2024版高考復(fù)習(xí)A版數(shù)學(xué)考點(diǎn)考法練習(xí)：解三角形

高考

數(shù)學(xué)三角函數(shù)與解三角形解三角形基礎(chǔ)篇考點(diǎn)一正弦定理和余弦定理考向一正弦定理的應(yīng)用1.(2023屆沈陽四中月考,5)已知△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

若sinA+cosB=0,C=

,則

=

(

)A.2-

B.

C.

D.

答案

D

2.(2022河北衡水中學(xué)模擬,3)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若

a=

,sinB=

,C=

,則c=

(

)A.2

B.

C.

D.1答案

D

3.(2019課標(biāo)Ⅰ文,11,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知asinA

-bsinB=4csinC,cosA=-

,則

=

(

)A.6

B.5

C.4

D.3答案

A

4.(2022江蘇鹽城響水中學(xué)學(xué)情分析,8)在△ABC中,a、b、c分別為△ABC

的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊,sinA(sinA+2

sinBsinC)=3sin2B+3sin2C,則角C的大小為

(

)A.

B.

C.

D.

答案

A

5.(2020課標(biāo)Ⅱ文,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

cos2

+cosA=

.(1)求A;(2)若b-c=

a,證明:△ABC是直角三角形.解析

(1)由已知得sin2A+cosA=

,即cos2A-cosA+

=0.所以

=0,cosA=

.由于0<A<π,故A=

.(2)證明:由正弦定理及已知條件可得sinB-sinC=

sinA.由(1)知B+C=

,所以sinB-sin

=

sin

.即

sinB-

cosB=

,sin

=

.由于0<B<

,故B=

.從而△ABC是直角三角形.考向二余弦定理的應(yīng)用1.(2023屆重慶南開中學(xué)質(zhì)檢,4)已知△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

且a=

,b=

,A=30°,則c=

(

)A.

B.2

C.

或2

D.2或

答案

C

2.(2020課標(biāo)Ⅲ理,7,5分)在△ABC中,cosC=

,AC=4,BC=3,則cosB=

(

)A.

B.

C.

D.

答案

A

3.(2021全國(guó)甲文,8,5分)在△ABC中,已知B=120°,

AC=

,

AB=2,則BC=

(

)A.1

B.

C.

D.3答案

D

4.(2023屆湖湘名校教育聯(lián)合體大聯(lián)考,14)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別

為a,b,c,已知b-c=

a,2sinB=3sinC,則cosA的值為

.答案-

5.(2021浙江,14,6分)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中點(diǎn),AM=2

,則AC=

,cos∠MAC=

.答案

2

6.(2017天津文,15,13分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知

asinA=4bsinB,ac=

(a2-b2-c2).(1)求cosA的值;(2)求sin(2B-A)的值.解析

(1)由asinA=4bsinB及

=

,得a=2b.由ac=

(a2-b2-c2)及余弦定理的推論,得cosA=

=

=-

.(2)由(1)可得sinA=

,代入asinA=4bsinB,得sinB=

=

.由(1)知,A為鈍角,所以cosB=

=

.于是sin2B=2sinBcosB=

,cos2B=1-2sin2B=

,故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=

×

-

×

=-

.7.(2021新高考Ⅱ,18,12分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿

足b=a+1,c=a+2.(1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面積;(2)是否存在正整數(shù)a,使得△ABC為鈍角三角形?若存在,求a;若不存在,說

明理由.解析

(1)∵2sinC=3sinA,∴2c=3a,又∵c=a+2,∴2(a+2)=3a,∴a=4,∴b=a

+1=5,c=a+2=6,∴cosA=

=

=

,∴sinA=

=

,∴S△ABC=

bcsinA=

×5×6×

=

.(2)由已知得c>b>a,若△ABC為鈍角三角形,則角C為鈍角,∴cosC=

<0?a2+b2<c2?a2+(a+1)2<(a+2)2?a2-2a-3<0?-1<a<3,又a>0,∴a∈(0,3).同時(shí)還應(yīng)考慮構(gòu)成△ABC的條件,即a+b>c?a+(a+1)>a+2?a>1.綜上所述,當(dāng)a∈(1,3)時(shí),△ABC為鈍角三角形.∴存在正整數(shù)a=2,使得△ABC為鈍角三角形.考點(diǎn)二解三角形及其應(yīng)用1.(2022廣東深圳六校聯(lián)考二,3)已知△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,

則根據(jù)條件解三角形時(shí)有兩解的一組條件是(

)A.a=1,b=2,A=

B.a=2,b=1,A=

C.a=2,b=3,A=

D.a=4,b=3,A=

答案

C

2.(2023屆長(zhǎng)春六中月考,10)在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,若

sin(A+B)=sinA+sinB,cosC=

,且S△ABC=4,則c=(

)A.

B.4

C.

D.5答案

B

3.(2017課標(biāo)Ⅰ文,11,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sinB

+sinA·(sinC-cosC)=0,a=2,c=

,則C=

(

)A.

B.

C.

D.

答案

B

4.(2021全國(guó)乙,理15,文15,5分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

面積為

,B=60°,a2+c2=3ac,則b=

.答案

2

5.(2022全國(guó)甲,理16,文16,5分)已知△ABC中,點(diǎn)D在邊BC上,∠ADB=120°,

AD=2,CD=2BD.當(dāng)

取得最小值時(shí),BD=

.答案

-16.(2020天津,16,14分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a=2

,

b=5,c=

.(1)求角C的大小;(2)求sinA的值;(3)求sin

的值.解析

(1)在△ABC中,由余弦定理及a=2

,b=5,c=

,有cosC=

=

.又因?yàn)镃∈(0,π),所以C=

.(2)在△ABC中,由正弦定理及C=

,a=2

,c=

,可得sinA=

=

.(3)由a<c及sinA=

,可得cosA=

=

,進(jìn)而sin2A=2sinAcosA=

,cos2A=2cos2A-1=

.所以,sin

=sin2Acos

+cos2Asin

=

×

+

×

=

.7.(2023屆湖北摸底聯(lián)考,18)在平面四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于

點(diǎn)E,∠ABD=45°,AE=EC,DE=2BE,AB=6,AD=3

.(1)求AC的長(zhǎng);(2)求sin∠ADC的值.

解析

(1)在△ABD中,由余弦定理,得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos∠ABD,因

為AB=6,AD=3

,∠ABD=45°,所以18=36+BD2-2×6×BD×cos45°,化簡(jiǎn)得BD2-6

BD+18=0,解得BD=3

,因?yàn)锽D2+AD2=AB2,所以∠ADB=90°.又DE=2BE,所以DE=2

,所以AE2=DE2+AD2=(2

)2+(3

)2=26,則AE=

,又AE=EC,所以AC=2

.(2)由∠ADB=90°,AE=

,DE=2

,AD=3

,得sin∠EAD=

=

,cos∠EAD=

=

.在△ACD中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2AD·AC·cos∠EAD=50,則CD=

5

.在△ACD中,由正弦定理,得

=

,則sin∠ADC=

=

.8.(2020新高考Ⅰ,17,10分)在①ac=

,②csinA=3,③c=

b這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,若問題中的三角形存在,求c的值;若問題中

的三角形不存在,說明理由.問題:是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且sinA=

sinB,

C=

,

?注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.解析方案一:選條件①.由C=

和余弦定理得

=

.由sinA=

sinB及正弦定理得a=

b.于是

=

,由此可得b=c.由①ac=

,解得a=

,b=c=1.因此,選條件①時(shí)問題中的三角形存在,此時(shí)c=1.方案二:選條件②.由C=

和余弦定理得

=

.由sinA=

sinB及正弦定理得a=

b.于是

=

,由此可得b=c,B=C=

,A=

.由②csinA=3,得c=b=2

,a=6.因此,選條件②時(shí)問題中的三角形存在,此時(shí)c=2

.方案三:選條件③.由C=

和余弦定理得

=

.由sinA=

sinB及正弦定理得a=

b.于是

=

,由此可得b=c.由③c=

b,與b=c矛盾.因此,選條件③時(shí)問題中的三角形不存在.9.(2021新高考Ⅰ,19,12分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知b2

=ac,點(diǎn)D在邊AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)證明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.解析

(1)證明:在△ABC中,由BDsin∠ABC=asinC及正弦定理可得BD·b=

a·c,又b2=ac,所以BD·b=b2,故BD=b.(2)由AD=2DC得AD=

b,DC=

,在△ABD中,cosA=

=

=

,在△ABC中,cosA=

=

.故

=

,化簡(jiǎn)得3c2-11b2+6a2=0,又b2=ac,所以3c2-11ac+6a2=0,即(c-3a)(3c-2a)=0,所以c=3a或c=

a.當(dāng)c=3a時(shí),b2=ac=3a2,所以b=

a,此時(shí)a+b<c,故a,b,c構(gòu)不成三角形;當(dāng)c=

a時(shí),b2=ac=

a2,所以b=

a,此時(shí)a,b,c可以構(gòu)成三角形,故c=

a,b=

a,所以在△ABC中,cos∠ABC=

=

=

.10.(2022新高考Ⅱ,18,12分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,分別

以a,b,c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=

,sinB=

.(1)求△ABC的面積;(2)若sinAsinC=

,求b.解析

(1)由題意得S1=

a2,S2=

b2,S3=

c2,∴S1-S2+S3=

(a2-b2+c2)=

,即a2-b2+c2=2,由cosB=

得a2+c2-b2=2accosB,故2accosB=2,∴accosB=1,又∵sinB=

,∴cosB=

或cosB=-

(舍),∴ac=

,∴S△ABC=

acsinB=

×

×

=

.(2)由正弦定理

=

=

得

=

,又知ac=

,sinAsinC=

,∴

=

,∴

=

,∴b=

sinB=

×

=

.11.(2022全國(guó)乙理,17,12分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).(1)證明:2a2=b2+c2;(2)若a=5,cosA=

,求△ABC的周長(zhǎng).解析

(1)證明:由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),得sinCsinAcosB-sinC·sinBcosA=sinBsinCcosA-sinBsinAcosC,即sinCsinAcosB+sinBsinAcosC

=2sinBsinCcosA,由正弦定理可得accosB+abcosC=2bccosA,由余弦定

理的推論可得

(a2+c2-b2)+

(a2+b2-c2)=b2+c2-a2,即2a2=b2+c2.(2)由題意及余弦定理可得,b2+c2-a2=2bccosA=

bc=25,即2bc=31,又由(1)知b2+c2=2a2,所以(b+c)2=2bc+2a2=81,所以b+c=9,所以a+b+c=14,故△ABC的周長(zhǎng)為14.12.(2022全國(guó)乙文,17,12分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).(1)若A=2B,求C;(2)證明:2a2=b2+c2.解析

(1)∵A=2B,sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),∴sinCsinB=sinBsin(C-A),又0<B<π,∴sinB≠0,∴sinC=sin(C-A),又0<C<π,0<A<π,∴-π<C-A<π,∴C=C-A(舍)或C+C-A=π,∴A=2C-π,∴B=

=C-

,又A+B+C=π,∴2C-π+C-

+C=π,∴C=

.(2)證法一:∵sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),∴sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),∴sinCsinAcosB+sinBsinAcosC=2sinBsinCcosA,∴sinA(sinCcosB+cosCsinB)=2sinBsinCcosA,∴sinA·sin(B+C)=2sinBsinCcosA,∴sin2A=2sinBsinCcosA,由正弦定理得a2=2bccosA,又由余弦定理得a2=b2+c2-a2,∴2a2=b2+c2.證法二:∵sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),∴sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),由正弦定理得accosB-bccosA=bccosA-abcosC,∴accosB=2bccosA-abcosC,由余弦定理的推論得ac·

=2bc·

-ab·

,化簡(jiǎn)得2a2=b2+c2.13.(2020北京,17,13分)在△ABC中,a+b=11,再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條

件中選擇一個(gè)作為已知,求:(1)a的值;(2)sinC和△ABC的面積.條件①:c=7,cosA=-

;條件②:cosA=

,cosB=

.注:如果選擇條件①和條件②分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.解析若選條件①:(1)∵a+b=11,∴b=11-a,已知c=7,cosA=-

,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=(11-a)2+72-2×(11-a)×7×

,解得a=8.(2)∵cosA=-

,∴sinA=

=

.∵

=

,∴sinC=

=

.又∵b=11-a=11-8=3,∴S△ABC=

bcsinA=

×3×7×

=6

.若選條件②:(1)∵cosA=

,∴sinA=

=

.∵cosB=

,∴sinB=

=

.由

=

,得

=

,∴5a=6b,又∵a+b=11,∴a=6.(2)由(1)可得b=11-a=5.sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

×

+

×

=

,∴S△ABC=

absinC=

×6×5×

=

.14.(2022福建長(zhǎng)汀一中月考,17)在①2acosC+c=2b,②bsin2A=asinB,③

(sinB+sinC)2=sin2A+3sinBsinC這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫

線上,并加以解答.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若△ABC的

面積為

,a=2且

.求A和△ABC的周長(zhǎng).注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.解析選條件①:∵2acosC+c=2b,∴由正弦定理得2sinAcosC+sinC=2sinB,∴2sinAcosC+sinC=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosA·sinC,∴sinC=2cosAsinC,∵C∈(0,π),∴sinC≠0,∴cosA=

,又∵A∈(0,π),∴A=

.∵△ABC的面積為

,∴S△ABC=

bcsinA=

,∴bc=

,又a=2,∴由cosA=

=

得b+c=2

,∴a+b+c=2+2

,即△ABC的周長(zhǎng)為2+2

.選條件②:∵bsin2A=asinB,∴由正弦定理得2sinBsinAcosA=sinAsinB,又∵A∈(0,π),B∈(0,π),∴sinA≠0,sinB≠0,∴cosA=

,∴A=

.下同選條件①.選條件③:∵(sinB+sinC)2=sin2A+3sinBsinC,∴sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC,由正弦定理得b2+c2-a2=bc,∴cosA=

=

,又A∈(0,π),∴A=

.下同選條件①.15.(2022江蘇南通重點(diǎn)中學(xué)測(cè)試,17)在△ABC中,3sinA=2sinB,tanC=

.(1)求cos2C;(2)若AC-BC=1,求△ABC的周長(zhǎng).解析

(1)∵tanC=

,∴cosC=

,∴cos2C=2×

-1=-

.(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.∵3sinA=2sinB,∴3a=2b,∵AC-BC=b-a=1,∴a=2,b=3.由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2×2×3×

=11,則c=

,故△ABC的周長(zhǎng)為5+

.16.(2022石家莊二中月考,18)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、

c,已知△ABC的面積為

.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長(zhǎng).解析

(1)由題設(shè)得

acsinB=

,即

csinB=

.由正弦定理得

sinCsinB=

,故sinBsinC=

.(2)由題設(shè)及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-

,即cos(B+C)=-

.所以B+C=

,故A=

.由題設(shè)得

bcsinA=

,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=

.故△ABC的周長(zhǎng)為3+

.17.(2018課標(biāo)Ⅰ理,17,12分)在平面四邊形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,

AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2

,求BC.解析

(1)在△ABD中,由正弦定理得

=

.由題設(shè)知,

=

,所以sin∠ADB=

.由題設(shè)知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=

=

.(2)由題設(shè)及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=

.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2

×

=25.所以BC=5.綜合篇考法一三角形形狀的判斷1.(2022江蘇連云港檢測(cè),3)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c若a

=bcosC,則△ABC的形狀為

(

)A.銳角三角形

B.直角三角形C.鈍角三角形

D.不確定答案

B

2.(2022湖南懷化聯(lián)考,5)在△ABC中,sinA=

,則△ABC一定是

(

)A.銳角三角形

B.直角三角形C.鈍角三角形

D.以上都有可能答案

B

3.(2022江蘇南通重點(diǎn)中學(xué)測(cè)試,6)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為

a,b,c,若a2-a2cos2B+b2sin2A=2abcosAcosB,則△ABC的形狀是

(

)A.銳角三角形

B.鈍角三角形C.直角三角形

D.等腰三角形答案

C

4.(多選)(2022江蘇蘇州模擬,10)在△ABC中,

=c,

=a,

=b,下列命題為真命題的有

(

)A.若|a|>|b|,則sinA>sinBB.若a·b>0,則△ABC為銳角三角形C.若a·b=0,則△ABC為直角三角形D.若(b+c-a)·(b+a-c)=0,則△ABC為直角三角形答案

ACD

5.(2022遼寧大連模擬,18)已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別

為a、b、c,且a-b=c(cosB-cosA).(1)判斷△ABC的形狀并給出證明;(2)若a≠b,求sinA+sinB+sinC的取值范圍.解析

(1)△ABC為等腰三角形或直角三角形.證明如下:由a-b=c(cosB-

cosA)及正弦定理得sinA-sinB=sinC(cosB-cosA),即sin(B+C)-sin(A+C)=

sinC·(cosB-cosA),即sinBcosC+cosBsinC-sinAcosC-cosAsinC=sin

CcosB-sinCcosA,整理得sinBcosC-sinAcosC=0,所以cosC(sinB-sinA)=

0,故sinA=sinB或cosC=0,又A、B、C為△ABC的內(nèi)角,所以a=b或C=

,因此△ABC為等腰三角形或直角三角形.(2)由(1)及a≠b知△ABC為直角三角形且不是等腰三角形,A+B=

,C=

,故B=

-A,且A≠

,所以sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+1=sinA+cosA+1=

sin

+1,因?yàn)锳∈

∪

,所以A+

∈

∪

,得sin

∈

,所以

sin

+1∈(2,

+1),因此sinA+sinB+sinC的取值范圍為(2,

+1).考法二與三角形的最值、范圍有關(guān)的問題考向一與三角形面積(最值、范圍)有關(guān)的問題1.(2022廣東深圳福田外國(guó)語高級(jí)中學(xué)調(diào)研,7)在古希臘數(shù)學(xué)家海倫的著

作《測(cè)地術(shù)》中記載了著名的海倫公式,利用三角形的三邊長(zhǎng)求三角形

的面積.若三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則其面積S=

,其中p=

(a+b+c).現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)a,b,c滿足a+b=7,c=5,則此三角形面積的最大值為(

)A.17

B.

C.5

D.

答案

D

2.(2021山東煙臺(tái)二模,18)從①sinA=cos

,②2acosA=bcosC+ccosB,③a-cosC+(2b+c)·cosA=0這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,并給出

解答.問題:在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

.(1)求A;(2)若a=2,求△ABC面積的最大值.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.解析若選①:(1)由sinA=cos

可得2sin

cos

=cos

,因?yàn)?<A<π,所以cos

≠0,故2sin

=1,即sin

=

,由0<

<

可知

=

,所以A=

.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2=bc+4.因?yàn)閎2+c2≥2bc,所以bc≤4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)“=”成立.所以△ABC面積

的最大值為

bcsinA=

×4×

=

.若選②:(1)由正弦定理可得2sinAcosA=sinBcosC+cosBsinC,即2sinAcosA=sin(B+C).因?yàn)锳+B+C=π,所以sin(B+C)=sinA.故2sinAcosA=sinA,解得cosA=

.因?yàn)?<A<π,所以A=

.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2=bc+4.因?yàn)閎2+c2≥2bc,所以bc≤4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)“=”成立.所以△ABC面積

的最大值為

bcsinA=

×4×

=

.若選③:(1)由正弦定理得sinAcosC+(2sinB+sinC)·cosA=0,即2sinBcosA

+sin(A+C)=0.因?yàn)锳+B+C=π,所以sin(A+C)=sinB,可得2sinBcosA+sinB=

0,因?yàn)?<B<π,所以sinB>0,所以cosA=-

.因?yàn)?<A<π,所以A=

π.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2=4-bc.因?yàn)閎2+c2≥2bc,所以bc≤

,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=

時(shí)“=”成立.所以△ABC面積的最大值為

bcsinA=

×

×

=

.3.(2023屆沈陽四中月考,21)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

且sin(2A+B)=sinB-sinA.(1)求C的大小;(2)若CD平分∠ACB交AB于D且CD=

,求△ABC面積的最小值.解析

(1)因?yàn)閟in(2A+B)=sinB-sinA,所以sin(A+B+A)=sin(C+A)-sinA,故sin(π+A-C)=sin(C+A)-sinA,則sin(C-A)=sin(C+A)-sinA,sinCcosA-cosCsinA=sinCcosA+cosCsinA-sinA,2cosCsinA=sinA,由于0<A,C<π,所以sinA>0,所以cosC=

,則C為銳角,且C=

.(2)在△ACD中,由正弦定理得

=

,在△BCD中,由正弦定理得

=

,所以AD·sinA=BD·sinB,由正弦定理得

=

.在△ACD中,由余弦定理得AD2=b2+3-2

b·cos

=b2-3b+3,在△BCD中,由余弦定理得BD2=a2+3-2

a·cos

=a2-3a+3,所以

=

=

,整理得(a+b-ab)(a-b)=0,所以a=b或a+b=ab.當(dāng)a=b時(shí),△ABC是等邊三角形,CD⊥AB,AD=BD=1,AB=AC=BC=2,所以S△ABC=

×2×2×sin

=

.當(dāng)a+b=ab時(shí),ab=a+b≥2

,

≥2,ab≥4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)等號(hào)成立,所以S△ABC=

absinC≥

×4×

=

.綜上所述,△ABC面積的最小值為

.考向二與三角形周長(zhǎng)(最值、范圍)有關(guān)的問題1.(2023屆哈爾濱師大附中月考,7)在銳角三角形ABC中,若

sinB+cosB=2,且滿足關(guān)系式

+

=

,則△ABC周長(zhǎng)的最大值為

(

)A.

B.2

C.4

D.6

答案

D

2.(2023屆遼寧六校期初考試,18)在①S=

(a2+b2-c2),②acosB+bcosA=2ccosC兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充到下面問題中,并完成解答.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,設(shè)S為△ABC的面積,滿足

(填寫序號(hào)即可).(1)求角C的大小;(2)若c=3,求△ABC周長(zhǎng)的最大值.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.解析

(1)若選①,因?yàn)镾=

(a2+b2-c2),所以

absinC=

·2abcosC,所以sinC=

cosC,所以tanC=

,因?yàn)?<C<π,所以C=

.若選②,因?yàn)閍cosB+bcosA=2ccosC,所以由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,所以sin(A+B)=2sinCcosC,即sinC=2sinCcosC,因?yàn)?<C<π,所以sinC≠0,所以cosC=

,所以C=

.(2)由余弦定理得9=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab≥(a+b)2-3·

,所以a+b≤6,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)等號(hào)成立,所以△ABC周長(zhǎng)C△ABC=a+b+c=a+b+3≤6+3=9.因此△ABC周長(zhǎng)的最大值

為9.3.(2020課標(biāo)Ⅱ理,17,12分)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.(1)求A;(2)若BC=3,求△ABC周長(zhǎng)的最大值.解析

(1)由正弦定理和已知得BC2-AC2-AB2=AC·AB①.由余弦定理得BC2

=AC2+AB2-2AC·ABcosA②.由①②得cosA=-

.因?yàn)?<A<π,所以A=

.(2)由正弦定理及(1)得

=

=

=2

,從而AC=2

sinB,AB=2?·sin(π-A-B)=3cosB-

sinB.故BC+AC+AB=3+

sinB+3cosB=3+2

·sin

.又0<B<

,所以當(dāng)B=

時(shí),△ABC周長(zhǎng)取得最大值3+2

.考向三與三角形邊長(zhǎng)(最值、范圍)有關(guān)的問題1.(多選)(2022山東平邑一中開學(xué)考,10)在銳角△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊

分別為a,b,c,且c-b=2bcosA,則下列結(jié)論正確的有

(

)A.A=2BB.B的取值范圍為

C.

的取值范圍為(

,2)D.

-

+2sinA的取值范圍為

答案

AD

2.(2022新高考Ⅰ,18,12分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

=

.(1)若C=

,求B;(2)求

的最小值.解析

(1)∵

=

=

,即

=

,∴cosAcosB-sinAsinB=sinB,即cos(A+B)=sinB,又C=

,∴sinB=cos(A+B)=-cosC=-cos

=

,∵0<B<

,∴B=

.(2)由(1)知,sinB=cos(A+B)=-cosC,∵sinB>0恒成立,∴C∈

,∵-cosC=sin

,∴C-

=B或B+C-

=π(不合題意,舍去),∴A=

-2B,∵A>0,∴B∈

,∴

=

=

=

,令cos2B=t,t∈

,∴

=

=4t+

-5≥4

-5,當(dāng)且僅當(dāng)4t=

,即t=

時(shí),取“=”.∴

的最小值為4

-5.考法三解三角形的實(shí)際應(yīng)用1.(2021山東濰坊一模,16)某市為表彰在脫貧攻堅(jiān)工作中做出突出貢獻(xiàn)的

先進(jìn)單位,制作了一批獎(jiǎng)杯,獎(jiǎng)杯的剖面圖形如圖所示,其中扇形OAB的半

徑為10,∠PBA=∠QAB=60°,AQ=QP=PB,若按此方案設(shè)計(jì),工藝制造廠發(fā)

現(xiàn),當(dāng)OP最長(zhǎng)時(shí),該獎(jiǎng)杯比較美觀,此時(shí)∠AOB=

.答案

2.(2020新高考Ⅰ,15,5分)某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí),學(xué)生加工制作零件,零件的

截面如圖所示.O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心,A是圓弧AB與直線

AG的切點(diǎn),B是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn),四邊形DEFG為矩形,BC⊥DG,垂

足為C,tan∠ODC=

,BH∥DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直線DE和EF的距離均為7cm,圓孔半徑為1cm,則圖中陰影部分的面積為

cm2.

答案

3.(2023屆江西百校聯(lián)盟聯(lián)考,21)江西某中學(xué)校園內(nèi)有塊扇形空地OPQ,經(jīng)

測(cè)量其半徑為60m,圓心角為

,學(xué)校準(zhǔn)備在此扇形空地上修建一所矩形室內(nèi)籃球場(chǎng)ABCD,初步設(shè)計(jì)方案1如圖1所示.(1)取弧PQ的中點(diǎn)E,連接OE,設(shè)∠BOE=α,試用α表示方案1中矩形ABCD的

面積,并求其最大值;(2)你有沒有更好的設(shè)計(jì)方案2來獲得更大的籃球場(chǎng)面積?若有,在圖2中畫

出來,并證明你的結(jié)論.

圖1圖2解析

(1)如圖所示,設(shè)OE交AD于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)N,顯然矩形ABCD關(guān)于

OE所在直線對(duì)稱,點(diǎn)M、N分別為AD、BC的中點(diǎn),∠BOE=α,0<α<

.在Rt△ONB中,BN=60sinα,ON=60cosα.OM=

=

DM=

CN=60

sinα,∴MN=ON-OM=60cosα-60

sinα,即AB=60cosα-60

sinα,又BC=2CN=120sinα,故矩形ABCD的面積S=AB·BC=3600(cosα-

sinα)·2sinα=3600(2sinαcosα-2

sin2α)=3600[sin2α-

(1-cos2α)]=3600(sin2α+

cos2α-

)=7200sin

-3600

.∵0<α<

,∴0<2α<

,∴

<2α+

<

.故當(dāng)2α+

=

,即α=

時(shí),S取得最大值3600(2-

),∴矩形ABCD面積的最大值為3600(2-

)m2.(2)如圖所示,在半徑OP上截取線段AB為矩形的一邊,作矩形ABCD,設(shè)∠BOC=θ,0<θ<

,可得CB=60sinθ,OB=60cosθ,則OA=CBtan

=20

sinθ,故矩形ABCD的面積為S=(OB-OA)·CB=(60cosθ-20

sinθ)×60sinθ=3600

=1800

-600

=1200

-600

=1200

sin

-600

,由0<θ<

,可得

<2θ+

<

,∴當(dāng)2θ+

=

,即θ=

時(shí),S有最大值600

,即籃球場(chǎng)面積的最大值為600

m2,現(xiàn)將兩種方案的最大值進(jìn)行比較大小,∵3600(2-

)-600

=600(12-7

)<0,∴方案2的籃球場(chǎng)面積更大.一、單項(xiàng)選擇題專題綜合檢測(cè)1.(2022廣東深圳七中月考,4)若點(diǎn)M

在角α的終邊上,則tan2α=

(

)A.

B.-

C.

D.-

答案

D

2.(2022海南中部六市縣模擬,3)已知α∈

,tan

=

,則sin(π-α)=

(

)A.

B.

C.-

D.-

答案

A

3.(2022長(zhǎng)沙明達(dá)中學(xué)入學(xué)考,8)△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別

為a、b、c,且a∶b∶c=2∶3∶4,則

等于

(

)A.

B.-

C.2

D.-2答案

C

4.(2022全國(guó)甲理,11,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=sin

在區(qū)間(0,π)恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn),則ω的取值范圍是

(

)A.

B.

C.

D.

答案

C

5.(2012山東,7,5分)若θ∈

,sin2θ=

,則sinθ=

(

)A.

B.

C.

D.

答案

D

6.(2022湖南岳陽平江一中月考,6)若α,β為銳角,且滿足cosα=

,cos(α+β)=

,則sinβ的值為

(

)A.-

B.

C.

D.

答案

B

7.(2022湖北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考,4)設(shè)a=

cos4°-

sin4°,b=

,c=

,則a,b,c的大小關(guān)系正確的是

(

)A.c<b<a

B.a<b<cC.a<c<b

D.b<c<a答案

D

8.(2023屆安徽江淮名校質(zhì)量檢測(cè),6)已知函數(shù)f(x)=a(x+1)2023+b·

cos

+c,其中a,b,c為常數(shù),若f(2022)+f(-2024)=c2+1,則c=(

)A.-1

B.0

C.1

D.2答案

C

9.(2023屆沈陽四中月考,8)已知△ABC,I是其內(nèi)心,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分

別為a,b,c,則

(

)A.

=

(

+

)B.

=

+

C.

=

+

D.

=

+

答案

C

10.(2023屆沈陽四中月考,9)已知α、β∈[0,2π),a=(cosα,sinα),b=(cos(α+β),

sin(α+β)),且|2a-3b|=

,則β可能為(

)A.

B.

C.πD.

答案

BD

二、多項(xiàng)選擇題11.(2023屆哈爾濱師大附中月考,11)已知

≤α≤π,π≤β≤

,sin2α=

,cos(α+β)=-

,則

(

)A.cosα=-

B.sinα-cosα=

C.β-α=

D.cosαcosβ=-

答案

BC

12.(2022遼東南協(xié)作體期中,10)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)

的部分圖象如圖所示,下列說法正確的是

(

)A.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)

對(duì)稱B.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=-

對(duì)稱C.函數(shù)y=f(x)在

上單調(diào)遞減D.該圖象向右平移

個(gè)單位可得y=2sin2x的圖象答案

ABD

13.(2022福建泉州質(zhì)量監(jiān)測(cè)二,11)將函數(shù)f(x)=cos2x的圖象向左平移

個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖象,則

(

)A.函數(shù)f(x)·g(x)是奇函數(shù)B.函數(shù)f(x)·g(x)的圖象關(guān)于直線x=-

對(duì)稱C.函數(shù)f(x)-g(x)的最小正周期為

D.函數(shù)f(x)-g(x)在(0,π)上的單調(diào)遞減區(qū)間是

答案

ABD

14.(2022重慶云陽江口中學(xué)期末,10)已知△ABC中,AB=1,AC=4,BC=

,E為AC中點(diǎn).下列結(jié)論正確的是

(

)A.A=60°B.△ABC的面積為

C.BE=

D.P在△ABE的外接圓上,則PB+2PE的最大值為2

答案

ACD

15.(2022湖南郴州質(zhì)量監(jiān)測(cè),13)已知α∈

,tan

=

,則cosα=

.答案-

三、填空題16.(2022遼寧濱城期中,14)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若

cosC=

,c=

,且

=

,則△ABC的面積等于

.答案

17.(2012山東,16,4分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一單位圓的圓心的

初始位置在(0,1),此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0,0),圓在x軸上沿正向滾動(dòng).當(dāng)

圓滾動(dòng)到圓心位于(2,1)時(shí),

的坐標(biāo)為

.

答案

(2-sin2,1-cos2)18.(2022遼東南協(xié)作體期中,17)已知函數(shù)f(x)=sin2x-

cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸方程;(2)將函數(shù)f(x)的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的兩倍,縱坐標(biāo)不變,

得到函數(shù)g(x)的圖象.當(dāng)x∈

時(shí),求g(x)的值域.