專訓(xùn)13.1.2 線段垂直平分線的應(yīng)用+尺規(guī)作圖-簡單數(shù)學(xué)之2021-2022學(xué)年八年級(jí)上冊(cè)考點(diǎn)專訓(xùn)（解析版）（人教版）

專訓(xùn)13.1.2線段垂直平分線的應(yīng)用+尺規(guī)作圖一、單選題1．如圖，有、、三個(gè)居民點(diǎn)，現(xiàn)要選址建一個(gè)新冠疫苗接種點(diǎn)方便居民接種疫苗，要求接種點(diǎn)到三個(gè)居民點(diǎn)的距離相等，接種點(diǎn)應(yīng)建在（）A．的三條中線的交點(diǎn)處B．三邊的垂直平分線的交點(diǎn)處C．三條角平分線的交點(diǎn)處D．三條高所在直線的交點(diǎn)處【答案】B【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．則接種點(diǎn)應(yīng)建在△ABC三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；此題是一道實(shí)際應(yīng)用題，做題時(shí)，可分別考慮，先滿足到兩個(gè)居民點(diǎn)的距離相等，再滿足到另兩個(gè)居民點(diǎn)的距離相等，交點(diǎn)即可得到．2．如圖，在中，，，尺規(guī)作圖如下：分別以點(diǎn)、點(diǎn)為圓心，大于為半徑作弧，連接兩弧交點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求出的度數(shù)，然后利用兩角差求解即可．【詳解】∵，，．由作圖可知，所作的直線為BC的垂直平分線，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理和垂直平分線的性質(zhì)，能夠判斷所作直線為垂直平分線是關(guān)鍵．3．三名同學(xué)分別站在一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的位置上，他們?cè)谕鎿尩首拥挠螒颍笤谒麄冎虚g放一個(gè)凳子，搶到凳子者獲勝，為使游戲公平，凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢迷谌切蔚模ǎ〢．三條角平分線的交點(diǎn) B．三邊中線的交點(diǎn)C．三邊上高所在直線的交點(diǎn) D．三邊的垂直平分線的交點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，凳子的位置應(yīng)該到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，從而可確定答案．【詳解】因?yàn)槿叺拇怪逼椒志€的交點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，這樣就能保證凳子到三名同學(xué)的距離相等，以保證游戲的公平，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直平分線的應(yīng)用，掌握垂直平分線的性質(zhì)是關(guān)鍵．4．如圖，，，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，若，，則的長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【詳解】解：，，，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．5．如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）A．△ABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn)B．△ABC的三條中線的交點(diǎn)C．△ABC三條角平分線的交點(diǎn)D．△ABC三條高所在直線的交點(diǎn)【答案】A【分析】由于涼亭到草坪的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以根據(jù)垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等，可知是△ABC三條邊垂直平分線的交點(diǎn)．由此即可確定涼亭位置．【詳解】解：∵涼亭到草坪三條邊的距離相等，∴涼亭選擇△ABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．主要利用了到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．6．在聯(lián)歡晚會(huì)上，有三名同學(xué)站在一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)位置上，他們?cè)谕鎿尩首佑螒?，要求在他們中間放一個(gè)木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢迷诘模ǎ〢．三邊中線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn) C．三邊上高的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)【答案】D【分析】為使游戲公平，要使凳子到三個(gè)人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊中垂線的交點(diǎn)上．【詳解】解：利用線段垂直平分線的性質(zhì)得：要放在三邊中垂線的交點(diǎn)上．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用；利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題是一種能力，要注意培養(yǎng)．想到要使凳子到三個(gè)人的距離相等是正確解答本題的關(guān)鍵．7．觀察下列作圖痕跡，中，為邊上的中線是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】中線的定義為：對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)的連線，所以需要首先找到AB的中點(diǎn)，利用的是線段垂直平分線的做法．【詳解】解：A選項(xiàng)：CD為AB邊上的垂線，故錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：D點(diǎn)為線段AB與其垂直平分線的交點(diǎn)，所以D點(diǎn)為AB邊的中點(diǎn)，所以CD為AB邊上的中線，故正確；C選項(xiàng)：CD為∠ACB的角平分線，故錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：畫圖錯(cuò)誤，不屬于三角形中的三線，故錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考察的是三角形中線段的畫法，掌握尺規(guī)作圖的方法是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在△ABC中，∠C＝84°，分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)M，N，作直線MN交AC于點(diǎn)D；以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P．若此時(shí)射線BP恰好經(jīng)過點(diǎn)D，則∠A的大小是（）A．30° B．32° C．36° D．42°【答案】B【分析】根據(jù)題中作圖知：DM垂直平分AB，BD平分∠ABC，利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】由題意得：DM垂直平分AB，BD平分∠ABC，∵DM垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵∠A+∠ABD+∠CBD+∠C=，∠C＝84°，∴∠A=，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查線段垂直平分線作圖及性質(zhì)，角平分線作圖及性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)題意得到DM垂直平分AB，BD平分∠ABC是解題的關(guān)鍵．9．如圖，表示兩條公路，表示兩個(gè)倉庫，試找出點(diǎn)，使點(diǎn)到兩公路的距離相等且到兩個(gè)倉庫的距離也相等，則點(diǎn)為（）A．的垂直平分線與的交點(diǎn)B．的垂直平分線與的交點(diǎn)C．的垂直平分線與夾角的平分線的交點(diǎn)D．以上都不對(duì)【答案】C【分析】在一個(gè)角中，角平分線到角兩邊距離相等，而對(duì)于一條線段，只有垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離最短．【詳解】A.的垂直平分線與的交點(diǎn)，到點(diǎn)EF的距離相等，故A不符合題意．B.的垂直平分線與的交點(diǎn)，到點(diǎn)EF的距離相等，故B不符合題意．C.可把AB，CD當(dāng)成兩條邊，要使距離相等，則只有角平分線到角兩邊的距離相等，而到EF則只有垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離最短，所以要使到角兩邊與一線段的距離相等的點(diǎn)，則只能是其角平分線與垂直平分線的交點(diǎn)，符合題意．D.因C選項(xiàng)正確，故不符合題意．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線及角平分線的逆用；要熟練掌握三角形的性質(zhì)，理解掌握角平分線垂直平分線的含義及性質(zhì)．10．如圖，電信部門要在公路l旁修建一座移動(dòng)信號(hào)發(fā)射塔．按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)M，N的距離必須相等，則發(fā)射塔應(yīng)該建（）A．A處 B．B處 C．C處 D．D處【答案】C【分析】利用垂直平分線的性質(zhì)即可判斷．【詳解】如圖，可知兩個(gè)圓弧交點(diǎn)所連直線為線段MN的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得發(fā)射塔應(yīng)該在C處，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用，理解中垂線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．11．如圖所示，在四邊形ABCD中，，AC=1，，直線MN為線段AD的垂直平分線，P為MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD的最小值為（）A．1 B． C． D．3【答案】A【分析】要求PC+PD的值最小，當(dāng)PC、PD在一條這線上值最小，根據(jù)垂直平分線定理可以把PD轉(zhuǎn)化為PA，可得知A、P、C在一條直線上值最小，即最小值為AC的長．【詳解】連接PA，∵直線MN為線段AD的垂直平分線，∴，∴，當(dāng)P在AC上時(shí)，最小，即，∴最小值為1，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是垂直平分線定理的運(yùn)用，以及動(dòng)點(diǎn)問題，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)以及四邊形動(dòng)點(diǎn)問題的轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．12．如圖，已知△ABC（AC＜BC），用尺規(guī)在BC邊上確定一點(diǎn)P，使得PA+PC=BC，則下列四種不同的作圖方法中，正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)作出AC的垂直平分線進(jìn)而得出答案．【詳解】解：用尺規(guī)在BC上確定一點(diǎn)P，使PA+PB=BC，如圖所示：

先做出AB的垂直平分線，即可得出AP=PB，即可得出PA+PC=PB+PC=BC．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖，正確掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．如圖，已知△ABC（AC＜AB），用尺規(guī)在AB上確定一點(diǎn)P，使PB＋PC＝AB，則符合要求的作圖痕跡是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用PB+PC=AB，PB+PA=AB，得到PC=PA，根據(jù)線段垂直平分線的判定定理，得到點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上，由此可知選項(xiàng)C符合題意．【詳解】解：∵點(diǎn)P在AB上，∴PB+PA=AB，又∵PB+PC=AB，∴PC=PA，∴點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上，且線段AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)P．∴選項(xiàng)C符合要求，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把AB拆成PA與PB之和進(jìn)而得到PC=PA是解決本題的關(guān)鍵．14．如圖，一位同學(xué)用直尺和圓規(guī)作出了△ABC中BC邊上的高AD，則一定有（）A．PA＝PC B．PA＝PQ C．PQ＝PC D．∠QPC＝90°【答案】C【分析】利用基本作法，作了線段CQ的垂直平分線，則根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】由作法得AD垂直平分CQ，所以PQ＝PC．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）．15．如圖，在ABC中，AB＝4，AC＝9，BC＝11，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D，E，作直線DE，交BC于點(diǎn)M；分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P、Q，作直線PQ，交BC于點(diǎn)N；連接AM、AN．則MAN的周長為（）A．9 B．10 C．11 D．13【答案】C【分析】根據(jù)題意由作圖可知，DE垂直平分線段AB，PQ垂直平分線段AC，推出MA＝MB，NA＝NC即可解決問題．【詳解】解：由作圖可知，DE垂直平分線段AB，PQ垂直平分線段AC，∴MA＝MB，NA＝NC，∴△AMN的周長＝AM+MN+AN＝BM+MN+NC＝BC＝11．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意并靈活運(yùn)用垂直平分線段性質(zhì)解決問題．16．觀察下列作圖痕跡，所作CD為△ABC的邊AB上的中線是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，CD為△ABC的邊AB上的中線，就是作AB邊的垂直平分線，交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D即為線段AB的中點(diǎn)，連接CD即可判斷．【詳解】解：作AB邊的垂直平分線，交AB于點(diǎn)D，連接CD，∴點(diǎn)D即為線段AB的中點(diǎn)，∴CD為△ABC的邊AB上的中線．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形一邊的中線的作法；作該邊的中垂線，找出該邊的中點(diǎn)是解題關(guān)鍵．17．已知：．求作：一點(diǎn)，使點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．小明的作法是：（1）作的平分線；（2）作邊的垂直平分線；（3）直線與射線交于．點(diǎn)即為所求的點(diǎn)（作圖痕跡如圖1）．小麗的作法是：（1）作的平分線；（2）作的平分線；（3）射線與射線交于點(diǎn)．點(diǎn)即為所求的點(diǎn)（作圖痕跡如圖2）．對(duì)于兩人的作法，下列說法正確的是（）A．小明對(duì)，小麗不對(duì) B．小麗對(duì)，小明不對(duì) C．兩人都對(duì) D．兩人都不對(duì)【答案】D【分析】根據(jù)三角形外心的定義對(duì)小明和小麗的作法逐項(xiàng)作出判斷即可.【詳解】∵點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，∴點(diǎn)O應(yīng)是三角形兩邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴小明和小麗的作法都不對(duì)；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了作與-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．二、填空題18．如圖，已知線段長為4．現(xiàn)按照以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)，為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)，；②過，兩點(diǎn)作直線，與線段相交于點(diǎn)．則的長為______．【答案】2【分析】根據(jù)作圖得出是線段的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)和點(diǎn)，，，是線段的垂直平分線，．故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖基本作圖以及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知垂直平分線作法是解答此題的關(guān)鍵．19．如圖，在中，，，，P為BC邊的垂直平分線DE上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值為________．【答案】18【分析】因?yàn)锽C的垂直平分線為DE，所以點(diǎn)C和點(diǎn)B關(guān)于直線DE對(duì)稱，所以當(dāng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P和E重合時(shí)則△ACP的周長最小值，再結(jié)合題目的已知條件求出AB的長即可．【詳解】解：如圖，∵P為BC邊的垂直平分線DE上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴點(diǎn)C和點(diǎn)B關(guān)于直線DE對(duì)稱，∴當(dāng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P和E重合時(shí)則△ACP的周長最小值，∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=6，∴AB=2AC=12，∵AP+CP=AP+BP=AB=12，∴△ACP的周長最小值=AC+AB=18，故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線的問題以及垂直平分線的性質(zhì)，正確確定P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，確定點(diǎn)P的位置這類題在課本中有原題，因此加強(qiáng)課本題目的訓(xùn)練至關(guān)重要．20．如圖，在中，邊的垂直平分線分別交于點(diǎn)，則的周長是_____________．【答案】16【分析】由在△ABC中，邊AB的垂直平分線分別交BC、AB于點(diǎn)D、E，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可求得AD與AB的長，繼而求得答案．【詳解】解：∵邊AB的垂直平分線分別交BC、AB于點(diǎn)D、E，∴AD＝BD＝5cm，AB＝2AE＝2×3＝6（cm），∴△ABD的周長是：AD+BD+AB＝5+5+6＝16（cm）．故答案為16．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．21．如圖，點(diǎn)為的平分線上一點(diǎn)，過任作一直線分別與的兩邊交于，兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，過作的垂線交于點(diǎn)，，則____．【答案】．【分析】過D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DE＝DF，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出BD＝CD，證Rt△DEB≌Rt△DFC，求出∠EDB＝∠CDF，推出∠BDC＝∠EDF＝50°，由四邊形內(nèi)角和定理即可得出答案．【詳解】解：如圖：過作于，于，則，平分，，為中點(diǎn)，，，在和中，，，，．，；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能正確作出輔助線，證明三角形全等是解此題的關(guān)鍵．22．如圖，在平行四邊形中，連接，按以下步驟作圖：分別以為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，則的周長為________．【答案】14【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，AD=BC，再由作法可知直線MN是線段AC的垂直平分線，故可得出AE=CE，即AE+DE=CD，據(jù)此可得出結(jié)論．【詳解】由題意可知，是的中垂線，∴，又∵平行四邊形，∴，∴，∴的周長是14．【點(diǎn)睛】本題考查作圖，熟知線段垂直平分線的作法解答的此題的關(guān)鍵．三、解答題23．電信部門要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔，如圖，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B的電網(wǎng)必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等，發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置，從圖中標(biāo)出．（保留作圖痕跡，說明理由）【答案】見解析【分析】作出AB的垂直平分線，它上面的點(diǎn)到A，B的距離相等，再作出∠MON或其鄰補(bǔ)角∠QON的平分線，它上面的點(diǎn)到m，n的距離相等，即可得出它們的交點(diǎn)P就是所求的發(fā)射塔應(yīng)修建的位置．【詳解】解：如圖，作AB的垂直平分線與∠MON或∠QON的平分線，交點(diǎn)P1，P2即為所求發(fā)射塔應(yīng)修建的位置．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用垂直平分線和角平分線的作法來確定點(diǎn)P的位置．24．如圖，電信部門要在S區(qū)修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔．按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條髙速公路m和n的距離也必須相等．發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置？請(qǐng)用尺規(guī)作圖標(biāo)出它的位置．【答案】見解析．【分析】根據(jù)題意，電視信號(hào)發(fā)射塔既在線段AB的垂直平分線上，又在兩條公路所夾角的平分線上．故兩線交點(diǎn)即為發(fā)射塔的位置．利用角平分線的性質(zhì)以及作法和線段垂直平分線的作法與性質(zhì)分別得出即可．【詳解】根據(jù)題意，電視信號(hào)發(fā)射塔既在線段AB的垂直平分線上，又在兩條公路所夾角的平分線上．故兩線交點(diǎn)即為發(fā)射塔的位置．如圖所示：點(diǎn)P就是發(fā)射塔修建的位置．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖與角平分線以及垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握角平分線以及垂直平分線的性質(zhì)并且能根據(jù)題意作圖．25．如圖，已知直線，直線分別與、交于點(diǎn)、．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在線段上求作點(diǎn)，使點(diǎn)到、的距離相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】作出線段AB的垂直平分線即可．【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本作圖．26．如圖所示，村莊，分別在筆直公路的兩側(cè)．一輛汽車在公路上行駛，汽車在什么位置時(shí)到，兩村莊的距離相等？請(qǐng)找出這個(gè)點(diǎn)，并說明理由．【答案】位置見解析，理由見解析【分析】結(jié)合題意，根據(jù)線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的性質(zhì)分析，即可得到答案．【詳解】如圖，連接，作線段的垂直平分線，且交公路與點(diǎn)，點(diǎn)即為所求，理由：∵點(diǎn)C是線段AB垂直平分線上的點(diǎn)，∴CA=CB．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，從而完成求解．27．如圖，在每個(gè)小正方形邊長為1的方格紙中，ABC的頂點(diǎn)都在方格紙格點(diǎn)上．（1）將ABC經(jīng)過平移后得到，圖中標(biāo)出了點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，補(bǔ)全；（2）若連接，，則這兩條線段之間的關(guān)系是；（3）畫出AC邊上的高線BD；（4）畫出ABC中AC邊上的中線BE；（5）BCE的面積為．【答案】（1）作圖見解析；（2）平行且相等；（3）作圖見解析；（4）作圖見解析；（5）4【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖，即可得到答案；（2）連接，，結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)平移的性質(zhì)分析，即可得到答案；（3）以點(diǎn)為圓心作圓弧，與分別相交于點(diǎn)、；根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，分別以點(diǎn)、為圓心，大于為半徑作圓弧，相交于點(diǎn)；連接并交于點(diǎn)，連接，即可得到答案；（4）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，分別以點(diǎn)、為圓心，大于為半徑作圓弧，分別相交于點(diǎn)、，連接；直線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)即為中點(diǎn)，從而完成求解；（5）結(jié)合（4）的結(jié)論，根據(jù)中線的性質(zhì)，得，通過計(jì)算，即可得到答案．【詳解】（1）結(jié)合題意，根據(jù)平移的性質(zhì)作圖如下：（2）如圖，連接，根據(jù)（1）的結(jié)論，得，且根據(jù)平移的性質(zhì)，沿平移得∴，這兩條線段之間的關(guān)系是平行且相等故答案為：平行且相等；（3）以點(diǎn)為圓心作圓弧，與分別相交于點(diǎn)、；分別以點(diǎn)、為圓心，大于為半徑作圓弧，相交于點(diǎn)；連接并交于點(diǎn)，連接，線段即為AC邊上的高；（4）分別以點(diǎn)、為圓心，大于為半徑作圓弧，分別相交于點(diǎn)、，連接；直線與相交于點(diǎn)；連接，即為所求；（5）根據(jù)（4）的結(jié)論，得∵∴故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了平移、垂直平分線、三角形中線的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移、垂直平分線、三角形中線的性質(zhì)，從而完成求解．28．如圖．在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．（1）用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線，分別交AB、AC于D、E，交BC的延長線于F，連接EB．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）求證：EB平分∠ABC．（3）求證：AE=EF．【答案】見解析【分析】（1）先作線段AB的垂直平分線DE，再延長BC即可；（2）先利用直角三角形的性質(zhì)求∠ABC=60，再垂直平分線的性質(zhì)得到∠ABE=∠A=30，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30，即可得到∠EBC=∠ABE，得到答案；（3）證明：先利用直角三角形的性質(zhì)求∠DEB=90-∠ABE=60再利用三角形外角的性質(zhì)求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30，進(jìn)而得∠EFB=∠EBC，證得BE=EF，又因?yàn)锳E=BE，利用等量代換即可求得答案．【詳解】（1）如圖，即為所求；（2）證明：∵DE是AB的垂直平分線∴DE⊥AB∴AE=BE∵∠A=30，∠ACB=90∴∠ABE=∠A=30，∠ABC=90-∠A=60∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60-30=30∴∠EBC=∠ABE∴EB平分∠ABC．（3）證明：∵DE是AB的垂直平分線∴DE⊥AB∴∠DEB=90-∠ABE=60∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30∴∠EFB=∠EBC∴BE=EF又∵AE=BE∴AE=EF【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖和垂直平分線性質(zhì)得應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵利用尺規(guī)作圖，畫出圖形．29．作圖：要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．（1）如圖1，作出的中線AD；（2）如圖2，作出的角平分線BE；（3）如圖3，作出的高CM．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）分別以為圓心，大于的一半為半徑畫弧，得到兩弧的交點(diǎn)，過這兩弧的交點(diǎn)作直線與交于點(diǎn)連接即可得到答案；（2）以為圓心，任意長為半徑畫弧，得到弧與角的兩邊的交點(diǎn)，再分別以這兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，大于這兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離的一半為半徑畫弧，得到兩弧的交點(diǎn)，再以為端點(diǎn)，過兩弧的交點(diǎn)作直線，與交于點(diǎn)即可得到答案；（3）以為圓心，大于到的距離為半徑畫弧，得到弧與直線的兩個(gè)交點(diǎn)，再以這兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，大于這兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離的一半為半徑畫弧，得到兩弧的一個(gè)交點(diǎn)，過與這兩弧的交點(diǎn)畫直線，交直線于從而可得答案．【詳解】解：（1）如圖1：線段即為所求作的作出的中線．（2）如圖2：線段即為所求作的作出的角平分線．（3）如圖3：線段即為所求作的作出的高．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的中線，角平分線，高的尺規(guī)作圖，掌握作線段的垂直平分線，角平分線的作圖是解題的關(guān)鍵．30．北師版初中數(shù)學(xué)教科書八年級(jí)上冊(cè)第57頁告訴了我們利用尺規(guī)作一個(gè)角的角平分線的方法：已知：如圖，鈍角．求作：的角平分線．作法：①以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交OA于點(diǎn)D，交OB于點(diǎn)E；②分別以D，E為圓心，大于的長為半徑作弧，在內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)C；③作射線OC．所以射線OC就是所求作的角平分線．（1）請(qǐng)你根據(jù)上述的作圖方法，利用直尺和圓規(guī)完成作圖（保留作圖痕跡）（2）在該作圖中蘊(yùn)含著幾何的證明過程：由①可得：；由②可得：______；由③可知：；∴____________（依據(jù)_____）．∴可得（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）即OC就是所求作的的角平分線．（3）如圖2，點(diǎn)O處是一個(gè)老鼠洞，一只貓?jiān)贏處發(fā)現(xiàn)了B處的一只老鼠正沿著BO向洞口逃竄．若貓以與老鼠相同的速度去追捕老鼠，請(qǐng)?jiān)趫D中作出最快能截住老鼠的位置M．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】（1）見解析；（2）CD＝CE；OCD，OCE，SSS；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)幾何語言畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形；（2）利用作法得到OD＝OE，CD＝CE，加上OC＝OC，則可根據(jù)“SSS”判斷OCD≌OCE，于是得到∠COD＝∠COE．（3）連接AB．做AB的垂直平分線，則垂直平分線與BO的連接處為M，因?yàn)樗俣纫粯?，所以AM的距離等于BM的距離，所以三角形AMB為等腰三角形．因此，AB的垂直平分線必經(jīng)過M點(diǎn)．【詳解】解：（1）如圖，OC為所作；（2）由①可得：OD＝OE；由②可得：CD＝CE；由③可知：OC＝OC；∴OCD≌OCE（SSS），∴∠COD＝∠COE（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）．即OC就是所求作的∠AOB的角平分線．故答案為：CD＝CE；OCD，OCE，SSS；（3）連接AB．作AB的垂直平分線，則垂直平分線與BO的連接處為M，因?yàn)樗俣纫粯?，所以AM的距離等于BM的距離，所以三角形AMB為等腰三角形．因此，AB的垂直平分線必經(jīng)過M點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題為三角形綜合題，主要考查了角平行線、三角形全等和中垂線的性質(zhì)以及基本作圖，解題的關(guān)鍵是畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．31．如圖，已知∠AOB及點(diǎn)E、F，在∠AOB的內(nèi)部求作點(diǎn)P，使點(diǎn)P到OA、OB的距離相等，且PE=PF．（請(qǐng)尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，并寫結(jié)論）【答案】見解析圖【分析】分別作∠AOB的角平分線以及線段EF的中垂線，兩條線的交點(diǎn)即為所求．【詳解】如圖所示，先作出∠AOB的角平分線OQ，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，在OQ上的所有點(diǎn)均滿足到OA、OB的距離相等，再作線段EF的中垂線MN，根據(jù)中垂線的性質(zhì)可知，MN上的所有點(diǎn)均滿足到E，F(xiàn)的距離相等，此時(shí)OQ與MN交點(diǎn)，既滿足到OA、OB的距離相等，也滿足到E，F(xiàn)的距離相等，即為所求的點(diǎn)P．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線及垂直平分線的畫法及實(shí)際應(yīng)用，理解它們的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．32．已知，如圖，；（1）請(qǐng)?jiān)谏献鞒鳇c(diǎn)，使（要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）求出的周長．【答案】（1）見解析；（2）20．【分析】（1）作AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，故可得DA=DB；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得DA=DB，結(jié)合題目條件可求出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖所示，（2）由（1）知，DA=DB，∵∴的周長=AD+DC+AC=BC+AC=12+8=20．【點(diǎn)睛】此題主要考查了線段垂直平分線的作法以及性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．33．如圖，在中，的垂直平分線交于D，交于M，E為的中點(diǎn)，，．猜想線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】BD=AC．理由見解析【分析】求出AE⊥DC，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AD=AC，BD=AD，即可得出答案．【詳解】BD=AC．證明：連接AD，

∵∠CAE=25°，∠ACB=65°，

∴∠AED=∠CAE+∠ACB=90°，

即AE⊥DC，

∵點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，

∴AD=AC，

∵DM是線段AB的垂直平分線，

∴BD=AD，

∴BD=AC．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，線段垂直平分線的應(yīng)