四川省宜賓市宜賓四中2023-2024學年高一上學期期中數(shù)學試題

宜賓市四中高2023級高一上期期中考試數(shù)學試題本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知命題，.則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定，改量詞、否結論，即可得出結果.【詳解】命題是一個全稱命題，故其否定是一個特稱命題，先改寫量詞，然后否定結論即可得到，該命題的否定為“，”.故選：C.【點睛】本題主要考查全稱命題的否定，屬于基礎題型.2.若集合，則A∩B＝（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化簡集合，再求交集即可．【詳解】由題意，得，所以．故選：D3.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用不等式的基本性質(zhì)，通過充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件的定義求解.【詳解】因為，所以，兩邊同乘以a，得，故必要.當時，不成立，故不充分.故選：B【點睛】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)和充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件的定義，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題4.函數(shù)的圖象是下列圖象中的A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)比例函數(shù)平移即可得到答案.【詳解】函數(shù)向右平移個單位，得到的圖象，向上平移個單位，可得函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象關于點對稱，且過原點，故選：B5.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得函數(shù)的定義域，利用復合函數(shù)法可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】對于函數(shù)，則，即，解得.所以，函數(shù)的定義域為.內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，外層函數(shù)為定義域上的增函數(shù)，因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.【點睛】本題考查利用復合函數(shù)法求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解題時不要忽略了函數(shù)定義域的求解，考查計算能力，屬于中等題.6.設，，，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡得，再利用基本不等式可得的最小值，由題意可得，即可得到所求范圍．【詳解】解：，，，則，當且僅當，，，上式取得等號，由不等式恒成立，可得，故選：B7.已知函數(shù)是偶函數(shù)，當時，恒成立，設，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題可知f(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞增，由f(x)是偶函數(shù)知其在(－∞，0)單調(diào)遞減，則距離y軸越近，函數(shù)值越小，即自變量絕對值越小，函數(shù)值越小﹒【詳解】由題可知f(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞增，由f(x)是偶函數(shù)知其在(－∞，0)單調(diào)遞減，則距離y軸越近，函數(shù)值越小，即自變量絕對值越小，函數(shù)值越小﹒∵||＜|－2|＜|23|，∴＜＜﹒故選：A﹒8.關于的一元二次方程有兩個不相等的正實數(shù)根，則的取值范圍是（）A.B.C.D.且【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根的分布，結合韋達定理即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知；，由韋達定理可得，解得，故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知集合，，那么下列關系正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)元素與集合，集合與集合之間的關系可判斷各選項的正誤.【詳解】，，，，.故選：ACD.10.已知集合，，若，則實數(shù)a的值可以為（）A.2 B.1 C. D.0【答案】BCD【解析】【分析】由題意，分類討論求解集合并驗證即可.【詳解】方程解得或，∴，當時，方程解得，則，滿足，選項D正確；當時，方程解得，則，滿足，選項B正確；當且時，方程解得或，則，要滿足，則，即，選項C正確；故選：BCD．11.已知關于x的不等式在上有解，則實數(shù)a的取值可能是（）A. B. C.1 D.2【答案】AB【解析】【分析】由，，可得：，求出函數(shù)的最大值即可.【詳解】由，，可得：，設，當時，，當且僅當時取等，所以，故AB正確，CD錯誤.故選：AB.12.已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，且對，恒成立，則（）A.為奇函數(shù) B.C. D.是以為周期的函數(shù)【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義換算可得為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)和奇函數(shù)性質(zhì)可知為周期函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)周期性和函數(shù)特殊值即可得出選項.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，故，又，所以，故，所以，為偶函數(shù)，A錯誤；為奇函數(shù)，所以，，所以，B正確；，又的圖象關于點對稱，所以，所以，C正確；又，則，所以是以為周期函數(shù)，D對．故選：BCD．第II卷非選擇題三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若函數(shù)是上的嚴格減函數(shù)，則k的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性可得結果.【詳解】因為函數(shù)是上的嚴格減函數(shù)，所以，得，所以k取值范圍為.故答案為：.14.設全集，集合，則______.【答案】【解析】【分析】利用集合的補運算即可求解.【詳解】，則.故答案為：15.已知是上的嚴格增函數(shù)，那么實數(shù)的取值范圍是_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，結合一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性得到關于的不等式，解之即可.【詳解】因為是上的嚴格增函數(shù)，當時，在上單調(diào)遞增，所以，則；當時，，當時，，顯然在上單調(diào)遞減，不滿足題意；當時，開口向下，在上必有一段區(qū)間單調(diào)遞減，不滿足題意；當時，開口向上，對稱軸為，因為在上單調(diào)遞增，所以，則；同時，當時，因為在上單調(diào)遞增，所以，得；綜上：，即故答案為：.16.函數(shù)的值域為______.【答案】【解析】【分析】利用換元法，結合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】設，，則，所以，等號成立所以函數(shù)的值域為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合，或．（1）若，求；（2），求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）或；（2）或.【解析】【分析】（1）應用集合的并運算求即可；（2）由題意，討論、分別求a的范圍，然后取并.【小問1詳解】由題設，而或，所以或.【小問2詳解】由知：，當時，可得，滿足；當時，且或，可得或.綜上，或.18.已知，且（1）求的最大值；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用基本不等式的直接法即可求得答案.（2）利用“”的代換，即可求得的最小值.【小問1詳解】因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為.【小問2詳解】因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為.19.設函數(shù)．（1）若關于的不等式的解集為，求實數(shù)的值；（2）若對于一切實數(shù)，恒成立，求取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式和一元二次方程之間的關系，求解即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)恒成立，結合對參數(shù)的分類討論，即可求得結果.【小問1詳解】根據(jù)題意可得為方程的兩根，則，，解得.【小問2詳解】根據(jù)題意，對任意的恒成立，當時，恒成立，滿足題意；當時，要滿足題意，則，解得；綜上所述，.20.已知函數(shù)是定義域為上的奇函數(shù)，且.（1）求b的值，并用定義證明：函數(shù)在上是增函數(shù)；（2）若實數(shù)滿足，求實數(shù)的范圍.【答案】（1），證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由奇函數(shù)的定義可得，即有，解可得，設，由作差法分析可得答案；（2）根據(jù)題意，原不等式變形可得，解可得的取值范圍，即可得答案．【小問1詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是定義域在上的奇函數(shù)，則，即有，解可得，則，則，則此時為奇函數(shù)，設，則，又，，則，，則，故在上是增函數(shù).【小問2詳解】根據(jù)題意，，即，則有，解可得；即的取值范圍為．21.首屆世界低碳經(jīng)濟大會在南昌召開，本屆大會以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題.某單位在國家科研部門的支持下進行技術攻關，采取了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數(shù)關系可近似的表示為，且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.（1）該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使單位不虧損？【答案】（1）400噸；（2）不獲利，需要國家每個月至少補貼40000元才能不虧損.【解析】【分析】（1）由題設平均每噸二氧化碳的處理成本為，應用基本不等式求其最小值，注意等號成立條件.（2）根據(jù)獲利，結合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷是否獲利，由其值域確定最少的補貼額度.【小問1詳解】由題意知，平均每噸二氧化碳的處理成本為；當且僅當，即時等號成立，故該當每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低為200元.【小問2詳解】不獲利，設該單位每個月獲利為S元，則，因為，則，故該當單位每月不獲利，需要國家每個月至少補貼40000元才能不虧損.22.已知函數(shù)對一切實數(shù)都有成立，且.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）設當時，不等式恒成立；當時，至少有一個成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2