西藏自治區(qū)拉薩市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題（含解析）

拉薩市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月第一次模擬考試數(shù)學(xué)理科注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知全集，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A． B．0 C．1 D．23．雙曲線的焦點坐標(biāo)為（）A． B． C． D．4．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到偶函數(shù)的圖象，則（）A． B． C． D．5．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B． C． D．6．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且為坐標(biāo)原點，則（）A． B． C．4 D．57．二項式的展開式中的第3項為（）A．160 B． C． D．8．若變量滿足約束條件則的最小值為（）A． B． C． D．9．若一個圓錐的軸截面是一個腰長為，底邊上的高為1的等腰三角形，則該圓錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．10．的值為（）A． B．0 C．1 D．211．“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》．“規(guī)”指圓規(guī)，“距”指由相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的角尺，用來測量、畫圓和方形圖案的工具．有一圓形木板，首先用矩測量其直徑，如左圖，矩的較長邊為，較短邊為，然后將這個圓形木板截出一塊四邊形木板，該四邊形的頂點都在圓周上，如右圖，若，則（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，，則不等式的解集為（）A．，或 B．C．，或 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，空間向量．若，則______．14．已知正數(shù)滿足，則的最小值為______．15．如果兩個球的表面積之比為，那么兩個球的體積之比為______．16．已知函數(shù)，函數(shù)的圖象與軸的交點關(guān)于軸對稱，當(dāng)時，函數(shù)______；當(dāng)函數(shù)有三個零點時，函數(shù)的極大值為______．（第一空2分，第二空3分）三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）已知等差數(shù)列的前項和為．（1）求的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，求．18．（12分）如圖，正方體的棱長為2．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．19．（12分）當(dāng)前，以ChatGPT為代表的AIGC（利用AI技術(shù)自動生成內(nèi)容的生產(chǎn)方式）領(lǐng)域一系列創(chuàng)新技術(shù)有了革命性突破，全球各大科技企業(yè)都在積極擁抱AIGC，我國的BAT（百度、阿里、騰訊3個企業(yè)的簡稱）、字節(jié)跳動、萬興科技、藍(lán)色光標(biāo)、華為等領(lǐng)頭企業(yè)已紛紛加碼布局AIGC賽道，某傳媒公司準(zhǔn)備發(fā)布《2023年中國AIGC發(fā)展研究報告》，先期準(zhǔn)備從上面7個科技企業(yè)中隨機選取3個進行采訪．（1）求選取的3個科技企業(yè)中，BAT中至多有1個的概率；（2）記選取的3個科技企業(yè)中BAT中的個數(shù)為，求的分布列與期望．20．（12分）設(shè)橢圓的上頂點為，左焦點為．且在直線上．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與交于兩點，且點為中點，求直線的方程．21．（12分）已知函數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．（1）若，求的最小值；（2）若方程有解，求實數(shù)的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22．（10分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以左邊原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線的直角坐標(biāo)方程以及曲線的普通方程；（2）過直線上一點作曲線的切線，切點為，求的最小值．23．（10分）【選修4-5：不等式選講】已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）證明：，使得．

拉薩市2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)理科參考答案及評分細(xì)則1．【答案】A【解析】因為，所以，因為，所以，故選A．2．【答案】D【解析】因為為純虛數(shù)，所以解得，故選D．3．【答案】C【解析】因為，所以，得，所以焦點坐標(biāo)為和，故選C．4．【答案】A【解析】將的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，因為為偶函數(shù)，且，所以，得，故選A．5．【答案】A【解析】因為，又函數(shù)的定義域為，故為奇函數(shù)，排除CD；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故，則，排除B，故選A．6．【答案】B【解析】設(shè)，由得，又，得，所以，故選B．7．【答案】C【解析】因為，所以，故選C．8．【答案】C【解析】根據(jù)約束條件畫出如圖所示的可行區(qū)域，再利用幾何意義知表示點與點連線的斜率，易知直線的斜率最小，由得，所以，故選C．9．【答案】B【解析】由題意可得該圓錐的軸截面是一個等腰直角三角形，腰長為，底邊長為2，所以圓錐的母線長，底面圓半徑，所以該圓錐的側(cè)面積為，故選B．10．【答案】D【解析】，故選D．11．【答案】A【解析】因為，所以為圓的直徑，由題意得，因為在以為直徑的圓上，所以，故選A．12．【答案】B【解析】解法一：由可知，的圖象關(guān)于直線對稱，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；令，易知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則關(guān)于軸對稱，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故選B．解法二：取滿足條件的特殊函數(shù)，令，則，故選B．13．【答案】1【解析】因為，所以，即，得．14．【答案】2【解析】依題意，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．15．【答案】8:27（填也可以）【解析】因為球的表面積公式為，體積公式為，所以由兩個球的表面積之比為可得它們的半徑之比為，所以它們的體積之比為．16．【答案】（第一空2分，第二空3分）（第一空填也可以）【解析】，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點，其中一個為，另一個必為1，于是；當(dāng)有3個零點時，因為函數(shù)的圖象與軸的交點關(guān)于軸對稱，所以0是函數(shù)的零點，從而1也是函數(shù)的零點，于是，由，得，顯然當(dāng)時，函數(shù)有極大值，極大值為．17．解：（1）設(shè)的公差為，由已知得解得．故．（2），所以．【評分細(xì)則】第（2）小題的結(jié)果若寫成或，不扣分．18．（1）證明：平面平面，平面．（2）解：如圖，以為原點，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，所以，設(shè)平面的法向量為，由得令，得，．所以直線與平面所成角的正弦值為．【評分細(xì)則】如果第一問使用其他方法證明且步驟無誤，不扣分．19．解：（1）選取的3個科技企業(yè)中，BAT中至多有1個的概率為．（2）由題意，的所有取值為，，，所以的分布列為0123．【評分細(xì)則】1．如有其他解法若正確，也給滿分；2．第（2）問最終結(jié)果不化為最簡扣1分．20．解：（1）直線與軸交于點，與軸交于點，所以，因此的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，，聯(lián)立解得或，故，不滿足，即不是的中點，不符合題意．當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線．聯(lián)立可得，即．所以．由于為的中點，所以，即，解得．綜上，直線的方程為，即．【評分細(xì)則】第（2）題中也可以通過其他方法得出斜率的值，步驟結(jié)果無誤，可給滿分．21．解：（1）當(dāng)時，，，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，且，所以時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，所以．（2）即，即，設(shè)，則，，設(shè)，則，所以時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，所以，即在上單調(diào)遞增，所以方程有解即在上有解，即有解，即有解，設(shè)，則，時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，，所以，即實數(shù)的取值范圍是．【評分細(xì)則】如有其他解法若正確，也給滿分．22．解：（1）依題意，由消去，得直線的直角坐標(biāo)方程為；因為，故，即曲線的普通方程為．（2）由（1）知，曲線表示以為圓心，1為半徑的圓，所以，要使得最小，只