2024版高考復(fù)習(xí)A版數(shù)學(xué)考點(diǎn)考法練習(xí)：二次函數(shù)與冪函數(shù)

高考

數(shù)學(xué)函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)基礎(chǔ)篇考點(diǎn)一二次函數(shù)1.(2023屆蘭州五十五中開學(xué)考,8)函數(shù)f(x)=x2-2|x|+5的單調(diào)增區(qū)間是

(

)A.(-∞,-1)和(0,1)B.(-∞,-1)和(1,+∞)C.[-1,0]和[1,+∞)D.(-1,0)和(0,1)答案

C

2.(2022湖南三湘名校、五市十校聯(lián)考,5)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0,則

“a>b>c”是“函數(shù)f(x)=ax2+bx+c有兩個(gè)零點(diǎn)”的

(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案

A

3.(多選)(2022廣東普寧段考,10)已知函數(shù)f(x)=x2-3x-4,則

(

)A.函數(shù)f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)B.函數(shù)f(x)有最大值C.對(duì)任意x∈R,f(x)≥-

恒成立D.?x∈R,使得函數(shù)f(x)=π答案

ACD

4.(2021廣東深圳一模,13)已知函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,且與直線y=x相

切,則滿足上述條件的二次函數(shù)可以為f(x)=

.答案

x2+

(答案不唯一)5.(2022北京,14,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=

若f(x)存在最小值,則a的一個(gè)取值為

;a的最大值為

.答案

([0,1]中任意一個(gè)實(shí)數(shù)都可以,答案不唯一)

16.(2023屆安徽六安新安中學(xué)開學(xué)考,22)已知函數(shù)f(x)=x2+ax-2,a∈R.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)<0的解集;(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥(2a-1)x-6在(0,2]上恒成立,求a的最大值.解析

(1)當(dāng)a=1時(shí),由f(x)<0得x2+x-2<0,即(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1,所以不等式的解集為(-2,1).(2)由f(x)≥(2a-1)x-6得x2+(1-a)x+4≥0,所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x2+(1-a)x+4≥0在

(0,2]上恒成立,即a≤x+

+1在(0,2]上恒成立,因?yàn)閤∈(0,2],所以x+

+1≥2

+1=5,當(dāng)且僅當(dāng)x=

,即x=2時(shí)取等號(hào),所以x+

+1的最小值為5,所以a≤5,所以a的最大值為5.考點(diǎn)二冪函數(shù)考向一冪函數(shù)的圖象問(wèn)題1.(多選)(2022江蘇鹽城阜寧中學(xué)段測(cè),9)若點(diǎn)A(m,n)在冪函數(shù)y=xa(a∈R)

的圖象上,則下列結(jié)論可能成立的是

(

)A.

B.

C.

D.

答案

ABC

2.(2021河北唐山二模,3)不等式

≤

的解集是

(

)A.

B.

C.

D.

答案

B

3.(2022廣東普通高中質(zhì)檢,15)若冪函數(shù)y=f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(8,2

),則函數(shù)f(x-1)-f

2(x)的最大值為

.答案-

4.(2022河北保定重點(diǎn)高中月考,14)若函數(shù)f(x)=(m+2)xa是冪函數(shù),且其圖象

過(guò)點(diǎn)(2,4),則函數(shù)g(x)=loga(x+m)的單調(diào)增區(qū)間為

.答案

(1,+∞)考向二冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用1.(2021北京延慶一模,7)已知定義在R上的冪函數(shù)f(x)=xm(m為實(shí)數(shù))的圖象

過(guò)點(diǎn)A(2,8),記a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(m),則a,b,c的大小關(guān)系為

(

)A.a<b<c

B.a<c<b

C.c<a<b

D.c<b<a答案

A

2.(2022湖南邵陽(yáng)、郴州二模,4)“

<

”是“-2<a<

”的

(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案

A

3.(2023屆蘭州五十五中開學(xué)考,15)冪函數(shù)f(x)=

(m∈Z)為偶函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù),則m=

.答案

14.(2018上海,7,5分)已知α∈

-2,-1,-

,

,1,2,3

.若冪函數(shù)f(x)=xα為奇函數(shù),且在(0,+∞)上遞減,則α=

.答案-15.(2021新高考Ⅱ,14,5分)寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x):

.①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)>0;③f'(x)是奇函數(shù).答案

f(x)=x4(x∈R)(答案不唯一)綜合篇考法一求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值(值域)的方法1.(2023屆江西上饒、景德鎮(zhèn)六校聯(lián)考,19)函數(shù)f(x)=ax2+bx-3的圖象與x軸

交于點(diǎn)(3,0)且f(1-x)=f(1+x).(1)求該函數(shù)的解析式;(2)當(dāng)x∈[-1,m]時(shí),函數(shù)f(x)=ax2+bx-3有最小值2m,求m的值.解析

(1)因?yàn)閒(1-x)=f(1+x),所以函數(shù)f(x)=ax2+bx-3的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)

稱,所以-

=1,即b=-2a,又函數(shù)f(x)=ax2+bx-3的圖象與x軸交于點(diǎn)(3,0),所以9a+3b-3=0,解得a=1,b=-2,所以f(x)=x2-2x-3.(2)f(x)=x2-2x-3圖象的對(duì)稱軸為直線x=1且開口向上.①若-1<m<1,則當(dāng)x=m時(shí),函數(shù)f(x)=x2-2x-3取得最小值,即m2-2m-3=2m,解得

m=2-

或m=2+

(舍去),②若m≥1,則當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)=x2-2x-3取得最小值,即2m=-4,解得m=-2(舍去).綜上所述,m的值為2-

.2.(2022河北保定重點(diǎn)高中月考,20)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知f(x)<

0的解集為(-1,3).(1)求b,c的值;(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-ax在區(qū)間[0,2]上的最小值為-4,求實(shí)數(shù)a的值.解析

(1)由f(x)<0的解集為(-1,3)可知x=-1和x=3是關(guān)于x的一元二次方程

x2+bx+c=0的解,故

解得b=-2,c=-3.(2)g(x)=f(x)-ax=x2-(a+2)x-3的圖象開口向上,對(duì)稱軸為直線x=

.(i)當(dāng)

≥2,即a≥2時(shí),函數(shù)g(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,g(x)min=g(2)=-2a-3=-4,解得a=

(舍);(ii)當(dāng)

≤0,即a≤-2時(shí),函數(shù)g(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,g(x)min=g(0)=-3≠-4(舍);(iii)當(dāng)0<

<2,即-2<a<2時(shí),函數(shù)g(x)在[0,2]上先減后增,g(x)min=g

=-3-

=-4,解得a=-4(舍)或a=0.綜上,a=0.3.(2022山東煙臺(tái)萊州一中測(cè)試,21)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,且滿足f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x+1.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若關(guān)于x的方程f(x)-m=0在x∈[-1,2]上有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(3)當(dāng)x∈[t,t+2](t∈R)時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值(用t表示).解析

(1)∵f(x+1)-f(x)=2x+1,∴a(x+1)2+b(x+1)+c-ax2-bx-c=2ax+a+b=2x+1,

∴

解得a=1,b=0,又f(0)=2,∴c=2,∴f(x)=x2+2.(2)由f(x)-m=0得,方程x2+2=m在x∈[-1,2]上有解,如圖,由圖可知2≤m≤6,

∴m的取值范圍為[2,6].(3)∵x∈[t,t+2],∴①t≥0時(shí),f(x)的最小值為f(t)=t2+2;②t<0且t+2>0,即-2<t<

0時(shí),f(x)的最小值為f(0)=2;③t+2≤0,即t≤-2時(shí),f(x)的最小值為f(t+2)=(t+2)

2+2=t2+4t+6.綜上,t≥0時(shí),f(x)的最小值為t2+2;-2<t<