2023-2024學年人教A版必修第一冊 　任意角 學案

任意角學習目標心中有丘壑1.了解任意角的概念,能區(qū)分各類角的概念.(數學抽象)2.掌握象限角的概念,并會用集合表示象限角.(直觀想象)3.理解終邊相同的角的含義及表示.(數學運算)【情境導學】周日早晨,小明起床后發(fā)現自己的鬧鐘指針停在5:00這一時刻,他立即更換了電池,調整到了正常時間6:30,并開始正常的學習.小明在調整鬧鐘時間時,時針與分針各轉過了多少度?角的正負與旋轉方向之間有怎樣的關系?一、角的概念的推廣1.角的定義及分類(1)角的概念一條射線繞其端點旋轉到另一條射線所形成的圖形.(2)角的分類類型定義圖示正角按照逆時針方向旋轉形成的角負角按照順時針方向旋轉形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉2.角的加減的幾何意義α+β表示在角α的基礎上,逆時針旋轉β角度;α-β表示在角α的基礎上,順時針旋轉β角度.思考用幾何意義表示角的加、減時,按逆時針、順時針旋轉的是角的哪條邊?提示:在表示α±β時第二次旋轉的是角α的終邊.二、象限角與終邊相同的角1.象限角(1)定義:角的頂點與坐標原點重合,角的始邊落在x軸的正半軸上,那么,角的終邊在第幾象限,就說這個角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何象限.(2)實質:看終邊落在的象限,終邊落在第幾象限就是第幾象限角.(3)應用:判斷已知角是第幾象限角;寫出某一象限的角.2.終邊相同的角所有與角α終邊相同的角,連同角α在內,可構成一個集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數個周角的和.【教材深化】1.對角的概念的理解(1)正角、負角的引入是從正數、負數類比而來的,它們是用來表示具有相反意義的旋轉量的.(2)在判斷角度時,應時刻抓住“旋轉”二字:①要明確旋轉方向;②要明確旋轉角的大小;③要明確射線的起始位置;④要注意由旋轉方向來確定角的符號.(3)高中階段所說的角實際上是初中所學概念“由一點出發(fā)的兩條射線組成的圖形叫做角”的推廣.角的概念推廣后,角度的范圍不再限于0°~360°.(4)零角的始邊與終邊重合.如果α是零角,那么α=0°.2.對終邊相同角的幾點說明(1)角α為任意角,“k∈Z”不能省略.k有三層含義:①特殊性:對k每賦一個整數值就有一個具體對應的角.②一般性:表示所有與角α終邊相同的角(包括α自身).③從幾何意義上看,k表示角的終邊按一定的方向轉動的圈數.k取正整數時,逆時針轉動;k取負整數時,順時針轉動;k=0時,沒有轉動.(2)k·360°與α中間要用“+”連接,k·360°-α可理解成k·360°+(-α).(3)當角的始邊相同時:相等的角的終邊一定相同,而終邊相同的角不一定相等;終邊相同的角有無數個,它們相差360°的整數倍;終邊不同則表示的角一定不同.3.關注兩種思想(1)nα所在象限的判斷方法注意轉化思想的運用;(2)αn所在象限的判斷方法注意分類討論思想的運用4.辨明兩個易錯點(1)象限角是以角的終邊的位置分類的,而銳角、鈍角和直角是以角的大小分類的,不能將它們混淆.同時要注意第一象限角、銳角、小于90°的角三者的區(qū)別;(2)用分類討論法解決分角象限問題時要注意找準分類角度,分類要做到不重不漏,切忌以偏概全.【自我小測】1.辨析(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)經過1小時,時針轉過30°. (×)提示:因為是順時針旋轉,所以時針轉過-30°.(2)終邊與始邊重合的角是零角. (×)提示:終邊與始邊重合的角是k·360°(k∈Z).(3)小于90°的角是銳角. (×)提示:銳角是指大于0°且小于90°的角2.(教材改編題)終邊為第一象限和第三象限的平分線的角的集合是 ()A.αB.αC.αD.α【解析】選B.終邊為第一象限的平分線的角的集合是αα=45終邊為第三象限的平分線的角的集合是αα=由①②得αα3.在0°~180°內,與-930°終邊相同的角是.

【解析】與-930°角終邊相同的角是-930°+k·360°,k∈Z,當k=3時為150°,在0°~180°內,與-930°角終邊相同的角是150°.答案:150°類型一任意角的概念及應用(數學抽象)[例1](1)(2023·沈陽高一檢測)概念是數學的重要組成部分,厘清新舊概念之間的關系對學習數學十分重要.現有如下三個集合,A={鈍角},B={第二象限角},C={小于180°的角},則下列說法正確的是 ()A.A=B B.B=CC.A?B D.B?C【解析】選C.鈍角是大于90°,且小于180°的角,一定是第二象限角,故A?B;第二象限角的范圍是90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z,即第二象限角不一定小于180°,故ABD錯誤,C正確.(2)喜羊羊步行從家里到草原學校去上學,一般需要10分鐘,則10分鐘內,鐘表的分針走過的角度是 ()A.30° B.-30° C.60° D.-60°【解析】選D.利用定義,分針是順時針走的,形成的角是負角,又周角為360°,所以有360°60×10=60°,即分針走過的角度是(3)將35°角的終邊按順時針方向旋轉60°所得的角的度數為,將35°角的終邊按逆時針方向旋轉一周后的角的度數為.

【解析】把35°角的終邊按順時針方向旋轉60°得35°-60°=-25°;把35°角的終邊按逆時針方向旋轉一周后得35°+360°=395°.答案:-25°395°【總結升華】1.理解角的概念的三個“明確”常見角α的范圍:銳角0°<α<90°,鈍角90°<α<180°.2.判斷角的概念型問題的關鍵與技巧(1)關鍵:正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念.(2)技巧:判斷一種說法正確需要證明,而判斷一種說法錯誤只要舉出反例即可.提醒:解答概念辨析題,一是利用反例排除錯誤答案,只需舉一個反例即可,二是利用定義直接判斷.【即學即練】1.(多選題)下列說法中不正確的是 ()A.三角形的內角必是第一、二象限角B.始邊相同而終邊不同的角一定不相等C.鈍角比第三象限角小D.小于180°的角是鈍角、直角或銳角【解析】選ACD.A中90°的角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故A不正確;B中始邊相同而終邊不同的角一定不相等,故B正確;C中鈍角大于-100°角,而-100°角是第三象限角,故C不正確;D中零角或負角小于180°,但它們既不是鈍角,也不是直角或銳角,故D不正確.2.將時鐘撥快20分鐘,則分針轉過的度數是.

【解析】由于順時針旋轉,分針每分鐘轉-6°,所以20分鐘轉了-120°.答案:-120°類型二終邊相同的角的表示及應用(直觀想象、數學運算)[例2]在角的集合S={α|α=k·90°+45°,k∈Z}中,(1)有幾種終邊不相同的角?(2)在集合S中有幾個在[-360°,360°)內的角?【解析】(1)在給定的角的集合中,終邊不相同的角共有4種,分別是與45°,135°,225°,315°角的終邊相同的角.(2)令-360°≤k·90°+45°<360°,得-92≤k<72.又因為k∈Z,所以k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3.所以在[-360°,360°)內的角共有8【備選例題】已知α=-1090°.(1)把α寫成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第幾象限角;(2)寫出與α終邊相同的角θ構成的集合S,并把S中適合不等式-360°≤θ<360°的元素θ寫出來.【解析】(1)因為-1090°=-4×360°+350°,270°<350°<360°,所以把角α寫成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式為-1090°=-4×360°+350°,它是第四象限角.(2)因為θ與α的終邊相同,所以令θ=k·360°+350°,k∈Z,所以S={θ|θ=k·360°+350°,k∈Z},當k=-1,0時,滿足題意,得到θ=-10°,350°.【總結升華】確定在某范圍內終邊相同的角的基本思路求與已知角α終邊相同的角時,先將這樣的角表示成α+k·360°(k∈Z)的形式,然后采用賦值法求出滿足條件的角,或通過解不等式,確定k的值,求出滿足條件的角.【即學即練】已知α=-1845°,在與α終邊相同的角中,求滿足下列條件的角.(1)最小的正角;(2)最大的負角;(3)-360°~720°的角.【解析】因為-1845°=-45°+(-5)×360°,即-1845°角與-45°角的終邊相同,所以與角α終邊相同的角的集合是{β|β=-45°+k·360°,k∈Z}.(1)最小的正角為315°;(2)最大的負角為-45°;(3)-360°~720°的角分別是-45°,315°,675°.【補償訓練】(2023·濟寧高一檢測)在0°~360°內,找出與下列各角終邊相同的角,并指出它們是哪個象限的角:(1)-265°;(2)-1000°;(3)-843°10';(4)3900°.【解析】(1)因為-265°=-1×360°+95°,所以在0°~360°內,與-265°終邊相同的角為95°,為第二象限角.(2)因為-1000°=-3×360°+80°,所以在0°~360°內,與-1000°終邊相同的角為80°,為第一象限角.(3)因為-843°10'=-3×360°+236°50',所以在0°~360°內,與-843°10'終邊相同的角為236°50',為第三象限角.(4)因為3900°=10×360°+300°,所以在0°~360°內,與3900°終邊相同的角為300°,為第四象限角.類型三象限角及區(qū)域角的表示(數學運算、直觀想象)角度1象限角[例3]若α是第一象限角,則角2α,α2各是第幾象限角【解析】因為α是第一象限角,所以k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z).(*)所以k·720°<2α<k·720°+180°(k∈Z).故2α是第一或第二象限角或是終邊在y軸的非負半軸上的角.方法一:由(*)得k·180°<α2<k·180°+45°(k∈Z)(1)當k為偶數時,令k=2n(n∈Z),得n·360°<α2<n·360°+45°(n∈Z),這表明α2(2)當k為奇數時,令k=2n+1(n∈Z),得n·360°+180°<α2<n·360°+225°(n∈Z),這表明α2綜合(1)(2)知,α2是第一或第三象限角方法二:如圖,將各象限分成兩等份,再從x軸正方向的上方起,按逆時針方向依次在各區(qū)域內標上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,標有Ⅰ的區(qū)域(陰影部分)即α2的終邊所在的區(qū)域,故α2【總結升華】關于角nα或αn(1)由α的范圍,表示出nα,αn的范圍,由n的取值確定象限(2)特別地,求αn所在象限時,可以把每個象限等分為n份,沿x軸非負半軸,逆時針方向順序標記一、二、三、四,找到原象限數字即可角度2區(qū)域角的表示[例4](1)(2023·濟南高一檢測)如圖,陰影部分表示角α的終邊所在的位置,試寫出角α的集合.(2)在直角坐標系中畫出表示集合{α|k·180°-90°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}的范圍.【解析】(1)①{α|-30°+k·360°≤α≤k·360°,k∈Z}∪{α|150°+k·360°≤α≤180°+k·360°,k∈Z}={α|-30°+k·180°≤α≤k·180°,k∈Z};②{α|-30°+k·360°<α<60°+k·360°,k∈Z}.(2)因為{α|k·180°-90°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}={α|k·360°-90°≤α≤k·360°+45°,k∈Z}∪{α|k·360°+90°≤α≤k·360°+225°,k∈Z},所以集合{α|k·180°-90°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}表示的范圍如圖所示:【總結升華】表示區(qū)域角的三個步驟(1)先按逆時針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界.(2)按由小到大分別標出起始和終止邊界對應的-360°~360°內的角α和β,寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β},其中β-α<360°.(3)起始、終止邊界對應的角α,β再加上360°的整數倍,即得區(qū)域角集合.【即學即練】1.已知θ是第二象限角,那么θ3是 (A.第一象限角B.第一或第二象限角C.第一、第二或第三象限角D.第一、第二或第四象限角【解析】選D.因為θ是第二象限角,所以360°·k+90°<θ<360°·k+180°,k∈Z,因此120°·k+30°<θ3<120°·k+60°,k∈Z當k=3m(m∈Z)時,360°·m+30°<θ3<360°·m+60°,m∈Z,為第一象限角當k=3m+1(m∈Z)時,360°·m+150°<θ3360°·m+180°,m∈Z,為第二象限角;當k=3m+2(m∈Z