新教材適用2024版高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)第1篇核心專題提升多維突破專題4立體幾何第4講空間向量與距離探究性問(wèn)題課件

第一篇核心專題提升?多維突破專題四立體幾何第4講空間向量與距離、探究性問(wèn)題分析考情·明方向真題研究·悟高考考點(diǎn)突破·提能力分析考情·明方向高頻考點(diǎn)高考預(yù)測(cè)距離問(wèn)題高考對(duì)此部分內(nèi)容主要以解答題的形式考查，常以多面體為載體，題目與距離問(wèn)題、折疊問(wèn)題、探索問(wèn)題相結(jié)合命題.翻折問(wèn)題探索性問(wèn)題

真題研究·悟高考C(1)求A到平面A1BC的距離；(2)設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A－BD－C的正弦值．【解析】(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，設(shè)點(diǎn)A到平面A1BC的距離為h，(2)取A1B的中點(diǎn)E，連接AE，如圖，因?yàn)锳A1＝AB，所以AE⊥A1B，又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，且AE?平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，由BC?平面A1BC，BC?平面ABC可得AE⊥BC，BB1⊥BC，又AE，BB1?平面ABB1A1且相交，所以BC⊥平面ABB1A1，所以BC，BA，BB1兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則A(0,2,0)，A1(0,2,2)，B(0,0,0)，C(2,0,0)，所以A1C的中點(diǎn)D(1,1,1)，設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量m＝(x，y，z)，設(shè)平面BDC的一個(gè)法向量n＝(a，b，c)，3.(2023·全國(guó)甲卷文科)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)設(shè)AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1－BB1C1C的高．【解析】(1)證明：∵A1C⊥底面ABC，BC?面ABC，∴A1C⊥BC，又BC⊥AC，A1C，AC?平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1，又BC?平面BCC1B1，∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.(2)∵BC⊥平面ACC1，AC，A1C?平面ACC1，∴BC⊥AC，BC⊥A1C，∵AB＝A1B，BC＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△A1BC，∴A1C＝AC，∵A1C⊥底面ABC，AC?面ABC，∴A1C⊥AC，∴A1C2＋AC2＝A1A2，∵AA1＝2，過(guò)A1作A1O⊥C1C于O，∵A1C＝A1C1，∴O為CC1的中點(diǎn)，由(1)可知A1O⊥平面BCC1B1，∴四棱錐A1－BB1C1C的高為1.4.(2021·全國(guó)甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱A1B1上的點(diǎn)，BF⊥A1B1.(1)證明：BF⊥DE；(2)當(dāng)B1D為何值時(shí)，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小？【解析】(1)證明：連接AF，∵E，F(xiàn)分別為直三棱柱ABC－A1B1C1的棱AC和CC1的中點(diǎn)，且AB＝BC＝2，∴AC2＝AB2＋BC2，即BA⊥BC，故以B為原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，B(0,0,0)，C(0,2,0)，E(1,1,0)，F(xiàn)(0,2,1)，設(shè)B1D＝m(0≤m≤2)，則D(m,0,2)，(2)∵AB⊥平面BB1C1C，∴平面BB1C1C的一個(gè)法向量為m＝(1,0,0)，令x＝3，則y＝m＋1，z＝2－m，∴n＝(3，m＋1,2－m)，考點(diǎn)突破·提能力核心考點(diǎn)1點(diǎn)到直線的距離核心知識(shí)·精歸納點(diǎn)到直線的距離已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外的一點(diǎn)．典例研析·悟方法 (1)已知直線l的方向向量為a＝(1,0,1)，點(diǎn)A(1,2，－1)在l上，則點(diǎn)P(3,1,1)到l的距離為(

)典例1B(2)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則線段AD1上的動(dòng)點(diǎn)P到直線A1C1的距離的最小值為(

)D【解析】方法一：線段AD1上的動(dòng)點(diǎn)P到直線A1C1的距離的最小值等價(jià)于異面直線AD1、A1C1間的距離d，方法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，方法技巧·精提煉用向量法求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟(1)求直線的方向向量．(2)計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向上的投影向量的長(zhǎng)度．(3)利用勾股定理求解．提醒：平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求解．加固訓(xùn)練·促提高1.已知直線l過(guò)點(diǎn)A(1，－1，－1)，且方向向量為m＝(1,0，－1)，則點(diǎn)P(1,1,1)到l的距離為(

)B2.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為平面A1ABB1的中心，E為BC的中點(diǎn)，求點(diǎn)O到直線A1E的距離．【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，核心考點(diǎn)2點(diǎn)到平面的距離核心知識(shí)·精歸納平面外一點(diǎn)P到平面α的距離(1)求證：PH⊥AC；(2)求點(diǎn)P到平面DEH的距離．典例研析·悟方法典例2【解析】(1)證明：∵△PAB為正三角形，AB＝2，∴PB＝AB＝2，∴根據(jù)勾股定理得BC⊥PB，∵四邊形ABCD為矩形，∴BC⊥AB，∵PB，AB?面PAB且交于點(diǎn)B，∴BC⊥面PAB，∵BC?面ABCD，∴面PAB⊥面ABCD，∵H為AB的中點(diǎn)，△PAB為正三角形，∴PH⊥AB，∴PH⊥平面ABCD，∵AC?平面ABCD，∴PH⊥AC.(2)取CD中點(diǎn)F，以H為原點(diǎn)，HA為x軸，HF為y軸，HP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，方法技巧·精提煉用向量法求點(diǎn)面距離的步驟(1)建系：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．(2)求點(diǎn)坐標(biāo)：寫(xiě)出(求出)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．提醒：線到面的距離、面與面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離求解．加固訓(xùn)練·促提高1.如圖，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，則點(diǎn)B到平面EFG的距離為_(kāi)_____.【解析】因?yàn)镃G⊥平面ABCD，CD，CB?平面ABCD，所以CG⊥CD，CG⊥CB，因?yàn)镃D⊥CB，所以以C為原點(diǎn)，CD，CB，CG所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，【解析】∵A1B1∥AB，A1B1?平面ABE，AB?平面ABE，∴A1B1∥平面ABE，∴A1B1到平面ABE的距離就是點(diǎn)A1到平面ABE的距離．如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，核心考點(diǎn)3空間中的探索性問(wèn)題核心知識(shí)·精歸納與空間向量有關(guān)的探究性問(wèn)題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系；另一類是探究線面角或二面角滿足特定要求時(shí)的存在性問(wèn)題．處理原則：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)(有些是題中已給出)，設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后探究這樣的點(diǎn)是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷．典例研析·悟方法典例3(1)求證：EF⊥平面BCF；【分析】

(1)求出AC⊥BC，AC⊥CF，由此能證明EF⊥平面BCF，由線面垂直的性質(zhì)定理即可得證；(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB，CF所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果．【解析】(1)證明：∵AD＝CD＝BC＝1，AB∥CD，∠BCD＝120°，∴∠ADC＝120°，∠DCA＝∠DAC＝30°，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵CF⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥CF，∵CF∩BC＝C，CF、BC?平面BCF，∴AC⊥平面BCF，∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線CA，CB，CF為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，方法技巧·精提煉空間角存在性問(wèn)題的解題策略借助于空間直角坐標(biāo)系，把幾何對(duì)象上動(dòng)態(tài)點(diǎn)的坐標(biāo)用參數(shù)(變量)表示，將幾何對(duì)象坐標(biāo)化，這樣根據(jù)所要滿足的題設(shè)要求得到相應(yīng)的方程或方程組．若方程或方程組在題設(shè)范圍內(nèi)有解，則通過(guò)參數(shù)的值反過(guò)來(lái)確定幾何對(duì)象的位置；若方程或方程組在題設(shè)范圍內(nèi)無(wú)解，則表示滿足題設(shè)要求的幾何對(duì)象不存在．加固訓(xùn)練·促提高(2023·定遠(yuǎn)縣校級(jí)模擬)在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC＝60°，PB＝PD，PA⊥AC.(1)證明：PA⊥平面ABCD；【解析】(1)證明：連接BD交AC于O，連接PO.因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，所以BD⊥AO，因?yàn)镺是BD中點(diǎn)，PB＝PD，所以BD⊥PO.因?yàn)锳O∩PO＝O，AO，PO?平面PAO，所以BD⊥平面PAO，因?yàn)镻A?平面PAO，所以BD⊥PA.