專題24.13 圓章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）（人教版）（原卷版）

專題24.13圓章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1巧用圓的半徑相等】 1【題型2由點與圓的位置關系求求范圍】 2【題型3弧、弦、角、之間的關系】 3【題型4垂徑定理】 5【題型5圓周角定理】 6【題型6圓內(nèi)接四邊形】 7【題型7直線與圓的位置關系】 8【題型8切線長定理的運用】 10【題型9弧長的計算】 11【題型10扇形面積的計算】 12【題型1巧用圓的半徑相等】【方法點撥】解決此類問題的關鍵是連接半徑，抓住圓的半徑相等是關鍵.【例1】（2023秋·廣東汕頭·九年級統(tǒng)考期末）如圖，AB是⊙O的弦，OD為⊙O半徑．OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OD=2OC，則∠ODB為（

）度A．60 B．65 C．70 D．75【變式1-1】（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，半圓O的直徑AB=10，將半圓O繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°得到半圓O'，與AB交于點P，那么AP=（

A．2.5 B．5 C．10-52 D．【變式1-2】（2023秋·河北唐山·九年級唐山市第十二中學?？计谀┤鐖D，⊙O的直徑AB與弦CD的延長線交于點E，若DE=OB，∠AOC=84°，則∠E等于（）A．42° B．28° C．21° D．20°【變式1-3】（2023秋·天津南開·九年級南開翔宇學校?？计谀┤鐖D，⊙O的半徑為2，AB為圓上一動弦，以AB為邊作正方形ABCD，求OD的最大值．【題型2由點與圓的位置關系求求范圍】【方法點撥】解決此類問題關鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當d＞r時，點在圓外；當d＝r時，點在圓上，當d＜r時，點在圓內(nèi)．【例2】（2011秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中）直角坐標系中，已知點A(1,0)，⊙A的半徑是5，若點D(-2,a)在⊙A外，則a的范圍是()A．a(chǎn)>4 B．a(chǎn)>4或a<-4 C．a(chǎn)<-4 D．-4<a<4【變式2-1】（2023春·河北石家莊·九年級?？奸_學考試）在數(shù)軸上，點A所表示的實數(shù)為3，點B所表示的實數(shù)為a，⊙A的半徑為2，下列說法錯誤的是（

）A．當a<5時，點B在⊙A內(nèi) B．當1<a<5時，點B在⊙A內(nèi)C．當a<1時，點B在⊙A外 D．當a>5時，點B在⊙A外【變式2-2】（2023秋·北京海淀·九年級北京交通大學附屬中學?？计谀τ谄矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中的圖形M和點P給出如下定義：Q為圖形M上任意一點，若P，Q兩點間距離的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，則稱點P為圖形M的“二分點”．已知點N（3，0），A（1，0），B（0，3），C（3，﹣1）．(1)①在點A，B，C中，線段ON的“二分點”是；②點D（a，0），若點C為線段OD的“二分點”，求a的取值范圍；(2)以點O為圓心，r為半徑畫圓，若線段AN上存在⊙O的“二分點”，直接寫出r的取值范圍．【變式2-3】（2023秋·廣東江門·九年級?？计谀┤鐖D，正方形ABCD中，AB=5cm，以B為圓心，1cm為半徑畫圓，點P是⊙B上一個動點，連接AP，并將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AP'，連接BP'，在點P移動的過程中，B【題型3弧、弦、角、之間的關系】【方法點撥】在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等，其中圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等.【例3】（2023秋·河北廊坊·九年級?？计谥校┤鐖D，BC=CD=DE，已知AB是⊙O的直徑，∠COD=35°，那么

A．40° B．70° C．75° D．105°【變式3-1】（2023秋·黑龍江大慶·九年級?？计谥校┤鐖D，在⊙O中，AB、DE為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，且AD=CE．（1）BE與CE有什么數(shù)量關系？為什么？（2）若∠BOE=60°，則四邊形OACE是什么特殊的四邊形？請說明理由．【變式3-2】（2023秋·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，⊙O的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AB=CD．

(1)求證：BE=CE；(2)若AE=1，CE=3，求⊙O的半徑．【變式3-3】（2023秋·浙江杭州·九年級期末）已知⊙O的直徑AB=4，弦AC與弦BD交于點E．且OD⊥AC，垂足為點F．（1）如圖1，如果AC=BD，求弦AC的長；（2）如圖2，如果E為弦BD的中點，求EF:DF【題型4垂徑定理】【方法點撥】垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。幌业拇怪逼椒志€過圓心，且平分弦對的兩條?。纠?】（2023秋·江蘇南京·九年級校聯(lián)考期末）在同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點．(1)如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7，AB=24，則CD的長為___________．(2)如圖②，大圓的另一條弦EF交小圓于G，H兩點，若AB=EF，求證CD=GH．【變式4-1】（2023秋·河北張家口·九年級張家口東方中學校考期末）如圖，⊙O的半徑為6cm，AB是弦，OC⊥AB于點C，將劣弧AB沿弦AB折疊，交OC于點D，若D是OC的中點，則AB的長為．

【變式4-2】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD交于點E，∠DEB=30°，AE=2，

【變式4-3】（2023秋·湖北宜昌·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊行ABCD中，AB＝5，BC＝8，BC邊上的高AH＝3，點P是邊BC上的動點，以CP為半徑的⊙C與邊AD交于點E，F(xiàn)（點E在點F的左側(cè)）．（1）當⊙C經(jīng)過點A時，求CP的長；（2）連接AP，當AP∥CE時，求⊙C的半徑及弦EF的長．【題型5圓周角定理】【方法點撥】圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。【例5】（2023秋·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點P是Rt△ABC外接圓上的一點，且

(1)如圖1，求證：AP=BP；(2)如圖2，連接BP，AP．點M為弧AP上一點，過P作PD⊥BM于D點，求證：BD=MD+AM；(3)如圖3，點Q是弧AP上一動點（不與A，P重合），連PQ，AQ，BQ．求BQ-AQPQ【變式5-1】（2023春·山東濟寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將AC沿弦AC折疊交直徑AB于圓心O，則∠AOC=度．

【變式5-2】（2023春·浙江杭州·九年級校考期中）如圖，AD是△ABC的外角平分線，與△ABC的外接圓交于點D，連接BD交AC于點F，且BC=CF，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．∠ADB=∠CDB B．3∠ACB+∠ACD=180°C．3∠BDC+2∠ABD=180° D．3∠BAD+∠ABD=360°【變式5-3】（2023春·吉林長春·九年級?？计谥校┤鐖D，?OABC的頂點A、B、C都在⊙O上，點D為⊙O上一點，且點D不在AB上，則∠ADB【題型6圓內(nèi)接四邊形】【方法點撥】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補,且任意一個角的外角都等于其內(nèi)對角.【例6】（2023秋·浙江溫州·九年級期末）在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分線交于點E，過E作直線MN平行于BC，與AB、CD交于M、N，則總有MN＝(

)A．BM+DN B．AM+CN C．BM+CN D．AM+DN【變式6-1】（2023秋·福建泉州·九年級?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，AB=AC,?∠ADB=90°，過A,B,D三點的圓交BC邊于點（1）求證：E是BC的中點；（2）若BC=2CD，求證：∠BCD=2∠ABD．【變式6-2】（2023秋·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分別為BC、CD上一點，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．則BE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式6-3】（2023秋·遼寧盤錦·九年級?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC是直徑，AB=BC，連接OD，BD，過點D的直線與CA的延長線相交于點E，且∠EDA=∠ACD．(1)求∠EDO的度數(shù)．(2)若AD=3，CD=4，求AB，BD的長．(3)若AD=a，CD=b，直接寫出BD的長．【題型7直線與圓的位置關系】【方法點撥】直線和圓的三種位置關系：（1）相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線與圓相交，這時的直線叫做圓的割線；（2）相切：直線與圓有唯一公共點時，叫做直線與圓相切，這條直線叫做圓的切線，公共點叫做切點；（3）直線與圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離.【例7】（2023春·黑龍江綏化·九年級統(tǒng)考期末）如圖已知⊙P的半徑為3，圓心P在拋物線y=13x2-1上運行，當⊙P與y

【變式7-1】（2023秋·湖北鄂州·九年級校聯(lián)考期末）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C為圓心所作的圓與邊AB僅一個交點，則半徑r為【變式7-2】（2023秋·江蘇泰州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，半圓的圓心與坐標原點重合，半圓的半徑為2，直線l的解析式為y＝x+t．若直線l與半圓只有一個交點，則t的取值范圍是．【變式7-3】（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知∠AOB=45°，M是射線OB上一點，OM=2．以點M為圓心、r為半徑畫⊙M(1)當⊙M與射線OA相切時，求r的值；(2)寫出⊙M與射線OA的公共點的個數(shù)及對應的r的取值范圍．【題型8切線長定理的運用】【方法點撥】切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.【例8】（2023春·浙江·九年級期中）小明準備以“青山看日出”為元素為永嘉縣某名宿設計標志示意圖，如圖所示，他利用兩個等邊三角形和一個圓分別表示青山和日出，已知點B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，且BE=EC=2CF，四邊形ABEG和四邊形GCFD的面積之差為73，則CF的長是；連結(jié)AD，若⊙O是△ADG的內(nèi)切圓，則圓心O到BF的距離是【變式8-1】（2023·北京·九年級專題練習）如圖，P為⊙O外一點，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，點C在⊙O上，連接OA，OC，AC．(1)求證：∠AOC=2(2)連接OB，若AC∥OB，⊙O的半徑為5，AC=6，求AP的長．【變式8-2】（2023·山西大同·校聯(lián)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，DB、DE分別切⊙O于點B、C，若∠ACE=25°，則∠D的度數(shù)是；

【變式8-3】（2023秋·遼寧鞍山·九年級校聯(lián)考期中）如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，與BA的延長線交于點D，DE⊥PO交PO延長線于點E，連接OC，PB，已知PB=6，DB=8，∠EDB=∠EPB．

(1)求證：PB是⊙O的切線：(2)求⊙O的半徑．【題型9弧長的計算】【方法點撥】解決此類問題掌握弧長的計算公式是關鍵.【例9】（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，同一個圓中的兩條弦AB、CD相交于點E．若∠AEC=120°，AC=4，則AD與BC長度之和的最小值為（）A．4π B．2π C．43π D【變式9-1】（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在等邊三角形ABC中，D為BC的中點，ADB交AC于點E，若AB＝2，則DE的長為

【變式9-2】（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，分別以正方形ABCD的頂點D，C為圓心，以AB長為半徑畫AC，BD．若AB=2，則陰影部分的周長為（結(jié)果保留π）．

【變式9-3】（2023秋·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，點A、B、C在圓O上，∠ABC=60°，直線AD∥BC，AB=AD，點O在(1)判斷直線AD與圓O的位置關系，并說明理由；(2)若圓的半徑為6，求劣弧BC的長．【題型10扇形面積的計算】【方法點撥】解決此類問題掌握扇形面積的計算公式是關鍵.【例10】（2023秋·貴州黔西·九年級?？计谥校┤鐖D，有一圓形紙片圓心為O，直徑AB的長為2，BC//AD，將紙片沿BC、AD折疊，交于點O，那么陰影部分面積為（

）A．2π3-12 B．π3+【變式10-1】（2023春·重慶·九年級重慶一中校考階段練習）如圖，在菱形ABCD中，AB=