2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版教案：第5章 第4節(jié) 第1課時(shí)　余弦定理、正弦定理

備圖就解三角形

第1課時(shí)余弦定理、正弦定理

［考試要求］掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問

［走進(jìn)教材-夯實(shí)基礎(chǔ)］回顧知識(shí)?激活技能

c＞梳理?必備知識(shí)

1.正弦、余弦定理

在△ABC中，若角A,B,。所對(duì)的邊分別是a,b,c,R為AABC的外接

圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

〃2=/72+。2—22(?cosA；

a_____h_____c___

內(nèi)容12=c2+〃2_2ccCOSB;

sinA-sinB-sinC~

c2=屋+上2-2a/7_cos_C

左+。2—〃2

(l)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；cosA—出：

(2)a:b:c=sinAIsinBIsinC；d+a2一〃2

變形cos8一次;

?+b+c________a___

⑶sinA+sinB+sinCsinA次+廿一c2

cosC-2ab

2.三角形常用面積公式

表示邊。上的高）;

(2)5=2^sinC=］acsinB=QbcsinA；

(3)S=；r(a+人+c)(r為內(nèi)切圓半徑).

［常用結(jié)論］

1.三角形內(nèi)角和定理

A+BC

在△ABC中，A4-B+C=TI;變形：與—=2~~2

2.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系

(l)sin(A+B)=sinC:(2)cos(A+B)=-cosC:

A+BCA+BC

(3)sin-2-=cosy；(4)cos--=siny.

3.三角形中的射影定理

在AABC中，a=bcosC+ccos8;b=acosC+ccosA:c=bcosA+acosB.

4.三角形中的大角對(duì)大邊

在△ABC中，A>sinB.

?激活?基本技能

一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比.()

(2)在△ABC中，若sinA>sinB,則A>8.()

,.aa-\-b-c

(3)在△AABC1~T-—?~()

sinAsin/4+sinB—smC

(4)當(dāng)〃+c2一層>()時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)序+/—/=()時(shí)，△ABC

為直角三角形；當(dāng)〃+/一層〈()時(shí)，△ABC為鈍角三角形.()

［答案］⑴*(2)7(3)V(4)X

二'教材習(xí)題衍生

JT7T

1.已知△ABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,若4=mB=1,

a=l,則b=()

A.2B.1C.yf3D.也

n_

,ab,asinBSin4-\/2_

D[由；而Z付,v人=-^「“=1=2*2=也-]

sin6

2.在△ABC中，若a=2,c=4,8=60°,則Z?等于()

A.2小B.12C.2由D.28

A[由余弦定理b2=a2+c2~2accosB,得b2=4+16—8=12,所以b=2?

3.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知C=60°,b=y[6,

c=3,則A=.

2

75°［由正弦定理，得sin8=號(hào)14=班呼2一=坐，所以5=450或

135°,因?yàn)閄c,所以B<C,故B=45°,所以A=75°.］

4.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=4,b=5,c=6,

則cos4=,△ABC的面積為.

315s心際岳p〃廿+<?一<?3

4［依越意付cosA=-詼一=不

...............s

所以sinA1—cos27l=,

所以AABC的面積為^hcsinA=.］

［細(xì)研考點(diǎn)-突破題型］重難解惑?直擊高考

□考點(diǎn)一利用正'余弦定理解三角形枷生共研

［典例1］⑴已知△A8C的內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bsin

2A—asinB,且c=2。，則稱等于()

A.2B.3C.y［2D.小

a+6sinC

Q)在①②cosA=^/3sinA—1；(3>j3cos^=sinA這三

c-bsinA-sinB'

個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.

問題：已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是mb,c,〃-c=4,△

ABC的外接圓半徑為2小，且________,求角A及aABC的邊8C上的高瓦

(1)D［由正弦定理及Z?sin2A=asinB,得2sinBsinAcosA=sinAsin8,又

sinAHO,sin則cos.又c=2。，所以由余弦定理得42=力2+。2—2bccos

A=〃+482—4〃X；=3b2,得號(hào)=小.故選D.］

⑵［解］選擇①：

,sinC,6,

由c，_7=sinA—sinB'仔(。+〃)6也A-sinB)=sinC(c-/?),

由正弦定理，得(a+/?)(a—Z?)=c(c—/?),

222

整理得a=b+c—bc9

3

2

從+c一層be1

所以=9

cosA=2bc2bc2

71

又0<4v兀,所以A=§.

由正弦定理得〃=4小sin鼻=6,

由余弦定理得/=〃+/一反=（〃一。）2+反=16+9=36,

所以反=20,

所以△ABC的面積S=^bcsinA=^ah,

,.420xg巧

GMi,besinA______25/3

所以h——乙一々.

a63

選擇②：

由cosA=M§sinA—1,

得小sinA—cosA=l,即sin（人一"=；.

jrjrjr

因?yàn)椋ㄘ＃?，所以，所?/p>

Ad'0,'A—Zo=ZoA=f5.

由正弦定理得a=4小sin^=6,

由余弦定理得片=乂+?一歷=S—C)2+"C=16+歷=36,

所以兒=20,

所以△ABC的面積S=；bcsinA=；M,

20X坐_5仍

的一；besinA

所以h=-------

6—3.

選擇③：

AAA

因?yàn)?cosy=sinA=2sin5cosg,

AAOjr

又cos5WO,所以sin5=為",因此A=7.

由正弦定理得4=4，§sin與=6,

由余弦定理得屋=〃+廿+兒=3—。)2+3秘=16+3儀;=36,

4

所以bc=~^,

所以△ABC的面積S=gbcsin

&X近L

besinA325s

所以—9.

令反思領(lǐng)悟利用正、余弦定理解三角形的策略

(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余

元素，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方

程，通過解方程求得未知元素.

(2)正弦定理、余弦定理的另一個(gè)作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題

時(shí)可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)

系.

一［跟進(jìn)加練］

1.(2021.福建莆田二模)在△ABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,

2

A=2B,cosB=yC4-Cfe=88.

(1)求cosC的值；

(2)求△ABC的周長.

［解］⑴由C%①=88,得"cosC=88,

,1

\"A=2B,...cosA=cos2B=2cos-B—1=一三，

._______、行

VA,BE(0,n),sinB>0,/.sinB=y］1—cos2B=

si迅=乒總=%

故cosC=cos［K—(A+B)］=—cos(A+B)=—cosAcosB+sinAsinB,

「I、，?4-、,小22

則nlcosC=gX-+-X-^-=—

22

(2Y：ahcosC=88,A^X—=88,解得：?/?=108,

abpab,a2sinBcosB_4

由而^=而引于：sin28=sinB'故L5=―sinB—=2cosB=3?

5

cib=108,ci=12,

由‘解得，

3〃=4h,、b=9,

由余弦定理得。2=4+。2—2R,cosC,

22

則"=144+81—2X12X92方=49,故c=7,

故△ABC的周長是a+b+c=12+9+7=28.

□考點(diǎn)二判斷三角形的形狀枷生共冊(cè)

【典例2］設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,若反osC+

ccosB=asinA,則△ABC的形狀為（）左蜃都

A.直角三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.不確定

+〃一02+廿一/

A［法一：（化角為邊）因?yàn)閎cosC+ccosB=b-yv+c-5一;=

2〃2

元=a,所以〃sinA=a,即sinA=l,故A=/,因此△ABC是直角三角形.

法二：（化邊為?。┮?yàn)閎cosC+ccosB=asinA9

所以sinBcosC+sinCeosB=sin2A,

即sin（B+Q=sin2A,所以sinA=sin2A,

TT

故sinA=l,即A=5，因此△ABC是直角三角形.

jr

法三：（射影定理）/?cosC+ccosB=a=asinA,/.sinA=1,故A=,，因此

△ABC是直角三角形.］

［母題變遷］

若本例條件變?yōu)椤蓖?，判斷△A3C的形狀.

UCOS/I

,..acosB

即,47由廣五彳

z^sinAcosB

仔sincosA9

所以sinAcosA=cosBsinB,

所以sin2A=sin2B.

因?yàn)锳,3為△ABC的內(nèi)角，

6

所以2A=28或2A=兀-2B,

TT

所以A=B或A+B=2>

所以aABC為等腰三角形或直角三角形.

⑨反思領(lǐng)悟判定三角形形狀的兩種常用途徑

判通過正弦定理、余弦定理化角為邊，通過代數(shù)恒

產(chǎn)幽■:等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷

定

途

徑而萬曲J通過正弦定理、余弦定理化邊為角，利用三角變

田出廠換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷

提醒：在判斷三角形的形狀時(shí)一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

2.在△A3C中，a,b,c分別表示三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，若(〃2+〃)sin

(A—B)=(a2—/>2)sin(A+B),則三角形的形狀為()Q^工港

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

D[法一：已知等式可化為a2[sin(A—B)—sin(A+B)]=扶[―sin(A—B)—sin

(A+3)],即2?2cosAsinB=2b2cosBsinA.結(jié)合正弦定理，上式可化為sin2AcosA

sinB=sin25cosBsinA,即sinAsinB(sinAcosA—sinBcosB)=0,

；sinAsinB(sin2A—sin28)=0,A,B均為△ABC1的內(nèi)角，.'.sinAHO,sin

B豐0,.,.sin2A—sin23=0,

即sin2A=sin28,又..'A,BG(0,兀)，：.0<2A<2n,Q<2B<2n,：.2A=

TT

28或2A+28=兀，即A=8或A+B=5，

...△ABC的形狀為等腰三角形或直角三角形，故選D.

法二：已知等式可化為/[sin(A-B)-sin(A+B)]=序[-sin(A-B)~sin(A

+B)],即2/8$/15皿3=2"28585皿4

+/一屋屋+02—82

由正、余弦定理，可得標(biāo)?噸c.b=b2.&c?a,

a2(/>2+c2~a2)=b2(c^+c2—b2),(a2—b^fa2+b2—c2)=0,：.a=b或a2

7

+/=/,.?.△ABC的形狀為等腰三角形或直角三角形，故選D.]

n考點(diǎn)三與三角形面積有關(guān)的問題枷生共研

[典例3]如圖，在△ABC中，。為的中點(diǎn)，A3=4,AD=y[Td,AC=

(1)求aABC的面積；

(2)求cos(2C+1)的值.

[解](1)設(shè)BD=CO=x,

在△A3。和△AC。中，利用余弦定理：

x24-10-42x2-^10-62

3NA*C0SZADC=2Xy[idx/

又cosNADB=-cosNA。。,

10—62f+10—42

整理得

2y[Tbx~2y[lbx

解得x=4或一4(舍去),

7,V15

故cosC=Q,所以sinC—

o8，

故S4ABC=KX6X8X'Q=3yl15.

Lo

一-17,sin2C=2sinCcosC=2X^

22

(2)cos2C=cosC—sinC=328

8_32，

_71._.兀17-21小

故cos(2C+cos2Ccossin2Csing=