2023年高考數(shù)學(xué)大招2圓錐曲線第二定義

大招2圓錐曲線第二定義（選填篇）少了部分

大招總結(jié)

注：如果與雙曲線交于不同兩支，|A￡|=ep=,忸/=叩=_巧_,這也是為什

ecosd-lccos0-aecosd+1ccos'+a

么在前面及后面的公式中加絕對(duì)值的原因.

2.以圓錐曲線的焦點(diǎn)為用（橢圓是右焦點(diǎn)、雙曲線是左焦點(diǎn)）,AB為過(guò)焦點(diǎn)的弦，其中A在x軸上方,

B在“軸下方，則|你|=|七卜|鼻|,|愿〔J工.開口向左的拋物線中，只

a-ccos3

需令e=l即可，|AF|=—P---\BF\=—P—

1+COS。1-cos。

B在y軸左方，則14^1=77^1=]/忸用=丁"力|'A

開口向下的拋物線中，只

1+esin9||a+csin。l-esin例\a-cs\n0

需令e=l即可，\AF\=—^—,\BF\=—^—

11l+sin6?11l-sin6>

ep從ep

8在y軸左方，則用卜，忸止.八.開口向上的拋物線中，只

1-esin。a-csinO\+esin0a+csing

需令e=l即可，|AF|=—^―,|8尸|=一^

11l-sin6?11l+sin6?

公式較多，如何記憶，理解本質(zhì)，其實(shí)不難.首先，焦點(diǎn)在X軸，三角是余弦cos。，焦點(diǎn)在y軸，三角是

正弦sin。，其次，分母的加減號(hào)，不妨設(shè)傾斜角是銳角，較長(zhǎng)的焦半徑分母較小，中間是“一”，較短的焦

半徑分母較大，中間是“+”，通過(guò)圖像判斷長(zhǎng)短，再靈活運(yùn)用即可.在高考中，焦點(diǎn)位于y軸較少考到.

證明：只證明第一個(gè)，其它的交給讀者自己證明.

方法1：如圖，根據(jù)第二定義

嘰,令PF、=pMl|A4|=e（|Pf；|+|A周cos6）=乎+e?cose|AF；|,

|必忸用+閨劃

——C

ac7

\AF\-e-cos0\AF^=ep,叩yJb-

{1-ecosOl-EcosdL-ccos?

方法2：在高考大題中，采用余弦定理加以證明后使用，一定給分.證明如下：

>2

設(shè)=則點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離周=2a-x,|A^|2=|A/-|2+|F^|2-2|A^|jF^|cos0x=——

拋物線的焦點(diǎn)弦,只需要令e=l,2P2P

111-COS26>sin?。

焦點(diǎn)在y軸的焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度|陰=九=，

拋物線的焦點(diǎn)弦，只需要令e=l,=

11l-sin20|COS26>

此公式也解釋了，為什么所有焦點(diǎn)弦中，通徑最短.

證明：|AB|=|AK|+忸用=—又一+—吼—=—學(xué)F=22呼2

ecosO1+ecosd1-e'cos'0a'-c'cos'0

注：即使與雙曲線交于不同兩支，結(jié)論依舊成立，交給讀者證明.

結(jié)論4：焦半徑的倒數(shù)之和為定值廠:+=絲(與雙曲線交于兩支除外),

\AF\\BF\epb2

拋物線中，只需要令e=l,1二+」=2,

陰網(wǎng)p

、丁口口111+ecos。1-ecos。22a

證明：77\+1----i=-------------1-------------=—=~~r，

|/AF|怛可epepepb~

結(jié)論5：橢圓互相垂直的兩個(gè)焦點(diǎn)弦倒數(shù)之和為定值二+工=互更，

\AB\\CD\2ep

1i\2-e2\

雙曲線互相垂直的兩個(gè)焦點(diǎn)弦倒數(shù)之和為定值匚\+焉=

\AB\\CD\2ep

1一/cos2；

2。)

證明：在橢圓中向+向J2-e(cc/e+sii?2-e2

2ep2ep2ep

結(jié)論6：

焦點(diǎn)在x軸上的圓雙曲線C,經(jīng)過(guò)其焦點(diǎn)F的直線交曲線于4B兩點(diǎn),直線4?的傾斜角為6,斜率為

4-1

k(kwO),AF=A,FB,則曲線C的離心率e滿足等式：|ecos。4

4+1

在拋物線中，e=l,則|cosM=q，

若交于雙曲線兩支，則|ecosM=41l

A—1

焦點(diǎn)在y軸上的圓錐曲線C,經(jīng)過(guò)其焦點(diǎn)F的直線交曲線于A、B兩點(diǎn),若直線鉆的傾斜角為〃，斜率為

〃(％=0),AF=AFB,則曲線C的離心率e滿足等式：|esin。卜聶，e=Jl+,昌.

此公式一定要記住，在選填中出現(xiàn)頻率非常高，而且非常簡(jiǎn)便，所以，此公式也放在了本書封面.證明：

我們以焦點(diǎn)在x軸的橢圓為例，AF=AFB,|AF|=—,\BF\=—吼—,—絲—=2—里一

11l-ecos。111+ecosgl-ecos，1+ecos，

1+ecose=X(l-ecos。)，|ecos0|=------，

A+1

為什么兩邊都加絕對(duì)值?左邊加絕對(duì)值是因?yàn)槿绻麅A斜角為鈍角，cos6<0.右邊加絕對(duì)值是因?yàn)橛锌赡?/p>

2<i.學(xué)生可能會(huì)問(wèn)2<1或者;t>i對(duì)公式有影響嗎?一定沒(méi)影響.舉例說(shuō)明，2=2與兀2,

22+13

r值不變.

典型例題

[例1]（2021秋?六合區(qū)校級(jí)月考）已知橢圓.+1內(nèi)有一點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，M是橢

4

圓上一點(diǎn)，則+舊MF的最小值為

【解】由題意作圖，F(xiàn)（l,0）,橢圓的離心率為：￡=且，由橢圓的第二定義可知，45\MF\=\MN\,如圖.

a5

所以+日的最小值，就是由尸作ZW垂直于橢圓的準(zhǔn)線于N,|PN|為所求,

橢圓的右準(zhǔn)線方程為x=—=5,所以MP+后MF的最小值為:5—1=4.

C

故答案為：4.

【例2】過(guò)橢圓5+丁=1的左焦點(diǎn)作傾斜角60的直線，直線與橢圓交于48兩點(diǎn)，則|AB|=

【解】方法1：橢圓方程為，+產(chǎn)=1,.?.焦點(diǎn)分別為耳（T,0）,g（1,0）,直線/W過(guò)左焦點(diǎn)耳的傾斜

角為60..?.直線AB的方程為y=G（x+l）,將4?方程與橢圓方程聯(lián)立消去y,得7丁+12x+4=0,

2

設(shè)A（X1,yJ,B（x2,y2）,可得玉+電=一,，x]x2=y>|x,-x21=+x2）-4xtx2=,

AB

因此,\\="+陰~?歸一司=華.

故答案為：逑.

7

方法2:|A8|=―^r-=,2亦=§夜.

1-e2cos~0a2-c2cos2。7

【例3】過(guò)雙曲線。?十=1的右焦點(diǎn)鳥，傾斜角為30"的直線交雙曲線于43兩點(diǎn)，則|AB|=

【解】方法I：

由雙曲線的方程得片（-3,0）,乙（3,0）,直線他的方程為y=±^（x-3）①,

將其代入雙曲線方程消去y得，5f+6x-27=0,解之得用=-3,x2=|.

將士,七代入①，得必=-26丫2=-竿，故網(wǎng)若G故答案為：yV3.

方法2：\AB\=—嬰工=丁2中一=—x/3.

l-e2cos2。a2-c2cos2^5

【例4】（2014.新課標(biāo)ID設(shè)F為拋物線C:V=3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30的直線交于C于A,3兩點(diǎn),

則|A8|=（）

A而

A.-----B.6C.12D.7>/3

3

=3彳得其焦點(diǎn)尸總,0）,準(zhǔn)線方程為3

【解】方法1：由暇x=——

4

則過(guò)拋物線V=3x的焦點(diǎn).尸且傾斜角為30的直線方程為y=tan30X

代入拋物線方程，消去y,得16V-168x+9=0.

設(shè)A（x“yJ,B（孫％），則%+々=粵=亮,

162

所以|4a=玉+3+居+3=3+3+21=12,故選c.

1114-4442

方法2：根據(jù)結(jié)論河=懸=亮=木=⑵故選C.

【例5】（2017?新課標(biāo)I）已知尸為拋物線C：F=4x的焦點(diǎn)，過(guò)尸作兩條互相垂直的直線,直線九

與C交于4B兩點(diǎn),直線4與C交于￡＞、E兩點(diǎn)，則|AB|+0E|的最小值為（）

A.16B.14C.12D.10

【解】方法1：如圖，4,4，直線4與c交于A、8兩點(diǎn),

直線，2與。交于￡兩點(diǎn)，

要使|AB|+|DE|最小,

則A與。，B,E關(guān)于x軸對(duì)稱，即直線DE的斜率為1,

又直線4過(guò)點(diǎn)（1,0）,則直線/,的方程為y=x-1,

y?2=4Y

聯(lián)立方程組，則/-4)」4=0,

y=x-l

4-y|=>/2x732=8,

-'-yl+y2='必％=-4,：.\DE\=2

:.\AB\+\DE\的最小值為2|Z)E|=16.

方法2：設(shè)直線/,的傾斜角為。，則人的傾斜角為殳+夕,

2

根據(jù)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得|48|=*=高，\DE\=--2P2〃4

1nmsin2cos/cos?。

44416

.-.|AB|+|D￡|=0<sin2219?1,

sin?。cos。。sin/cos?。sin22^

.?.當(dāng)e=45時(shí)，|A8|+|￡＞目的最小，最小為16,

故選A.

【例6】（2021?涼山州模擬）已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F分別作兩條直線人/?,直線人與拋

物線C交于A5兩點(diǎn)，直線4與拋物線C交于。、E兩點(diǎn)，若4與4的斜率的平方和為2,則|AB|+|OE

I的最小值為.

【解】設(shè)直線44，的傾斜角分別為a1，

1sin2a+cos2a+sin2p+cos2p

利用焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)公式可得|A8|+|D目=2〃=2

sin2asin2/?sin2asin2(3

\

11A；十片嬴南

=21+4+1+4=22+2+..22+

III8,

k；忑

7

.?.則|4?|+|。目的最小值為8.

故答案為：8.

22

【例7】（2009?全國(guó)卷II）已知雙曲線C:*■-方=l（a>0力>0）的右焦點(diǎn)為F,過(guò)廣且斜率為6的直線

交C于A8兩點(diǎn)，若AF=4FB,則C的離心率為（）

7

A.9B.cD.-

55-i5

【解】方法1：設(shè)雙曲線C：1-y2

二1的右準(zhǔn)線為/，過(guò)4、5分別作AM_U于M，BNU于N,BDLAM

a瓦

于D,由直線他的斜率為G，

知直線4?的傾斜角為60,.?./區(qū)4￡>=60,=用，

由雙曲線的第二定義有：忸叫=|蝴={,尸卜|"即=g|AB|=g|AFk|F磯,

56

.-.--3FB=-FB,r.e=

2-5

故選A.

2-114-136、生人

方法2：|ecos0|=e?一=----=-,e=—>逃A.

2+124+155

[例8]（2019?新課標(biāo)/）已知橢圓C的焦點(diǎn)為￡（-1,0）,鳥（1,0）,過(guò)工的直線與C交于兩點(diǎn).若

\AF2\=2\F2B\,\AB\=\BF]\f則C的方程為()

-)2X22y2

A.—+y2=1B.三+二=1C._+上=1D+—=

23243-f4

【解】方法1：\AF2\=2\BF2\,.-.|AB|=3|Bf；|,

又|4同=忸用，,忸用=3忸用,

又忸耳|+忸周=2a,：.\BF2\=~,:.\AF2\=a,忸用=ga,

在RtZxAQO中，COSZAFO=—,

2a

2

4+

在鳥中，由余弦定理可得cosNBF；E=—

2x2x"

2

14-2/72L

根據(jù)cos<ZA工O+cosN8K耳=0,可得—i-----------=0,解得。？=3,a=V3.b1=a2-c2=3—\=2.

a2a

所以橢圓C的方程為:±+±=1.

32

故選B.

方法2：

設(shè)外3=x,F2A=2xF}A+F2A=+F2B=2aAFl=2x=a,設(shè)AB與冗軸夾角e|cos6|二￡

由卜cose|=|q-^得/=；,則6=件.，

22

所以橢圓。的方程為：—r+^-=1.

32

故選B.

【例9】（2021?廣州一模文）已知尸為拋物線。：9=6工的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的直線/與C相交于兩點(diǎn)，且

\AF\=3\BF\,則網(wǎng)=（）

A.6B.8C.10D.12

【解】方法1：拋物線/=6x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為1|,o],準(zhǔn)線方程為3

x=——，

2

3

;.x1+|=3fx2+|j,/.%1=3X2+3,

設(shè)A（%,yJ，g，%)，則\AF\=3\BF\9:

2

1

皿=3|%|，“2,

?,?網(wǎng)=卜+§+[+￡]

=8.

故選B.

方法：根據(jù)結(jié)論葭3-1

2|48|=3-=—,|AF|=3|BF|,|cos(9|=

siir。siir。3+7~2

2P

故選B.

sin*

【例10】（2021?廣州一模理）已知以F為焦點(diǎn)的拋物線C:V=以上的兩點(diǎn)AB,滿足AF=魏3

則弦AB的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離的最大值是（）

o1n

A.2B.-C.—D.4

33

【解】方法1：拋物線V=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,準(zhǔn)線方程為X=-1,

9X=X

設(shè)A(x1,yI),B(x2,y2),則|AF|=A|BF|,x,+l=2(x2+1),.\xt=死+2-1,|以|=%|必|\^2'

當(dāng)；1=1時(shí)，弦AS的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離2.

當(dāng)時(shí)，Xj=2,x=—1

2A.

16

|/1回=(%+1)++1)=4-----F2.一強(qiáng)睨3,且.-.U+j+2

T

23max

則弦他的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離d=網(wǎng)，4最大值是號(hào).->2,

233

弦AB的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離的最大值是目.

3

故選B.

2P

方法2：弦他的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離&=網(wǎng)=血2=一P^=_—2

22sin/sin%

Z—122

根據(jù)結(jié)論|c°sq=e0,—,sin0=1-cos<?G，吟，

4+1=-4+12

故選B.

自我檢測(cè)

22

1.（2021秋.湖北期末）過(guò)橢圓C:土+工=1的左焦點(diǎn)F作傾斜角為60的直線/與橢圓C交于48兩點(diǎn),

43

【答案】A

【解析】方法1：由二+.=1,

43

得/=4,/?2=3,c2=a2—b2=1,左焦點(diǎn)為（—1,0）.

則過(guò)左焦點(diǎn)尸，傾斜角為60直線/的方程為y=6（x+l）.

r22

代入二十匕=1,得5/+8%=0,

43

8

設(shè)4（x,到），B（x2,y2）,則%?％=0,百+/=一b

l廣a

又乂為=+1），J3（9+1）=3x1A2+3（玉+x2）+3=-->

根據(jù)弦長(zhǎng)公式得：|AB|=wJ]-|；-4x0=9，

月.同利防=7（X,+I）2+K-J（%+i）2+￡=J住+才-J（凳%）+貨=g'M=弓，

11\AB\_4

|AF||BF|-|AF||BF|-3

故選A.

+…1122a4

方法2：：7+1：7==——=—?

\AF\\BF\eph23

22

2.（2021?滑縣校級(jí)模擬）過(guò)橢圓工+二=1的右焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線分別交橢圓于AB,C,D四

43

點(diǎn)，則的值為（）

M\CD\

A.-B.-C.1

86

【答案】D

，2

【解析】方法1：由橢圓:+]=1,得橢圓的右焦點(diǎn)為尸（1,0）,

當(dāng)直線4?的斜率不存在時(shí)，AB-.x=],

則C￡）:y=0.此時(shí)|AB|=3,\CD\=4,

nui11117

\AB\\CD\3412

當(dāng)直線43的斜率存在時(shí)，

設(shè)A8:y=%(x—l)(ZwO),則CO:y=-，(x-l).

k

y=Z:(x-1)

又設(shè)點(diǎn)A（x，yJ,B（x,y）,聯(lián)立方程組

223f+4)/=12'

8公4公一12

消去y并化簡(jiǎn)得（4公+3b2_8/》+4公_12=0,

x,x2=---------

123+4公J3+4公

22

I-4-4^112(fc+l)

/.\AB\=J1+公?J(X]+%21-4%%2=飛1+k?.8公2

3+4/3+4公3+4P

由題知，直線CD的斜率為

同理可得卬|=妥2.?.向+向二院［4為定值.

故選D.

22--

方法2：根據(jù)結(jié)論4,r^-T+1-^=—=—1—=-,故選D.

|A8|卬2ep2xlx（4_1）12

方法3：特殊值，當(dāng)直線他的斜率不存在時(shí)，AB:x^l,

則C￡）:y=O.此時(shí)|AB|=3,\CD\=4,

則+J產(chǎn)，+1=工,選項(xiàng)中，只有D符合.

\AB\\CD\3412

r22

3.（202卜綿陽(yáng)三模）已知雙曲線C:滔?-方=1（?>0,人>。）的右焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸且斜率為百的直線交C于

A3兩點(diǎn)，若A產(chǎn)=5FB,則。的離心率為（）

48

A.B.-C.2D.

335

【答案】A

【解析】方法1：如圖，準(zhǔn)線/于。，5?！褂贑,由題意，設(shè)忸尸|=x,則|AF|=5x,

根據(jù)雙曲線的第二定義可得|AD|=二,|BC|=-,/.|A￡|=—,

eee

由斜率為G，可得HM=2|AE|,=+忸耳=6x=2AE=2*",，e=g,故選A.

Z—1

方法2:|ecosq=,斜率為G,e=工,9=W=2...e=3,故選A.

A4-1325+133

4.（2021?濮陽(yáng)模擬）已知F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線于A8兩點(diǎn)，則

II|IMT產(chǎn)訓(xùn)的值等于（)

A.80B.8C.40D.4

【答案】C

【解析】方法1：尸（1,0）,故直線A3的方程為y=x-l,

聯(lián)立方程組[曠=以，可得X2_6X+1=0,

[y=x-l

設(shè)A（X1,yJ,8（々，%），由根與系數(shù)的關(guān)系可知為+々=6,xtx2=1.

由拋物線的定義可知:1M=%+1,網(wǎng)=馬+1,

—IF邳=|%-々I=J(石+々)2-4"升=J36-4=40.

故選C.

P二2

方法2：斜率為1,0=-,“陷-閥|=P------尸=4-72.

41-cos。1+COS0叵1+亞

1-------

22

5.（2021秋?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）設(shè)尸為拋物線C：V=6x的焦點(diǎn)，過(guò)尸且傾斜角為60的直線交C于A8

兩點(diǎn)，則|AB|=（）

A.—B.8C.12D.他

3

【答案】B

【解析】方法1：依題意可知拋物線C：V=6x焦點(diǎn)為停0）,

直線他的方程為），=3一|)

代入拋物線方程得4/-20x+9=0,

可得％+X*=5,

根據(jù)拋物線的定義可知直線他的長(zhǎng)為：XA+^+XB+^=5+3=8.

故選B.

方法2：根據(jù)結(jié)論|48|=懸=磊=1=8?

6.過(guò)拋物線丫=以2（。＞0）的焦點(diǎn)尸作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段尸尸與尸。的長(zhǎng)分別是/八q,

則，+_1等于（）

pq

14

A.2aB.D.

a

【答案】C

【解析】方法1:如圖：

設(shè)尸。直線方程是丫-1-=依,

"4a

則是方程62:的兩根，卜1一+)=M+(3『=_尤1=,

其中尸=Jl+公.同理夕=//*.

2______/&『+4J

從而_L+L*=(X2f丫=^^="&+々)、%々+,5=4*

pqpq-x^r2xxrxxr]

12{2立"

故選c.

方法2：y=ar2(a>0),即x2=』y,令2p'=L

aa

ii?

根據(jù)結(jié)論3,-+-=-=467,故選c.

pqp

7.已知橢圓C:二+與=1(。>0力>0)的離心率為正，過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為k(％>0)的直線與C相交于

a~h~2

AB兩點(diǎn)、,若AF=3尸8,則左=.

【答案】72

【解析】方法1：A（X]jJ,B（x2,y2）,AF=3FB,y]=-3y2,e=

設(shè)a=2f,c=咫,b=t,/.f+4），2一書2=o①，

2岳7

設(shè)直線A3方程為x=sy+6,代入①中消去x,可得(Y+4)y2+2益豺―產(chǎn)=0,

%+了2=一

$2+4

解得s2=—^k—5/2,

2

方法2：l^cos0l=——-,—cos^=-~,cos^=—,Z=tan6=血.

112+123+123

22

8.(2021秋.寧德期中)已知橢圓C:二+匕=1過(guò)焦點(diǎn)F的直線/與橢圓C交于A8兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于x軸

43

上方)，若AF=2FB,則直線/的斜率k的值為

【答案】土旦

2

【解析】方法1：若尸為橢圓的左焦點(diǎn)，則尸(-1,0),點(diǎn)A位于x軸上方，且AP=2EB,:.k>0,

設(shè)直線/的方程為：y=k(x+l)(A>0),

由，整理得(3+4爐)V—6@—9爐=0,

設(shè)A(x@),8(々,必)，由A尸=2尸8,可得一%=2丫2.

6k_,.zB12k-6k

又%+%=-----,可得X=------,必=------7

3+4公-------13+4抬----23+4k2

—9k~ZH,25g.y/s

代為X%=-----得k~=一,即&=nJ;

3+4k242

若尸為橢圓的右焦點(diǎn)，則尸(1,0),點(diǎn)A位于x軸上方，且Af=2尸8,:.k<0,

設(shè)直線/的方程為：y=Mx-l)(%<0),

由橢圓的對(duì)稱性，同理可得&=-亞?，直線/的斜率4的值為士好.

22

2-1，|cos6|=|，卜山，|=岑，|tan0|=^-,

方法2：|ecos6>|-，—COS0=k=±—.