2022年江西省九江市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）附答案詳解

2022年江西省九江市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.若復(fù)數(shù)z滿足z(l-i)=l+3i,則￡=()

A.-l+2iB.1+2iC.-1-2iD.1-2i

2.已知集合4={可氏-1|<1},8={引工2—3%+2^0},則/11)8=()

A.{x|0<x<2)B.{x|l<%<2}C.{x|0<x<2]D.{x|l<x<2}

3.已知cos(2-a)=1,貝!Is譏2a的值為()

A.YB.gC.1D.2

9933

4.拋物線y=2/的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(1,0)B.(i,0)C.(0,J)

5.如圖，在A力BC中，D,E為線段BC上兩點(diǎn)，現(xiàn)從4

B,C,D,E這五個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)，則這三個(gè)點(diǎn)

能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為()

6.將函數(shù)y=cos（4x+》的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，再向右平移?個(gè)單

OO

位長(zhǎng)度，得到的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為（）

A.篇0）B.%。）C.（g,0）D.（p0）

7.2021年全國(guó)普通高考共有1078萬(wàn)人報(bào)名，為“史上人數(shù)最多的高考”,如圖為2008

年-2021年江西省普通高考報(bào)名人數(shù)統(tǒng)計(jì)表.則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（）

單位:萬(wàn)人

50

45

40

35

30加川川|加

25I

20

盧^赤e護(hù)e姬1?

A.自2008年起，江西省普通高考報(bào)名人數(shù)連續(xù)4年下降后連續(xù)9年上升

B.2008年至2021年，江西省普通高考報(bào)名人數(shù)的中位數(shù)約為35.8萬(wàn)人

C.2012年至2021年，江西省普通高考報(bào)名人數(shù)增長(zhǎng)大于75%

D.江西省普通高考報(bào)名人數(shù)較上一年增長(zhǎng)幅度最大的是2020年

8.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等與亮度來(lái)描述.古希臘天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家

喜帕恰斯在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個(gè)概念.兩顆星的星等與亮度滿足普森

公式：m2-mi=2.51g星等為西的星，其亮度為a（k=1,2）,已知織女星的星

c2

等為0.04,牛郎星的星等為0.77,則織女星與牛郎星的亮度之比（）（參考數(shù)據(jù):

IO029x1.9498,10。-3?1.9953)

A.0.5248B.0.5105C.1.9055D.1.9588

u

9.已知數(shù)列5｝滿足即=1,an+1=kan+k,則“數(shù)列5｝為等差數(shù)列”是k=1"

的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

10.某三棱錐的三視圖如圖所示，其中網(wǎng)格山邊長(zhǎng)為1的小

正方形組成，則該幾何體的表面積為（）

A.8V3

B.6V3

C.4V3

D.2V3

11.已知雙曲線E：[—l（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為F,直線y=與雙曲線E相交

a"/

于4B兩點(diǎn)，|AB|=5,\\AF\-\BF\\=4,則雙曲線E的離心率為（）

A-TB.V3C.2D1

12.已知函數(shù)/。）=。'一%（。>0且。#1）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()

A.(l.ee)B.(e"e)C.(l.V?)D.(ee,yfe')

第2頁(yè)，共21頁(yè)

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知向量。=(一1,2),b=(x,4).且五〃方，則向三____.

14.若a,b為正實(shí)數(shù),直線x+(b-2)y+l=0與直線ax+y-2=0互相垂直，則ab

的最大值為.

15.AABC中，三內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a,b'c,已知總+康=焉'則tanZtanC

的值為.

16.已知正方體48CD-的棱長(zhǎng)為1,E為線段［上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作垂直于

Bi。的平面截正方體，則截面圖形的周長(zhǎng)為.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.已知數(shù)列口工的前限項(xiàng)和為無(wú)，且滿足2即=Sn-2n+l,數(shù)列｛S"的前71項(xiàng)和為7；.

(I)求證：數(shù)列｛斯―2｝為等比數(shù)列；

(口)求

18.已知四棱錐P-4BCD的底面ABCD為矩形，AB=

V2,AD=2,E為BC中點(diǎn),AE1PB.

(I)求證：力￡1平面。8￡(；

(11)若8。L平面PAE,P4=2,求四棱錐P-4BCD

的體積.

19.COMS溫度傳感器（集成溫度傳感器）是一種采用大規(guī)模數(shù)字集成電路技術(shù)的溫度傳

感器，集成了溫度傳感電路和信號(hào)處理電路，可檢測(cè)芯片溫度和環(huán)境溫度，具有低

成本、低功耗、高精度和線性度強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，廣泛用于環(huán)境、醫(yī)療、制造業(yè)、化工、

能源、氣象、倉(cāng)儲(chǔ)、冷藏、冰柜、恒溫恒濕生產(chǎn)車間、辦工場(chǎng)所等領(lǐng)域.如表是通

過(guò)對(duì)某型號(hào)COMS高精度溫度傳感器/C的芯片溫度與輸出電壓進(jìn)行初步統(tǒng)計(jì)得出

的相關(guān)數(shù)據(jù):

芯片溫度t（°C）-20204080100

輸出電壓測(cè)量值U（V）2.492.071.881.451.31

（I）已知輸出電壓U與芯片溫度t之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求出其線性回歸方程；（精

確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）

（H）已知輸出電壓實(shí)際觀察值為u”估計(jì)值（擬合值）為q，以上述數(shù)據(jù)和（I）中的

線性回歸方程為依據(jù)，°=4）2.若滿足四一Ut\<3a'則可判斷該

COMS高精度溫度傳感器/C工作正常；若不滿足，則可判斷工作不正常?現(xiàn)某該型

號(hào)溫度傳感器在芯片溫度為60冤時(shí)，其輸出電壓為1.6心判斷該溫度傳感器工作是

否正常.

參考數(shù)據(jù)：￡乙。"=313.8,￡?=國(guó)=18800.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（凡名），（t2,[/2），…，（%,%），其回歸直線〃=a+bt的斜率和

截距的最小二乘估計(jì)分別為b=疆回上亞，

年汨-nt2a-U-OC

第4頁(yè)，共21頁(yè)

20.已知函數(shù)/1(x)=(%2-2%+2)ex-ax+b(a>0,beR),曲線y=/(x)在x=1處

的切線過(guò)原點(diǎn).

(1)求也

(II)若/(x)>0,求a的取值范圍.

21.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：y2=2Px(p>0)的焦

點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線交C于A,B兩點(diǎn)，|4B|的最小值為4.

(I)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(11)若加=；1瓦？一(1+；1)而，求4PAB面積的最小值.

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的的普通方程為y2=2x,曲線的參數(shù)方程為

1+

--V2c。

22一

1@為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)

V-2.X

--+Sn

22

(1)求曲線6,的極坐標(biāo)方程;

(n)已知直線/的極坐標(biāo)方程為e=a(0<a<》，直線/與曲線G，C2分別交于異于

極點(diǎn)的4B兩點(diǎn),且|0川?|。8|=4,求用.

23.已知函數(shù)/(%)=|%+1|—|2%—租|(7n＞。)，9(%)=6％—1].

(1)當(dāng)根=2時(shí)，解關(guān)于%的不等式/(%)20；

(D)若函數(shù)/(%)與g(x)的圖象可以圍成一個(gè)四邊形，求小的取值范圍.

第6頁(yè)，共21頁(yè)

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：???z(l-i)=1+33

l+3i(l+3i)(l+i)-2+4i1?》

1-i(l-i)(l+i)2'

:.z=-1—2i.

故選：c.

根據(jù)已知條件，結(jié)合共扼復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算，即可求解.

本題考查了共軌復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算，需要學(xué)生熟練掌握公式,

屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解:集合4={刈/一1|<1}={制0<x<2},

B=(x\x2—3x+2<0}={x|1<x<2},

則4UB={x|0<%<2}.

故選：C.

求出集合Z,B,利用并集定義能求出AUB.

本題考查集合的運(yùn)算，考查并集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

[解析]解：已知cos《-a)=P

則s譏2a=sin[^—2(^—a)]=cos2(^—a)=2cos2—a)-l=2xi—1=—

故選：A.

由誘導(dǎo)公式，結(jié)合余弦的二倍角公式求解即可.

本題考查了誘導(dǎo)公式，重點(diǎn)考查了余弦的二倍角公式，屬基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：整理拋物線方程得

??焦?點(diǎn)在y軸，p=；

二焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,》

故選：D.

先把拋物線整理標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而可判斷出焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸和p,進(jìn)而求得焦點(diǎn)坐標(biāo).

本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).求拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，注意拋物線焦點(diǎn)所在的位置,

以及拋物線的開(kāi)口方向.

5.【答案】B

【解析】解：從A,B,C,D,E這五個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)，

共有4BC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10彳、基本事

件，

其中可構(gòu)成三角形的有：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,共6個(gè)基本事件，

???這三個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為P=。=|?

故選:B.

利用古典概型、列舉法能求出結(jié)果.

本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)

題.

6.【答案】D

【解析】解：依題意，將函數(shù)y=cos(4x+g)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，

O

得到y(tǒng)=cos(2x+?)的圖像，

O

再向右平移胃?jìng)€(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=C0S(2x—59=cos(2x-9的圖象，

OOOO

令2x-g=kTc+^,keZ,

oN

可得％=箏+^k￡Z,

第8頁(yè)，共21頁(yè)

所以得到的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為(一+T0),kez,

當(dāng)k=0時(shí)，對(duì)稱中心是C，o),其它選項(xiàng)沒(méi)有滿足條件的整數(shù)k.

故選：D.

把原函數(shù)的圖像變換后得到函數(shù)y=cos(2x-名的圖像，進(jìn)而根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱性即

可求解.

本題主要考查函數(shù)y=擊譏3x+⑴)的圖像變換規(guī)律，正弦函數(shù)的對(duì)稱性，考查了函數(shù)

思想，屬于中檔題.

7.【答案】D

【解析】解：對(duì)于4,2008年-2012年連續(xù)4年下降，2012年-2021年連續(xù)9年上升，故

A正確；

對(duì)于B,2008年-2021年，江西省普通高考報(bào)名人數(shù)的中位數(shù)為2015年和2016年的平

均數(shù)，約為35.8萬(wàn)人，故8正確；

對(duì)于C,2021年江西省普通高考報(bào)名人數(shù)約為49萬(wàn)，2012年約為27萬(wàn)，增長(zhǎng)大于80%,

故C正確；

對(duì)于D,由圖中的數(shù)據(jù)可知較上一年增長(zhǎng)幅度最大的是2014年，故O錯(cuò)誤.

故選：D.

根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)分別判斷即可.

本題考查命題真假的判斷，考查條形圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)

題.

8.【答案】D

【解析】解：織女星的星等為61=0.04,亮度為牛郎星的星等為62=077,亮度

為E2,則有0.77—0.04=2.5團(tuán)今，

七2

即￡=10°-2926(10°-29,10°-3),

即||=10。292G(1.9498,1.9953),

故選：D.

根據(jù)題意直接利用題中的公式計(jì)算即可.

本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式，理解普森公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

9【答案】B

【解析】解：當(dāng)k=l時(shí)，an+1=an+l,則｛a“｝為等差數(shù)列，必要必成立;

2

若｛時(shí)｝為等差數(shù)列,由%=l,a2=2k,a3=2k+k,

有2/+/0+1=4上

解得k=1或*當(dāng)k=泄，an+1=|?n+1>

此時(shí)即=1,充分性不成立.

故選：B.

先根據(jù)等差數(shù)列定義證明充分性成立，再舉反例說(shuō)明必要性不成立.

本題考查數(shù)列的遞推式，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

10.【答案】A

【解析】解：由三視圖還原原幾何體如圖,

該幾何體為正四面體力-BCD,正四面體的棱長(zhǎng)為2夜，

其表面積S=4xgx2V2x2V2Xy=873.

故選:A.

由三視圖還原原幾何體，可知該幾何體為正四面體4-BCD,正四面體的棱長(zhǎng)為2VL

再由三角形面積公式求解.

本題考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題.

11.【答案】D

第10頁(yè)，共21頁(yè)

【解析】解：如圖，設(shè)雙曲線E的左焦點(diǎn)為F',由對(duì)稱性|BF|=|4F'|,

/.\\AF\-\AFr\\=\\AF\-\BF\=4,即2a=4,a=2,

設(shè)點(diǎn)4(%0弓%0)(%0>0),則有［04|=JXQ+%解得與=V5,

則力(迎馬，J：一言=1，解得力=遮，c=3,e=-=f.

\2J4a2

故選：D.

設(shè)雙曲線E的左焦點(diǎn)為F',由對(duì)稱性|8F|=|4F'|,|0*=J瑞+；褶=|,可求a,c,

從而求離心率.

本題考查求雙曲線的離心率，以及運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.

12.【答案】4

【解析】解：f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即產(chǎn)=x有兩個(gè)不同的實(shí)根,

由a*=不可得x/na=Inx,即"a=處有兩個(gè)不同的實(shí)根,

X

令g(x)=W，則g'(x)=呼竺

所以0<%<e時(shí)g'(%)>0,當(dāng)%>e時(shí)g'(%)<0,

???g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在?+8)上單調(diào)遞減,

則

g(x)7nax=9(e)=p

又%>1時(shí)，g(x)=警>0,且g(l)=0,

可知貝

0<Ina<i,iJi<a<ee-

故選：A.

依題意可得標(biāo)=%有兩個(gè)不同的實(shí)根，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得"Q=等，令g(x)=哼

利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可得到0</na<；即可求出參數(shù)的取值范圍.

本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)，也考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題.

13.【答案】2>/5

【解析】解：根據(jù)題意，向量五=(—1,2),B=(X,4)，

若Z//B，則2x=(—1)x4=—4,則x=-2,

故|石|=V4+16=2V5;

故答案為：2遍.

根據(jù)題意，由向量平行的坐標(biāo)表示方法可得x的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案.

本題考查向量模的計(jì)算的性質(zhì)，涉及向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】1

【解析】解：依題意得a+6-2=0,即2=a+b>2V^F，abW1，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1

時(shí)，等號(hào)成立，

故ab的最大值為1.

故答案為：1.

根據(jù)已知條件，結(jié)合兩直線垂直的性質(zhì)，以及基本不等式的公式，即可求解.

本題主要考查兩直線垂直的性質(zhì)，以及基本不等式的公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】2

【解析】解：由正弦定理可得，翳+黑=器

則+tanC=tanB=-tan(A+C),

???tanA+tanC=—tanA+tanC

1-tanAtanC1

V0<i4+C<7T,

???tanA+tanCH0,

???1—tanAtanC=-1,

:.tanAtanC=2.

故答案為：2.

根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，以及正切函數(shù)的兩角和公式，即可求解.

第12頁(yè)，共21頁(yè)

本題主要考查正弦定理，以及正切函數(shù)的兩角和公式，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】3V2

【解析】解：由正方體的性質(zhì)可得，ACA.BD,ACB〔BCBD=B,

AC_L平面BiBD,B]Du平面

.-.AClBiD,同理B1DICD1，又CD、nCA=C,

B]D，平面C￡>i4故截面與平面平行或在平面內(nèi)，

當(dāng)點(diǎn)E與4或A重合時(shí)，截面為正。418cl或正△AC4,周長(zhǎng)為3e；

一般地，設(shè)。送=t(0<t<1),則E&=1-3

???EJ=y/2t,EF=V2(l-t),

EF+EJ=V2(l-t)+V2t=V2>

同理可得：FG+GH=+/J=V2,

故截面圖形的周長(zhǎng)為定值3立.

故答案為：3式.

由題可得以D1平面CDi4故截面與平面CD】Z平行或在平面內(nèi)，然后分類討論，作出

截面計(jì)算周長(zhǎng)即得.

本題考查了根據(jù)平面的基本性質(zhì)判斷正方體的截面形狀，屬于中檔題.

17.【答案】解：(I)當(dāng)n二1時(shí)，2%=%一1,a1=一1,

當(dāng)九22時(shí),2an=Sn-2n4-1,①2an_i=Sn_i—2九+3,(2)

①—②得%=2an-i—2,即即—2=2(an_i-2).

又的一2=-3??.｛4-2｝是首項(xiàng)為一3公比為2的等比數(shù)列.

n

(11)由(I)知即-2=-3?2f0n=2—3?2*

n

v2an=Sn—2n+1,???Sn=2n+3—3?2,

1°n2(1-2n)

.??7；=[5+7+…+(2n+3)]-3-(21+22+…+2n)=彳(2n+8)—3?——

Z1—2

=n2+4n+6—6-2n

1

【解析】(/)利用a“=氏:"n>?)即證數(shù)列｛斯一2｝為等比數(shù)列.

l?nJn-l，幾三乙

(〃)先求得而，然后求得無(wú),Tn,利用分組求和法即得.

本題考查數(shù)列求和，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

18.【答案】(I)證明：設(shè)4E與BD的交點(diǎn)為M,

??,E為BC中點(diǎn)，BE=1,

又*AB=戊,AD=2,

BEAB

：.一=一,

ABAD

則NBAE=Z.ADB=乙MBE,

在△4EB和ABEM中，

又；Z.AEB=乙BEM,

二4BME=N力BE=90°,即4EJ.BD.

又4E_LPB,BDCPB=B,BD,PBu平面PBD,

???AEJ"平面PBD.

(H)解：連接PM,

第14頁(yè)，共21頁(yè)

VBD1平面PAE,PMu平面PAE,二BD1PM,

又?；4EJ"平面PBC,PMu平面PBD,???AE1PM,

又7>^08。=",二「時(shí)_1平面48(?。，

又AMu平面ABC。，??.PM1AM,

在RtAABE中，AE1.BD,AB=V2,BE=1,AE=同

在RtAABD中，BD=瓜,AM==窄=速，

BDv63

???PM=>JPA2-AM2=—，

3

???四棱錐P-ABCD的體積1/pYBCD=A矩形ABCD-PM=5X2X或X^=W.

【解析】(I)證4E1BD,結(jié)合條件，根據(jù)線面垂直的定理進(jìn)行證明即可；

(II)設(shè)4E與BD的交點(diǎn)為M,證明PM1平面4BCD,所以PM即為四棱錐的高，計(jì)算其長(zhǎng)

度，代入錐體體積公式計(jì)算.

本題考查了線面垂直的證明以及四棱錐體積的計(jì)算，屬于中檔題.

19.【答案】解:(I)由表得:t=-2。+2。+；。+8。+1。。=44,1=2.49+2.07+l.；8+1.45+L31=

.SF-1tiUi-StU313.8-5X44X1.84八2…

b=克滴三1=-,7.5x442x-001,a=1.84-(-0.01)X44=2.28，

二輸出電壓U與芯片溫度t之間線性回歸方程為U=_001t+228.

(n)由(I)可得：t=-2(rc時(shí)，Ui_Ui=o.or

t=2(rc時(shí),y2_y2=一0.01,

t=40久時(shí)，g_U3=0,

,

t=80℃Bt，u4_y4=-0.03

t=100℃時(shí)，U5_4=0.03,

a=三2；=1(弘一&)2=x(0.0001+0.0001+0+0.0009+0.0009)=0.02'

y5N5

???t=60℃時(shí)'u=_().oix60+2.28=1.68'

\U-U\=|1.60-1.68|=0.08>3x0.02=0.06'

.??該溫度傳感器工作不正常.

【解析】(/)根據(jù)已知條件，結(jié)合最小二乘法公式和線性方程公式，即可求解.

(〃)根據(jù)已知條件，結(jié)合線性回歸方程，以及a=，工2發(fā)式二_")2,公

式，即可求解.

本題主要考查了線性回歸方程的求解，需要學(xué)生熟練掌握最小二乘法公式，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：(I)因?yàn)?(x2-2x+2)ex-ax+b,

則/'⑴=e-Q+b,

又f'(x)=/e"—a,所以f'(l)=e—a,

曲線y=f(%)在％=1處的切線方程為y-(e-a+&)=(e-a)(x-1),

代入原點(diǎn)可得0-(e-a+b)=-(e一a),即b=0；

(II)解法一：①當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=(%2-2%+2)ex>0,滿足題意；

②當(dāng)a>0時(shí)，若f(x)>0,則*2-2%+2-黑>0,

令r(x)=x2-2x+2-^,則/(%)=2x-2-=(x-1)(2+劫，

當(dāng)x<l時(shí)，r'(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，r'(x)>0,

所以r(x)在(-8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以r(乃機(jī)訕=r(l)=1-1>0,

可得0<a<e,故a的取值范圍是［0,e).

解法二：①當(dāng)％SO時(shí)，

由a20得/1(x)=(x2-2x+2)ex-ax>0,不合題意；

②當(dāng)x>0時(shí)，由/'(%)>0得a<(x+：—2)e”,

令m(x)=(%+1-2)ex,則nf(無(wú))=

當(dāng)0<x<1時(shí)，mz(x)<0；當(dāng)久>1時(shí)，m'(x)>0,

所以?n(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以m(x)2m(1)=e,0Sa<e,故a的取值范圍是［0,e).

解法三：①當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=(x2—2x+2)ex>0,滿足題意；

②當(dāng)a>0時(shí)，若/'(x)>0,貝拉2-2x+2>黑，

令g(X)=/-2X+2,h(X)=則g(X)min=。⑴=1，

第16頁(yè)，共21頁(yè)

因?yàn)閔'(x)="祥，當(dāng)x<1時(shí)，h'(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，h'(x)<0.

所以八。)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以九(X)max=九(1)=；>即有g(shù)(*)mE>Kx)max>

所以0<a<e,故a的取值范圍是［0,e).

【解析】(I)求得f(x)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和方程，代入原點(diǎn)解方程可得b的值；

(H)解法一、分別討論a=0,a>0,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、最值，可得所

求范圍：

解法二、分別討論“<0,x>0,結(jié)合參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)求得最值，可得所求取值范

圍；

解法三、分別討論a=0,a>0,通過(guò)構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，分別求得最值，可得所求取值范

圍.

本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)性、最值，以及不等式恒成立問(wèn)題解法，考

查方程思想和轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(I)當(dāng)48垂直于x軸時(shí)，最小,

其最小值為2P=4,；y=2,

???拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=4x.

(II)解法一：取兩=-麗=一；I市+(1+4)南,

則點(diǎn)M在直線4B上，且點(diǎn)。為線段MP的中點(diǎn).

則點(diǎn)。到直線48的距離d=號(hào)，

vl+fcz

聯(lián)立方程匕2二，一1)，消去y整理得//一(2/+4)x+k2=0,

AB

則Xi+x2=4F=2+表，\\=X1+超+P=4+卷，

???S.B=2SA°4B=2X^1陰,d=(4+表)'得=^^=4^17^>4，

綜上可得，△P4B面積的最小值為4.

解法二：當(dāng)4B垂直于%軸時(shí)，A,B的坐標(biāo)分別為(1,2),(1,-2),

由訶=AOA-(1+A)OB，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一1,44+2),

則點(diǎn)P到直線AB的距離為2,

又|AB|=4,所以APAB的面積為：X2X4=4,

當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)其斜率為k(/c力0),

則直線4B的方程為y=k(x-1),

設(shè)P,A,8的坐標(biāo)分別為(x(),%)，(%i，yi).(上而，

則%-Kxi-1)，”=卜(%2-1)>

由。P=AOA—(1+2)OB>得％o—4刀1—(1+A)%2,VO=4yl—(1+”)丫2=4卜(修—

1)—(1+A)/C(%2—1)=—(1+A)%2+1]?

即yo=fc(x0+1)，故點(diǎn)P在直線y=fc(x4-1)上，且此直線平行于直線48.

則點(diǎn)P到直線4B的距離d=獸，

vl+fcz

聯(lián)立方程已2]?!：一1)，消去y整理得//一(21+4)x+爐=0,

則石+x2=4F=2+第\AB\=+*2+P=4+第

；?SAP.B=加切.d=3x(4+給x懸==4小+>>4,

綜上可得，△P4B面積的最小值為4.

解法三：取而=一麗=一46？+(1+2)而，

則點(diǎn)M在直線4B上，且點(diǎn)0為線段MP的中點(diǎn).

S^PAB=S&048>

設(shè)直線48的方程為尤=ty+l,則點(diǎn)。到直線48的距離d=高.

聯(lián)立方程A消去工整理得y2-4ty-4=0,

2

則%+%=4t,\AB\=4-x2+P=￡(%+、2)+4=4(1+t),

???S“AB=25皿8=2x1\AB\-d=4(1+t2)X-^==4V1+t2>4,

綜上可得，△P4B面積的最小值為4.

【解析】(I)當(dāng)力B垂直于％軸時(shí)，|48|最小，求出p,即可點(diǎn)的拋物線方程.

(□)解法一：取而=一加=一4+(1+4)話，點(diǎn)M在直線4B上，且點(diǎn)0為線段MP

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的中點(diǎn),推出SAPAB=2SAOAB?設(shè)直線4B的方程為丫=k(x-l)(kK0).求出點(diǎn)。到直線

4B的距離d=段，聯(lián)立直線與拋物線方程，通過(guò)弦長(zhǎng)公式，求解三角形的面積.

vl+k2

解法二：設(shè)直線4B的方程為y=k(x-1),設(shè)P,A,B的坐標(biāo)分別為(沏,丫0),(xpyj,

。2，為)，OP=AOA-(1+A)OB，得Xo=-(1+A)X2-yo=H&i-(1+A)x2+1]>

利用點(diǎn)到直線的距離，聯(lián)立直線與拋物線方程結(jié)合弦長(zhǎng)公式，轉(zhuǎn)化求解三角形的面積的

最小值.

解法三：取而=—訶=—465+(1+4)麗，推出SAP.=SAOAB，設(shè)直線48的方程

為》=ty+1,則點(diǎn)。到直線4B的距離d=焉,聯(lián)立方程，I消去工整理得y2-

4ty-4=0,利用弦長(zhǎng)公式，通過(guò)三角形的面積求解最小值即可.

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題.

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22.【答案】解：(I)二,曲線G的普通方程為必=2%,??.psin0=2pcos0f

即曲線G的極坐標(biāo)方程為ps出2。=2COS6,

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