新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提升訓(xùn)練7.2 空間幾何的體積與表面積（精練）（解析版）

7.2空間幾何的體積與表面積（精練）（提升版）題組一題組一柱錐臺(tái)的表面積1．（2022·陜西西安）一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為2和SKIPIF1<0，將該三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如圖所示，在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即旋轉(zhuǎn)體的底面圓的半徑為SKIPIF1<0，所以該旋轉(zhuǎn)體的表面積為：SKIPIF1<0.故選：A.2．（2022·山東日照）某正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為45°，則該正四棱錐的側(cè)面與底面的面積之比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如圖，SKIPIF1<0是正四棱錐SKIPIF1<0的高，設(shè)底面邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則底面積為SKIPIF1<0，因?yàn)檎睦忮F的側(cè)棱與底面所成的角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是正三角形，面積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即正四棱錐的側(cè)面與底面的面積之比為SKIPIF1<0故選：D.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是斜邊SKIPIF1<0上的高，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0繞SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：A.4．（2022·寧夏石嘴山·一模（文））過圓錐的頂點(diǎn)SKIPIF1<0作圓錐的截面，交底面圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，已知圓SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則圓錐的側(cè)面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如圖所示，在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0為正三角形所以SKIPIF1<0所以圓錐的側(cè)面積SKIPIF1<0故選：B5．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模（文））攢尖是中國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖．通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分．多見于亭閣式建筑，園林建筑．如圖所示的建筑屋頂是圓形攢尖，可近似看作一個(gè)圓錐，已知其軸截面(過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面)是底邊長(zhǎng)為6m，頂角為SKIPIF1<0的等腰三角形，則該屋頂?shù)膫?cè)面積約為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如圖所示為該圓錐軸截面，由題意，底面圓半徑為SKIPIF1<0，母線SKIPIF1<0，側(cè)面積πrl＝π×3×SKIPIF1<0＝6SKIPIF1<0﹒故選：B.6．（2022·江西·贛州市第三中學(xué)）斐波那契螺旋線被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋”，如圖給出了它的畫法：以斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，…為邊的正方形依序拼成長(zhǎng)方形，然后在每個(gè)正方形中畫一個(gè)圓心角為SKIPIF1<0的圓弧，這些圓弧所連起來(lái)的弧線就是斐波那契螺旋線.如果用圖中接下來(lái)的一段圓弧所對(duì)應(yīng)的扇形做圓錐的側(cè)面，那么該圓錐的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由斐波那契數(shù)的規(guī)律可知，從第三項(xiàng)起，每一個(gè)數(shù)都是前面兩個(gè)數(shù)之和，即接下來(lái)的圓弧所在的扇形的半徑是3+5=8，對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)SKIPIF1<0.設(shè)圓錐底面半徑為r，則SKIPIF1<0，即r=2.該圓錐的表面積為SKIPIF1<0.故選：B.7（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）某班級(jí)到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)SKIPIF1<0，在軸截面SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則（

）A．該圓臺(tái)的高為SKIPIF1<0B．該圓臺(tái)軸截面面積為SKIPIF1<0C．該圓臺(tái)的體積為SKIPIF1<0D．一只小蟲從點(diǎn)SKIPIF1<0沿著該圓臺(tái)的側(cè)面爬行到SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所經(jīng)過的最短路程為SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】如圖，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則圓臺(tái)的高為SKIPIF1<0，A錯(cuò)誤；圓臺(tái)的軸截面面積為SKIPIF1<0，B正確；圓臺(tái)的體積為SKIPIF1<0，C正確；將圓臺(tái)一半側(cè)面展開，如下圖中SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，圓臺(tái)對(duì)應(yīng)的圓錐一半側(cè)面展開為扇形SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的中點(diǎn)所經(jīng)過的最短路程為SKIPIF1<0，D正確.故選：BCD.8．（2022·湖北·武漢二中模擬預(yù)測(cè)）陀螺是中國(guó)民間的娛樂工具之一，也叫作陀羅.陀螺的形狀結(jié)構(gòu)如圖所示，由一個(gè)同底的圓錐體和圓柱體組合而成，若圓錐體和圓柱體的高以及底面圓的半徑長(zhǎng)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，r，且SKIPIF1<0，設(shè)圓錐體的側(cè)面積和圓柱體的側(cè)面積分別為S1和S2，則SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由題意，圓錐的母線長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則圓錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式，可得圓柱的側(cè)面積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題組二題組二柱錐臺(tái)的體積1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在正四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若正四棱錐SKIPIF1<0的體積是8，則該四棱錐的側(cè)面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．4SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如圖，連接AC，BD，記SKIPIF1<0，連接OP，所以SKIPIF1<0平面ABCD.取BC的中點(diǎn)E，連接SKIPIF1<0.因?yàn)檎睦忮FSKIPIF1<0的體積是8，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以在直角三角形SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，故該四棱錐的側(cè)面積是SKIPIF1<0.故選：C2．（2022·湖北武漢·高三開學(xué)考試）2022年7月，臺(tái)風(fēng)“暹芭”登陸我國(guó).某興趣小組為了解臺(tái)風(fēng)“暹芭”對(duì)本市降雨量的影響，在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的容器接雨水.已知該容器上底直徑為56cm，下底直徑為24cm，容器深18cm，若容器中積水深9cm，則平地降雨量是（

）（注：平地降雨量等于容器中積水體積除以容器的上底面積）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】B【解析】根據(jù)題意可得，容器下底面面積為SKIPIF1<0，上底面面積為SKIPIF1<0,因?yàn)槿萜髦蟹e水高度為容器高度的SKIPIF1<0，則積水上底面恰為容器的中截面，所以積水上底直徑為SKIPIF1<0cm，積水上底面面積為SKIPIF1<0，所以積水體積為SKIPIF1<0，則平地降雨量是SKIPIF1<0cm.故選：B.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為2，則下列四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0為異面直線B．SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．三棱錐SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0D．三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0【答案】D【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0為異面直線,故A對(duì).SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故B對(duì).SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以三棱錐SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0，故C對(duì).SKIPIF1<0,故D錯(cuò).故選:D4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）折扇是我國(guó)古老文化的延續(xù)，在我國(guó)已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字畫的形式體現(xiàn)我國(guó)的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄?決勝千里?大智大勇的象征（如圖1）．圖2是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧SKIPIF1<0所在圓的半徑分別是3和9，且SKIPIF1<0，則該圓臺(tái)的（

）A．高為SKIPIF1<0 B．體積為SKIPIF1<0C．表面積為SKIPIF1<0 D．上底面積?下底面積和側(cè)面積之比為SKIPIF1<0【答案】AC【解析】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為SKIPIF1<0，下底面半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．圓臺(tái)的母線長(zhǎng)SKIPIF1<0，圓臺(tái)的高為SKIPIF1<0，則選項(xiàng)SKIPIF1<0正確；圓臺(tái)的體積SKIPIF1<0，則選項(xiàng)SKIPIF1<0錯(cuò)誤；圓臺(tái)的上底面積為SKIPIF1<0，下底面積為SKIPIF1<0，側(cè)面積為SKIPIF1<0，則圓臺(tái)的表面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0正確；由前面可知上底面積?下底面積和側(cè)面積之比為SKIPIF1<0，則選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC．5．（2022·重慶）（多選）攢尖是中國(guó)傳統(tǒng)建筑表現(xiàn)手法，是雙坡屋頂形式之一，多用于面積不大的建筑，如塔、亭、閣等，常用于圓形、方形、六角形、八角形等平面的建筑物上，形成圓攢尖和多邊形攢尖．以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為30°，側(cè)棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0米，則該正四棱錐的（

）A．底面邊長(zhǎng)為4米 B．側(cè)棱與底面所成角的正弦值為SKIPIF1<0C．側(cè)面積為SKIPIF1<0平方米 D．體積為32立方米【答案】BD【解析】如圖，在正四棱錐SKIPIF1<0中，O為底面ABCD的中心，E為CD的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，設(shè)底面邊長(zhǎng)為2a，正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．底面邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0米，A錯(cuò)誤；側(cè)棱與底面所成角的正弦值為SKIPIF1<0，B正確；側(cè)面積SKIPIF1<0，C錯(cuò)誤；體積SKIPIF1<0，D正確．故選：BD題組三題組三球的體積與表面積1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，一個(gè)四分之一球形狀的玩具儲(chǔ)物盒，若放入一個(gè)玩具小球，合上盒蓋，可放小球的最大半徑為SKIPIF1<0.若是放入一個(gè)正方體，合上盒蓋，可放正方體的最大棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設(shè)儲(chǔ)物盒所在球的半徑為SKIPIF1<0，如圖，小球最大半徑SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，正方體的最大棱長(zhǎng)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選：D.2．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在底面半徑為1，高為5的圓柱內(nèi)放置兩個(gè)球，使得兩個(gè)球與圓柱側(cè)面相切，且分別與圓柱的上下底面相切．一個(gè)與兩球均相切的平面斜截圓柱側(cè)面，得到的截線是一個(gè)橢圓．則該橢圓的離心率為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如圖所示，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故選：C．3（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.若一個(gè)直角圓錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0，圓錐的底面圓周和頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設(shè)球半徑為SKIPIF1<0，圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，若一個(gè)直角圓錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0，設(shè)母線為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以直角圓錐的側(cè)面積為：SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圓錐的高SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的體積等于SKIPIF1<0，故選：B4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓柱上、下底面的圓周都在一個(gè)體積為SKIPIF1<0的球面上，圓柱底面直徑為8，則該圓柱的體積為_______【答案】SKIPIF1<0【解析】球的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，圓柱的高為：SKIPIF1<0．可得SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．5．（2022·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）某球形巧克力設(shè)計(jì)了一種圓柱形包裝盒，每盒可裝7個(gè)球形巧克力，每盒只裝一層，相鄰的球形巧克力相切，與包裝盒接觸的6個(gè)球形巧克力與包裝盒相切，如圖是平行于底面且過圓柱母線中點(diǎn)的截面，設(shè)包裝盒的底面半徑為SKIPIF1<0，球形巧克力的半徑為SKIPIF1<0，每個(gè)球形巧克力的體積為SKIPIF1<0，包裝盒的體積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0________【答案】SKIPIF1<0【解析】由圖知SKIPIF1<0，包裝盒的高為SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<06．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正方體木塊可以在一個(gè)圓錐形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，若圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則a的最大值為______.【答案】SKIPIF1<0【解析】問題等價(jià)于求圓錐的內(nèi)切球的半徑r，由題意得：圓錐的軸截面為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，則內(nèi)切圓半徑為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<07．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中點(diǎn)，將SKIPIF1<0分別沿BE，CE折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面CDE⊥平面BCE，則所得幾何體ABCDE的外接球的體積為______．【答案】SKIPIF1<0【解析】由題可得SKIPIF1<0均為等腰直角三角形，如圖，設(shè)SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，則幾何體SKIPIF1<0的外接球的球心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，所以幾何體SKIPIF1<0的外接球的體積為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0題組四題組四空間幾何截面1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為4，且其側(cè)面積為其軸截面面積的4倍，則該圓錐的高為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0