15.2 分式的運算（解析版）

15.2分式的運算1.理解和掌握分式的乘法法則和除法法則以及分式的乘方運算；2.理解和掌握同分母分母分式和異分母分式的加減法運算；3.理解和掌握整數(shù)指數(shù)冪的概念和性質(zhì)，科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)。一、分式的乘除1.分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。用式子表示：a【理解和拓展】①分式乘法運算的結(jié)果需通過約分化為最簡分式或整式。②當分式與整式相乘時，要把整式與分式的分子相乘作為積的分子，分母不變。③分式的分子或分母的系數(shù)是負數(shù)時，一般把負號提到分式前面。④分式與分式相乘，若分子、分母是單項式，可先將分子、分母分別相乘，然后約去公因式，化為最簡分式；若分子、分母是多項式，先把分子、分母分解因式看能否約分，然后相乘。2.分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。用式子表示：a【理解和拓展】①分式的除法運算結(jié)果要通過約分化為最簡分式或整式的形式。②當除式(或被除式)是整式時，可以看作分母是1的式子，然后按分式除法法則計算。③乘除混合運算，一般按由左到右的順序進行；也可以將除法轉(zhuǎn)化為乘法后，根據(jù)乘法交換律、結(jié)合律簡化運算。3.分式的乘方(1)法則：分式乘方要把分子、分母分別乘方。(2)用式子表示：a【理解和拓展】①分式乘方時，分子、分母要乘相同次方。②其結(jié)果的符號與有理數(shù)乘方結(jié)果的符號確定方法一樣。題型一分式乘法計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式的乘法進行計算即可求解．【詳解】解：，故選：C．1．計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接根據(jù)冪的乘方運算及分式的乘法進行計算即可．【詳解】解：原式，故選：B．2．計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式乘法運算法則計算即可獲得答案．【詳解】解：．故選：C．題型二分式除法化簡，正確結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式乘除法的運算法則計算即可．【詳解】解：，故選：D．1．化簡的結(jié)果是（

）A．m B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分式的除法進行計算即可求解．【詳解】解：，故選：A．2．化簡下列各式，結(jié)果不為整式的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式的乘法和除法計算法則分別計算出四個選項中的結(jié)果，再根據(jù)整式的定義判斷即可．【詳解】解：A、，是整式，不符合題意；B、，是整式，不符合題意；C、，不是整式，符合題意；D、，是整式，不符合題意；故選C．題型三分式的乘除混合運算計算的結(jié)果為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】先將分式的分子分母分別因式分解，將除法轉(zhuǎn)化成乘法運算，然后分子與分母進行約分化簡，即可得出答案．【詳解】解：原式，故選：D．1．計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用分式的乘除混合運算計算即可．【詳解】解：；故選：D2．計算的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】原式先計算乘方運算，再計算乘除運算即可求出值．【詳解】解：原式，故選：B．題型四分式乘方下列各式：①；②；③；④．其中計算結(jié)果相等的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】B【分析】先根據(jù)分式的運算法則計算各式，然后可得答案．【詳解】解：①，②，③，④；所以，計算結(jié)果相等的是①③；故選：B．1．下列分式運算，結(jié)果正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分式的乘除法和分式的乘方計算法則求解即可．【詳解】解：A、，原式計算正確，符合題意；B、，原式計算錯誤，不符合題意；C、，原式計算錯誤，不符合題意；D、，原式計算錯誤，不符合題意；故選A．2．下列分式運算，結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分式的乘除混合運算一般是統(tǒng)一為乘法運算，如果有乘方，還應根據(jù)分式乘方法則先乘方，即把分子、分母分別乘方，然后再進行乘除運算．同樣要注意的地方有：一是要確定好結(jié)果的符號；二是運算順序不能顛倒．【詳解】A．，故A正確；B．，故B錯誤；C．，故C錯誤；D．，故D錯誤．故選：A．二、分式的加減1.同分母分式相加減①法則：分母不變，把分子相加減。②用式子表示：a2.異分母分式相加減①法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減。②用式子表示：a【理解和拓展】.同分母分式的加減運算的關(guān)鍵是分子的加減運算，分子加減時要將其作為一個整體進行加減，當分子是多項式時，要添加括號。.異分母分式加減運算的關(guān)鍵是先通分，轉(zhuǎn)化為同分母的分式相加減，再根據(jù)同分母分式加減法進行運算，通分時要注意最簡公分母的確定。分式加減運算的結(jié)果要化為最簡分式或整式。3.分式的混合運算分式的四則混合運算與有理數(shù)的混合運算相同，必須按照運算順序，先乘方，再乘除，后加減，有括號時先去小括號再去中括號，最后結(jié)果要化為最簡分式或整式?！纠斫夂屯卣埂糠质剿膭t混合運算要注意：(1)按照運算順序進行，確定合理的運算順序是解題的關(guān)鍵。(2)靈活運用交換律、結(jié)合律、分配律，可以使運算簡捷，而且還可以提高運算速度和準確率。(3)將結(jié)果化為最簡分式或整式。(4)運算過程中要注意符號的確定。題型五同分母分式的加減法計算的結(jié)果為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同分母分式的減法進行計算即可求解．【詳解】解：，故選：C．1．計算的結(jié)果為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】先將分母化為同分母，再進行同分母分式的加減運算即可得到答案．【詳解】解：，故選：D．2．化簡：（

）A． B．1 C．0 D．【答案】A【分析】根據(jù)同分母分式的減法進行計算即可求解．【詳解】解：，故選：A．題型六異分母分式加減法已知，則的值為（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】已知等式左邊兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，變形后即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∴，∴．故選：C．1．計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)異分母分式加法計算法則求解即可．【詳解】解：，故選D．2．下列分式運算中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)變形判斷．【詳解】A．，原運算錯誤，本選項不合題意；B．，不符合分式基本性質(zhì)，本選項不合題意；C．，運算正確，本選項符合題意；D．，不能進一步化簡，原運算錯誤，本選項不合題意．故選：C．題型七分式加減混合運算已知分式，，當a大于5時，P與Q的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】計算分式加法可得，當a大于5時，，從而可得P與Q的大小關(guān)系．【詳解】解：當a大于5時，故選：A1．已知：，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】已知等式兩邊除以，求出的值，再代入即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∴，∴．故選：B．2．下列各式計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平方，同底數(shù)冪的除法，分式的加減計算法則進行計算判斷即可得到答案.【詳解】解：A、，故此選項錯誤；B、，故此選項正確；C、，故此選項錯誤；D、，故此選項錯誤；故選B.題型八分式加減乘除運算計算：的結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分式加減及乘除的運算法則計算即可．【詳解】原式．故選：B．1．試卷上一個正確的式子被瑩瑩不小心滴上墨汁．被墨汁遮住的部分的代數(shù)式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知分式得出被墨汁遮住部分的代數(shù)式是，再根據(jù)分式的運算法則進行計算即可．【詳解】解：由題意可得：被墨汁遮住部分的代數(shù)式是，；故選D．2．代數(shù)式化簡結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先通分化簡，再根據(jù)分式乘除約分即可得到答案.【詳解】解：原式，故選A；三、整數(shù)指數(shù)冪1.整數(shù)指數(shù)冪一般地，當是正整數(shù)時，a-n=1ana≠0.這就是說，(a??根據(jù)整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，當，為整數(shù)時，a?÷a?=a???,a??a??=a??????=a???,因此a?÷a?=a??a??.特別地，ab=a÷b=a?b-1,所以abn=這樣，整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)可以歸納如下：1a??a?=a???(，是整數(shù))2a??=a??(，是整數(shù)3ab?=a?b?(是整數(shù)2.科學記數(shù)法用科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)時，可以表示為×10??的形式，其中1≤||<10，為原數(shù)左起第1個不為零的數(shù)字前面所有零的總個數(shù)(包括小數(shù)點前面的那個零)。【理解和拓展】用科學記數(shù)法的形式表示數(shù)更方便比較數(shù)的大小。題型九零指數(shù)冪計算有意義，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)零次冪有意義的條件：底數(shù)不等于，列不等式求解即可【詳解】解：∵有意義，∴，解得．故選D．1．下列運算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)開方運算，負整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪的法則，逐一計算判斷即可．【詳解】解：A、，計算錯誤，不符合題意；B、，計算錯誤，不符合題意；C、，計算正確，符合題意；D、，計算錯誤，不符合題意；故選C．2．下列式子：（1）；（2）；（3）；（4），其中正確的式子有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【分析】根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的計算法則即可判斷①③；根據(jù)零指數(shù)冪的定義即可判斷②；根據(jù)科學記數(shù)法的表示方法即可判斷④．【詳解】解：①，計算正確，符合題意；②當時，不成立，不符合題意；③，計算錯誤，不符合題意；④，計算正確，符合題意；∴正確的式子有2個，故選：C．題型十負整數(shù)指數(shù)冪的值是（

）A．2023 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的意義進行計算即可求解．【詳解】解：，故選：A．1．計算（）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的計算方法計算即可．【詳解】解：．故選：A．2．（）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，代入即可求出答案．【詳解】，故選：A．題型十一科學記數(shù)法經(jīng)測算，一個水分子的直徑約為0.4納米，1納米米，數(shù)據(jù)0.4納米用科學記數(shù)法表示為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】由題意知，0.4納米米，表示成的形式，其中，的值為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)，進而可得結(jié)果．【詳解】解：由題意知，0.4納米米，∴用科學記數(shù)法表示為，故選：B．1．根據(jù)紙張的質(zhì)量不同，厚度也不盡相同，張打印紙（）約厚，因此，一張紙的厚度大約是，數(shù)據(jù)“”用科學記數(shù)法可表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，為整數(shù)．【詳解】解：．故選：B．2．據(jù)研究，一種病毒直徑為30納米（1納米米）．下列用科學記數(shù)法表示這個病毒直徑的大小，正確的是（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，n是負數(shù)．【詳解】解：由題意可得：．故選：B．一、單選題1．下列各式計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式乘除運算法則計算即可．【詳解】解：A、，故此選項不符合題意；B、，故此選項不符合題意；C、，故此選項符合題意；D、，故此選項不符合題意；故選：C．2．若分式的值為整數(shù)，則正整數(shù)x的個數(shù)為（）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】先根據(jù)分式的混合運算化簡，然后再根據(jù)其值為整數(shù)確定x的值即可解答．【詳解】解：＝＝，∵分式的值為整數(shù)，∴或或或且，∴正整數(shù)或2或5或1或6或9，共6個．故選：B．3．計算：，結(jié)果為（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分式乘除運算法則計算即可．【詳解】解：．故選：B．4．化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)計算括號里面的減法，再計算即可．【詳解】解；原式，故選：A．5．下列敘述中，正確的有（

）①若等腰三角形的兩邊分別為和，則周長為或；②滿足條件的不存在；③任意一個三角形的三條高所在的直線相交于一點，且這點一定在三角形的內(nèi)部；④中，若，，則這個為鈍角三角形．A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】①根據(jù)等腰三角形的邊長需要滿足三角形的三邊關(guān)系進行判斷；②根據(jù)冪的運算法則以及負整數(shù)指數(shù)冪的定義進行判斷；③根據(jù)三角形的高線的概念進行判斷；④根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及鈍角三角形的定義進行判斷．【詳解】解：①若等腰三角形的兩邊分別為4和10，等腰三角形的三邊長為4，10，10，則周長為24，故①錯誤；②當時，成立，故而錯誤；③銳角三角形的三條高所在的直線相交于一點，且這點一定在三角形的內(nèi)部，而鈍角三角形的三條高所在的直線相交于三角形外部一點，故③錯誤；④根據(jù)，，∴，∴，即為鈍角三角形，故④正確．故選：B．6．已知與互為相反數(shù)，則式子的值為（

）A．1 B．6 C．2 D．【答案】D【分析】先根據(jù)相反數(shù)的定義和非負數(shù)的性質(zhì)求出a和b，再代入求值即可．【詳解】解：與互為相反數(shù)，，，又，，，，，，，，，故選D．7．已知，，則，的關(guān)系為（）A． B． C． D．不能確定【答案】C【分析】利用分式的加減運算判斷即可．【詳解】解：由,,比較可知：故選：．8．當分別取值時，求出代數(shù)式的值，然后將所求得的這些結(jié)果相加，其和等于（）A．1 B．2020 C． D．0【答案】C【分析】先把和代入代數(shù)式，并對代數(shù)式化簡，得到它們的和為1，然后把代入代數(shù)式求出代數(shù)式的值，再把所得的結(jié)果相加求出所有結(jié)果的和．【詳解】因為將一對倒數(shù)代入代數(shù)求和得，即當x分別取值，為正整數(shù)時，計算所得的代數(shù)式的值之和為1；而當時，．所以，當x分別取值、、，…，、1、2，…，2019、2020、2021時，計算所得各代數(shù)式的值之和為2020個1的和再加上即是．故選擇：C二、填空題9．已知，則的值．【答案】【分析】先將兩邊平方，再通過完全平方式變形，最后再開方即可求值．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：10．化簡的結(jié)果是．【答案】【分析】將原式小括號內(nèi)的式子進行通分計算，然后算括號外面的乘法即可．【詳解】解：故答案為：11．已知，則代數(shù)式的值為．【答案】【分析】由可得、、，然后對進行變形再將、、代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，即、、∴．故答案為．12．已知a為整數(shù)，且為正整數(shù)，求所有符合條件的a的值的和．【答案】16【分析】先根據(jù)分式混合運算法則將已知分式化簡，再根據(jù)題意求得a值，進而求和即可．【詳解】解：，∵a為整數(shù)，為正整數(shù)，∴符合條件的a的值為6，10，則符合條件的a的值的和為，故答案為：16．13．對于代數(shù)式m，n，定義運算“※”：，例如：，若，則．【答案】1【分析】由※、可得答案．【詳解】解：※，，由題意，得：，解得：∴故答案為：1．14．如圖，將形狀大小完全相同的“○”按照一定的規(guī)律（如下圖所示）擺放，其中圖①的“○”的個數(shù)為，圖②中的“○”的個數(shù)為，圖③中的“○”的個數(shù)為，……以此類推，則的值是．（為正整數(shù)）【答案】【分析】根據(jù)題意找到規(guī)律：，則，然后裂項相消求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，∴；故答案為：．三、解答題15．計算：(1)(2)(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先把分子分母因式分解和除法運算化為乘法運算，然后約分即可；（2）先把分子分母因式分解和除法運算化為乘法運算，然后約分即可；（3）先除法運算化為乘法運算，然后約分即可．（4）先除法運算化為乘法運算，然后約分即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．16．計算．(1)(2)(3)【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）分母不變，分子相減，再約分；（2）先通分，再根據(jù)同分母分式加減法計算；（3）先通分，計算括號內(nèi)的，再約分計算．【詳解】（1）解：；（2）；（3）17．先化簡：，再從的范圍內(nèi)選擇一個合適的整數(shù)作為a的值代入求值．【答案】，2【分析】先化簡，后選擇適當?shù)臄?shù)值計算．【詳解】，∵，，且a為整數(shù)，∴，故原式．18．定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，那么稱這個分式為“和諧分式”．如：，則是“和諧分式”.(1)下列分式中，屬于“和諧分式”的是_______（填序號）；①；②；③；④．(2)將“和諧分式”化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式；(3)應用：先化簡，并回答：a取什么整數(shù)時，該式的值為整數(shù)？【答案】(1)①③④(2)(3)時，該式的值為整數(shù)．【分析】（1）根據(jù)“和諧分式”的定義，對各式進行變形計算，即可解答；（2）根據(jù)完全平方公式，進行變形計算，即可解答；（3）將原式化簡為，再變形為，從而可得當或時，分式的值為整數(shù)，進而可得，，或1，然后根據(jù)分式有意義時，，，，，即可解答．【詳解】（1）解：①；②；③；④；上列分式中，屬于“和諧分式”的是①③④，故答案為：①③④；（2）解：．（3）解：，當或時，分式的值為整數(shù)，，0，或，分式有意義時，，，，，，時，該式的值為整數(shù)．19．回答下列問題：(1)已知m、n滿足，，求的值．(2)已知，求的值．【答案】(1)8(2)2【分析】（1）現(xiàn)將代數(shù)式化簡，再將已知整體代入計算即可；（2）想根據(jù)分式的運算法則找出、之間的關(guān)系式，建立關(guān)于、的方程組，求出、，代入計算即可．【詳解】（1）解：，將，，代入，得：；（2）解：，即，，解得：，．20．下面是小新同學進行分式化簡的過程，請認真閱讀．第一步第二步第三步第四步第五步第六步(1)第__________步開始出現(xiàn)錯誤，正確的化簡結(jié)果是__________；(2)請從不等式組的整數(shù)解中選擇一個合適的值作為x的值代入，求出的值．【答案】(1)五，(2)取1，2分別對應的值為，【分析】（1）根據(jù)去括號法則可知第五步分子去括號過程中出現(xiàn)了錯誤；（2）先解不等式組，求出不等式組的整數(shù)解，再根據(jù)分式有意義的條件選項一個合適的值代入求解．【詳解】（1）解：第五步開始出現(xiàn)錯誤，改正后為：第一步第二步