎn)E,求/E與底面/88所成角的正弦值；

(III)求二面角4-PO-C的正弦值.

【解答】解：(I)當(dāng)E為P8的中點(diǎn)時(shí)，CE〃平面R/D

證明如下：取總的中點(diǎn)足連接。F,EF,則E/〃?∣4B,EF=

由已知CCllaAB,CD=^AB,則E尸〃。，EF=CD.

二四邊形。尸EC是平行四邊形，二CE〃。凡

又CEC平面ΛW,DFU平面ΛW,,CE〃平面加。；

(II)取4。中點(diǎn)。，/8的中點(diǎn)G,連接OP,OG,

?：PA=PD,J.POLAD,

又平面以。，平面/8C。，平面R1O∩平面/8C。=/。,

...尸。_L平面NBCD

由己知可得/。2+8〃2=/82,.?.BDUD,

又OG〃BD,：.OGLAD,

：.OA,OG,。尸兩兩互相垂直,

第21頁(yè)共25頁(yè)

故以。4,OG,OP所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系OXyz.

A耳,0,0),P(0,0,y),B(-?,√Σ,0),E(一孝,孝,孝),

D(一*,0,0),C(-√2,y,0).

.?/=(一察孝,均,

(?=(o,0,孚)是平面ZBa)的一個(gè)法向量，

設(shè)NE與底面N8C。所成角為e,則

—>—>-1

.,)口工.7

ql?OP-AE?4√14

s?nθ=∣cos<0P,AE>?--→----√-=：-=,?=??-;

IoPHAEl分學(xué)14

(III)平面/PO的一個(gè)法向量為Z=(0,1,0),

R，Gn&、二，萬企姓、

PD=(—2~,0，—2")>PC=(—V2,—2~).

再設(shè)平面尸Cz)的一個(gè)法向量為b=(%,y,z),

∕ττf√2√2_

-x-zn

rt,∫fa?PD=OΛ≡)TT=°

匕而二O'L√2x+^y-^z=θ'

取z=1,則X=-1,y=-1,

；?b=(—L—1/1).

τ；!―

.?.二面角A-PD-C的余弦值的絕對(duì)值為*?=W==

?a?-?b?V33

√6

二二面角A-PD-C的正弦值為三.

20.已知函數(shù)/(%)=2sin(^+x)sin(π-x)-2cos1x+1.

第22頁(yè)共25頁(yè)

(1)求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間及對(duì)稱軸方程；

(2)若9∈(0,J),且f(。)=/，求tαn(20-與)的值.

/?

【解答】解：(l)∕(x)=2COSXSirLr-(2cos2x-1)=sin2x-cos2x=V∑(?ysin2x-

孝COS2x)=√2sm(2x-^),

令一?+2fcτr≤2%一*≤*+2∕C7Γ,kWZ,一*+kn≤x≤+fcττ,左WZ,

則/G)的單調(diào)遞增區(qū)間：[弋+如?+fcτr],k∈Z?

令2x-*=*+∕σr,?∈Z,即對(duì)稱軸方程：X=普+竽，k￡Z.

(2)/(0)=√2sin(2Θ-J)=監(jiān)，

所以sin(2θ-.)=?g,>

`:Θ∈(O,≡),

所以2"*∈(-B半)，

而sin(2θ-A)=36(0,-?),

所以26—*∈(0,?),

故tcm(20-*)=卷=常

21.已知數(shù)列｛o?1｝的前"項(xiàng)和是S1,且S"=20,,-2,等差數(shù)列｛仇｝中，bι=20,?3=16.

(1)求數(shù)列｛“”｝和｛6"｝的通項(xiàng)公式；

(2)定義：a*b=]'Ql".記Cn=θ"*6",求數(shù)列｛c∏｝的前10項(xiàng)的和Tl0.

lb,a>b

【解答】解：(1)對(duì)于數(shù)列｛α,,｝,當(dāng)"=1時(shí)，由S,=2<?-2得αι=2;

當(dāng)〃，2時(shí)，由S∏-2a∏~2>S∏.?-2cin]~2兩式相減整理得(/?—2a?.ι>

所以數(shù)列｛α,J是首項(xiàng)為2,公比也為2的等比數(shù)列，

所以數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式即=2\

設(shè)等差數(shù)列｛6"｝的公差為"，則歷-bι=16-20=4=2",解得d=-2,

所以數(shù)列｛d｝的通項(xiàng)公式d=22-In.

n

綜合以上知：an=2,bπ=22-2M；

第23頁(yè)共25頁(yè)

n

an,n≤32fn≤3

(2)由(1)知：Cn=afl*bn=

bn,n≥422—2n,n≥4

所以八。=⑶+及+內(nèi)+小A+加+…+4。="甲+越丑=4件+中=

I-QZI-ZL

24-2+56=70.

1

22.已知函數(shù)/(x)=--x+alnx.

(I)求/G）在（1,/（I））處的切線方程（用含。的式子表示）

(II)討論/（x）的單調(diào)性;

若）存在兩個(gè)極值點(diǎn)證明：）

(III)/GX”X2,"XL?Va-2.