專題1.1 銳角的三角函數(shù)【十大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版）

專題1.1銳角的三角函數(shù)【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1正弦、余弦、正切的概念辨析】 2【題型2根據(jù)定義直接求角的正弦、余弦、正切值】 4【題型3根據(jù)正弦、余弦、正切的定義求邊長】 8【題型4特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算】 13【題型5構(gòu)造直角三角形求角的正弦、余弦、正切值】 15【題型6根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】 20【題型7已知角度比較三角函數(shù)值的大小】 24【題型8根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍】 26【題型9利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值】 27【題型10三角函數(shù)的綜合運(yùn)用】 30【知識點銳角三角函數(shù)】在Rt△ABC中，∠C=90°，則的三角函數(shù)如下表：定義表達(dá)式取值范圍關(guān)系正弦(∠A為銳角)余弦(∠A為銳角)正切(∠A為銳角)特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)30°45°60°1【題型1正弦、余弦、正切的概念辨析】【例1】（2023秋·山東濟(jì)寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，則下列比值中不等于cosB的是（）A．CDAC B．BDCB C．CDCB【答案】C【分析】根據(jù)已知可得∠B=∠ACD，然后利用銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】A．∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADB=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，在Rt△ACD中，cos∠ACD=CDAC∴cosB=CDAC故A不符合題意；B．在Rt△DBC中，cosB=BDCB，故BC．在Rt△DBC中，cos∠BCD=CDCB∵∠A≠45°，∴∠B≠45°，∴∠B≠∠BCD，∴cosB≠CDCB故C符合題意；D．在Rt△ABC中，cosB=CBAB，故D故選：C．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，熟練掌握銳角三角函數(shù)只與角度大小有關(guān)與角度位置無關(guān)是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023秋·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期末）已知Rt△ABC中，∠C=90°,b為∠B的對邊，a為∠A的對邊，若b與∠A已知，則下列各式正確的是（

）A．a(chǎn)=bsin∠A B．a(chǎn)=bcos∠A C．a(chǎn)=btan∠A D．a(chǎn)=b÷tan∠A【答案】C【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義列出算式，然后變形計算即可．【詳解】解：如圖所示：tanA=ab則a=btan∠A．故選：C．【點睛】此題考查銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023秋·安徽合肥·九年級統(tǒng)考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三邊都縮小5倍，則sinA的值（

A．放大5倍 B．縮小5倍 C．不變 D．無法確定【答案】C【分析】直接利用銳角的正弦的定義求解．【詳解】解：∵∠C＝90°，∴sinA＝∠A的對邊與斜邊的比，∵△ABC的三邊都縮小5倍，∴∠A的對邊與斜邊的比不變，∴sinA的值不變．故選：C．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：在Rt△ABC中，∠C＝90°．銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．【變式1-3】（2023秋·吉林長春·九年級校考期中）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺起重機(jī)的示意圖，該起重機(jī)的變幅索頂端記為點A，變幅索的底端記為點B，AD垂直地面，垂足為點D，BC⊥AD，垂足為點C．設(shè)∠ABC=α，下列關(guān)系式正確的是（

A．sinα=ABBC B．sinα=BCAB【答案】D【分析】根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】∵BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∵∠ABC=α，∴sinα=故選：D．【點睛】本題考查了正弦三角函數(shù)的定義．在直角三角形中任意銳角∠A的對邊與斜邊之比叫做∠A的正弦，記作sin∠A．掌握正弦三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．【題型2根據(jù)定義直接求角的正弦、余弦、正切值】【例2】（2023秋·重慶萬州·九年級統(tǒng)考期末）直角三角形紙片ABC，兩直角邊BC=4，AC=8，現(xiàn)將△ABC紙片按如圖那樣折疊，使A與電B重合，折痕為DE，則tan∠CBE的值是（

A．12 B．34 C．1 D【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出BE=AE，設(shè)CE=x，則BE=AE=8-x，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理得出BC2【詳解】解：∵△ADE沿DE折疊得到△BDE，∴BE=AE，設(shè)CE=x，則BE=AE=8-x，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理可得：B即42+x∴tan∠CBE=故選：B．【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，正切的定義，解題的關(guān)鍵是掌握折疊前后對應(yīng)邊相等．【變式2-1】（2023·內(nèi)蒙古·二模）如圖，在?ABCD中，AD>AB，按如下步驟作圖：①以點A為圓心，以AB的長為半徑作弧，交AD于點E，②分別以點B，E為圓心，以大于號12BE的長為半徑在BE右側(cè)作弧，兩弧交于點G，③射線AG交BC于點F．若AB=5，BE=6，則cos

A．34 B．43 C．35【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，證明?ABFE是菱形，再根據(jù)勾股定理可得OF=B【詳解】∵以點A為圓心，以AB的長為半徑作弧，交AD于點E，∴AB=AE，∵分別以點B，E為圓心，以大于號12BE的長為半徑在BE右側(cè)作弧，兩弧交于點∴∠EAF=∠BAF，∵AE∥∴∠EAF=∠AFB，∴∠BAF=∠AFB，∴AB=BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴?ABFE是菱形，∴AF⊥BE，即∠BOF=90°，∵BE=6，∴BO=1根據(jù)勾股定理可得，OF=∴cos∠AFB故選：D．

【點睛】此題考查了基本作圖-作角平分線、等腰三角形的判定、勾股定理、菱形判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟悉菱形的性質(zhì)．【變式2-2】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正方形ABCD中，AB=3，點E為直線BC上一點，BE=2EC，連接AE．則sin∠DAE的值為【答案】55或【分析】由正方形性質(zhì)，BC=AB=3，AD∥BC，得∠DAE=∠AEB；分情況討論：若點E在線段BC上，可求BE1=2，AE1=13，于是sin∠DAE1=【詳解】解：正方形ABCD中，BC=AB=3，AD∴∠DAE=∠AEB.若點E在線段BC上，則B∴BE∴AE∴sin∠DA若點E在線段BC延長線上，則BE∴BE∴AE∴sin∠DA∴sin∠DAE的值為55或【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，正弦的定義；根據(jù)正方形性質(zhì)求解相關(guān)線段是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023·福建龍巖·九年級統(tǒng)考自主招生）如圖，在△ABC中，點F為其重心，連接AF、BF并延長分別交BC、AC于點D、E，且AB=AC=13，CD=5，則cos∠EBC=【答案】54141【分析】先根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得到AD為△ABC的中線，AF=2DF，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，BD=CD=5，則利用勾股定理得到AD=12，所以DF=4，接著計算出BF，然后根據(jù)余弦的定義求解．【詳解】解：∵點F為△ABC的重心，∴AD為△ABC的中線，AF=2DF，∵AB=AC=13，CD=5，∴AD⊥BC，BD=CD=5，在Rt△ABD中，AD=∴DF=1在Rt△BDF中，BF＝BF=∴cos∠FBD=故答案為：541【點睛】本題考查了三角形的重心，三角形的重心是三角形三邊中線的交點；重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形．【題型3根據(jù)正弦、余弦、正切的定義求邊長】【例3】（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是邊長為8的正方形，E是邊CB延長線上的一點，BE=6．點F在該正方形的邊上運(yùn)動，當(dāng)CF=AE時，設(shè)直線CF與直線EA相交于點H，則FH的長為．

【答案】53或【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=BC=8，∠CBF=∠ABE=90°，在Rt△ABE中，AE=AB2+BE2=82+62=10，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到sin∠EAB=BEAE=35．由CF=AE，點F在該正方形的邊上可知點F在邊AB和AD上，①當(dāng)點F在邊AB上時，如圖，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAE=∠BCF，BE=BF=6，求得AF=8-6=2，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到FH=65；②當(dāng)點F在邊AD上時，如圖，同理可證【詳解】解：∵四邊形ABCD是邊長為8的正方形，∴AB=BC=8，∠CBF=∠ABE=90°，在Rt△ABE中，AE=∴sin由CF=AE，點F在該正方形的邊上可知點F在邊AB和AD上，當(dāng)點F在邊AB上時，如圖，

在Rt△ABE和RtAE＝∴Rt△ABE∴∠BAE=∠BCF，BE=BF=6，∴AF=8-6=2，∵∠AFH=∠BFC，∠FAH+∠AFH+∠AHF=∠BCF+∠BFC+∠CBF=180°，∴∠AHF=∠CBF=90°，∴sin∴FH=6當(dāng)點F在邊AD上時，如圖，

同理可證Rt△ABE∴BE=DF=6，∴AF=AD-DF=8-6=2，∠CFD=∠E，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥∴∠E=∠HAF，∵∠CFD=∠AFH，∴∠HAF=∠AFH，∴AH=FH，∴△AFH是等腰三角形，過點H作HG⊥AF于G，則AG=FG=1在Rt△AFG中，cos∴FG=5綜上所述：FH的長為：53或6故答案為：53或6【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023秋·福建泉州·九年級福建省泉州第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，點G為△ABC的重心，若AC=6，tan∠ABG=13，那么BC

【答案】3【分析】點G為△ABC的重心，就是三角形的三條中線交點，因此延長BG交AC于點D，利用中線的定義求出AD，利用正切的定義求出AB，最后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：延長BG交AC于點D，

∵點G為△ABC的重心，∴BD是中線，∴AD=1∵tan∴ADAB∴AB=9，∴BC=A故答案為：313【點睛】本題考查了重心概念、正切的定義以及勾股定理等知識，根據(jù)重心概念添加合適輔助線，構(gòu)造直角三角形求解是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·浙江杭州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE=3，BE=4，DE=5．

(1)求證：BE⊥CD；(2)求sin∠DAE【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DC=AB，AD=CB，DC∥AB，推出∠DEA=∠EAB，再根據(jù)角平分線性質(zhì)得出∠DAE=∠DEA，推出AD=DE=5，得出（2）由平行線得出∠ABE=∠BEC=90°，由勾股定理求出AE=45【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC=AB，AD=BC，DC∥∴∠DEA=∠EAB，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠EAB，∴∠DAE=∠DEA，∴AD=DE=5，∴BC=5，AB=CD=DE+CE=8，∵CE∴△BCE是直角三角形，∠BEC=90°，∴BE⊥CD；（2）解：∵AB∥∴∠ABE=∠BEC=90°，∴AE=A∴sin∠DAE=【點睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，角平分線定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定、三角函數(shù)等知識點，證明AD=DE是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，過點A作AE∥BC，且AE=DC，連接(1)求證：四邊形ADCE是矩形：(2)若AB=5，cosB=35【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）根據(jù)題意可得四邊形ADCE是平行四邊形，根據(jù)三線合一得出AD⊥BC，可得∠ADC=90°，即可得證；（2）根據(jù)cosB=35=BDAB得出【詳解】（1）證明：∵AE∥BC，且∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴平行四邊形ADCE是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，AB=5，cosB=∴BD=3在Rt△ABD根據(jù)勾股定理得：AD=A由（1）可知，四邊形ADCE是矩形，∴CE=AD=4，即CE的長為4．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定，三線合一，已知余弦求邊長，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【題型4特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算】【例4】（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)?？家荒＃┯嬎悖?32【答案】2【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值和絕對值運(yùn)算及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪分別求解，然后從左向右依次計算，求出算式的值即可．【詳解】解：原式=3+1-=4-=4-2+=【點睛】本題考查實數(shù)的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實數(shù)運(yùn)算時，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．【變式4-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習(xí)）先化簡，再求代數(shù)式2a-2-1a+2【答案】1a-2，【分析】先將分子分母因式分解，除法改寫為乘法，括號里面通分計算，再根據(jù)分式混合運(yùn)算的運(yùn)算法則和運(yùn)算順序進(jìn)行化簡，然后根據(jù)特殊角度的銳角三角函數(shù)值混合運(yùn)算，求出a的值，最后將a的值代入計算即可．【詳解】解：2===1∵a=tan∴原式=1【點睛】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的混合運(yùn)算順序和法則，熟記各個特殊角度的銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·福建龍巖·九年級?？茧A段練習(xí)）計算：(1)2sin(2)tan60°-【答案】(1)1(2)4【分析】（1）先將各個特殊角度的銳角三家函數(shù)值化簡，再進(jìn)行計算即可；（2）先將各個特殊角度的銳角三家函數(shù)值化簡，再進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：2==1+=1；（2）解：tan=====2-=4．【點睛】本題主要考查了特殊角度的銳角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟記各個特殊角度的銳角三角函數(shù)值．【變式4-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習(xí)）先化簡，再求代數(shù)式2a-2ba÷a-2ab-b【答案】2a-b；【分析】分別化簡代數(shù)式和字母的值，再代入計算．【詳解】原式===2∵a=3tan30°+1=3×3∴原式=2【點睛】本題考查分式的化簡求值，分母有理化，特殊角三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是先化簡，然后把給定的值代入求解．【題型5構(gòu)造直角三角形求角的正弦、余弦、正切值】【例5】（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于點D，將△ACD沿直線CD折疊，點A在AB邊上的點E處，已知AC=5,DE=3，則sin∠BCE

A．725 B．35 C．45【答案】A【分析】作EF⊥BC于點F，先這么∠ACD=∠B，再根據(jù)折疊的性質(zhì)、勾股定理得到∠DCE=∠B,CD=4，由余弦定義得到CDCE=BFBE=45，由正弦定義得到sin∠B=AC【詳解】解：如圖，作EF⊥BC于點F，

在Rt△ABC∵AC⊥BC∴AC∴∠A=∠BEF∵CD⊥AB,∠A+∠ACD=∠BEF+∠B=90°∴∠ACD=∠B∵折疊∴AC=CE=5,DE=AD=3,∠ACD=∠DCE∴∠DCE=∠B,CD=∴∴設(shè)BF=4x,BE=5x∴EF=3x∴∴∴x=∴EF=3x=sin故選：A．【點睛】本題考查正弦、余弦、勾股定理、平行線的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·內(nèi)蒙古包頭·二模）如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE．若∠ADB=30°，則cos∠DEC的值為（

A．32 B．33 C．27【答案】C【分析】過C作CF⊥BD于F，設(shè)AB=x，根據(jù)矩形的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得BE=12x，DF=12x，【詳解】解：過C作CF⊥BD于F，則∠AEB=∠CFD=∠CFB=90°，設(shè)AB=x，

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=x，∠BAD=∠ADC=90°，∵∠ADB=30°，∴BD=2AB=2x，∠DAE=∠CDE=60°，∴∠BAE=∠DCF=30°，∴BE=12AB=則CF=C在Rt△CFE中，EF=BD-BE-DF=x∴CE=C∴cos∠DEC=故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及余弦定義，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解答的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·湖南永州·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在2×4的方格中，兩條線段的夾角（銳角）為∠1，則tan∠1=

【答案】1【分析】由勾股定理的逆定理可得∠CED=90°，可得∠EDC=∠ECD=45°，由平行線的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求解．【詳解】解：如圖，取格點E，連接CE,DE，則CE∥AB，

∵CE=5，DE=5，∴DE=CE，CE∴∠CED=90°，∴∠EDC=∠ECD=45°，∵CE∥AB，∴∠1=∠DCE=45°，∴tan故答案為：1．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理的逆定理，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是本題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，∠ABC=60°，點D是直線BC上一點，若AB=16，BD=10BC>BD，sin∠BAD【答案】5314【分析】分兩種情況：點D在線段BC上，點D在線段BC的反向延長線上，分別畫出圖形，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖1，點D在線段BC上，過點A作AE⊥BC于點E，過點B作BF⊥AD于點F，在△ABE中，∠ABC=60°，∠AEB=90°，∴∠BAE=30°，∵AB=16，∴BE=1∴AE=A∵BD=10，∴DE=BD-BE=10-8=2，∴AD=A∵S△ABD∴BF=BD?AE∴sin∠BAD=如圖2，點D在線段BC的反向延長線上，過點A作AE⊥BC于點E，過點B作BF⊥AD于點F，在△ABE中，∠ABC=60°，∠AEB=90°，∴∠BAE=30°，∵AB=16，∴BE=1∴AE=A∵BD=10，∴DE=BD+BE=10+8=18，∴AD=A∵S△ABD∴BF=BD?AE∴sin∠BAD=綜上可知，sin∠BAD的值為5314故答案為：5314【點睛】此題考查了求銳角三角函數(shù)、勾股定理、含30°角的直角三角形等知識，分類討論是解題的關(guān)鍵．【題型6根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】【例6】（2023·湖南衡陽·?？寄M預(yù)測）在△ABC中，∠A、∠B均為銳角，且tanB-3+2cosA．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出tanB與cosA的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A、【詳解】解：∵tan∴tanB-3∴tanB=3∴∠B=60°，cosA=32在△ABC中，∠C=180°-60°-30°=90°，且∠A≠∠B，∴△ABC是直角三角形．故選：C．【點睛】本題考查實數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，并充分利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．【變式6-1】（2023秋·上海青浦·九年級?？计谥校┰凇鰽BC中，若AB=AC=2，BC=23，則∠A=【答案】120°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求得12∠A=60°【詳解】∵在△ABC中，AB=AC=2，BC=2∴△ABC是等腰三角形，過點A作AD⊥BC，∴BD=12∴sin∠BAD=∴∠BAD=60°，∴∠A=120°，故答案為：120°【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)，能夠結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求解銳角三角函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵【變式6-2】（2023秋·云南昆明·九年級云大附中?？计谀┤袅庑蔚闹荛L為82，高為2，則菱形兩鄰角的度數(shù)比為（

A．6：1 B．5：1 C．4：1 D．3：1【答案】D【分析】如圖，AH為菱形ABCD的高，AH=2，利用菱形的性質(zhì)得到AB=22，利用正弦的定義得到∠B=45°，則∠C=135°，從而得到∠C:∠B【詳解】解：如圖，AH為菱形ABCD的高，AH=2，∵菱形的周長為82∴AB=22在RtΔABH中，sinB=∴∠B=45°，∵AB//CD，∴∠C=135°，∴∠C:∠B=3:1．故選：D．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．【變式6-3】（2023春·浙江杭州·九年級專題練習(xí)）在△ABC中，AB=6，∠B為銳角且cosB=12(1)求∠B的度數(shù)．(2)求BC的長．(3)求△ABC的面積．【答案】(1)∠B=60°(2)BC=4(3)△ABC的面積為6【分析】（1）根據(jù)函數(shù)值直接得到∠B的度數(shù)．（2）過點A作AH⊥BC于H，根據(jù)cosB=12求出BH=3，利用勾股定理求出AH，再利用tanC=33（3）根據(jù)面積公式直接計算可得．【詳解】（1）∵∠B為銳角且cosB=∴∠B=60°；（2）過點A作AH⊥BC于H，∵cosB=∴BHAB∵AB=6，∴BH=3，在Rt△ABH中，AH=A∵tanC=3∴AHCH即33解得CH=1，∴BC=BH+CH=3+1=4；（3）S△ABC【點睛】此題考查了銳角三角函數(shù)，熟練掌握各銳角的三角函數(shù)值及各銳角三角函數(shù)的計算公式是解題的關(guān)鍵．【題型7已知角度比較三角函數(shù)值的大小】【例7】（2023秋·湖南衡陽·九年級湖南省衡南縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）三角函數(shù)sin40°、cosA．tan50°>cos16°>C．cos16°>tan50°>【答案】A【分析】首先把sin40°、cos16°轉(zhuǎn)換成相同的銳角三角函數(shù)；再根據(jù)正弦值是隨著角的增大而增大，進(jìn)行分析，可以知道【詳解】解：∵sinα=cos90°-α∴cos16°=sin∴1＞∵tan50°∴tan50°>∴tan50°>故選：A．【點睛】本題考查三角函數(shù)值的大小比較，掌握正余弦的轉(zhuǎn)換方法：一個角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值、正切值的變化規(guī)律是本題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·九年級課時練習(xí)）已知∠B是△ABC中最小的內(nèi)角，則tanB的取值范圍是．【答案】0＜tanB≤3【分析】在三角形中，最小的內(nèi)角應(yīng)不大于60度，找到相應(yīng)的正切值即可，再根據(jù)tan60°=3和一個銳角的正弦值隨著角的增大而增大，進(jìn)行分析．【詳解】解：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，易知三角形的最小內(nèi)角不大于60°．根據(jù)題意，知：0°＜∠B≤60°．又tan60°=3，∴0＜tanB≤3．故答案為:0＜tanB≤3【點睛】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、特殊角的銳角三角函數(shù)值和銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律，得出0°＜∠B≤60°是解題關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·九年級單元測試）在Rt△ABC中，如果一條直角邊和斜邊的長度都縮小至原來的15，那么銳角AA．都縮小15 B．都不變 C．都擴(kuò)大5倍 D【答案】B【分析】在Rt△ABC中，如果一條直角邊和斜邊的長度都縮小至原來的15，根據(jù)勾股定理可知，另一條直角邊也縮小至原來的15，再根據(jù)三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似，可知這兩個直角三角形相似，由相似三角形的對應(yīng)角相等，可知銳角A的大小不變，所以銳角【詳解】解：在Rt△ABC中，設(shè)∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，則b=c2如果在△A′B′C′中，B′C′=15a，A′B′=15c，即一條直角邊a和斜邊c的長度都縮小至原來的那么由勾股定理，可知A′C′=（15c）∵15a：a=15b：b=15c：c，∴△A′B′C′∽△ABC，∴∠A′=∠A，∴故選B．【點睛】根據(jù)已知條件得出∠A的大小不變，是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023·上海靜安·?？家荒＃┤绻?°<∠A<60°，那么sinA與cosA．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定【答案】D【分析】利用銳角三角函數(shù)的增減性分類討論，即可得到答案．【詳解】解：當(dāng)0°<∠A<45°時，∴sin∴sin?A<∴sin?A-當(dāng)∠A=45°時，90°-∠A=45°，∴sinsinA=∴sin?A-當(dāng)45°<∠A<60°，∴sin∴sin?A>∴sin?A-綜上所述，sinA與cos故選：D．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，解題關(guān)鍵是掌握在0°～90°之間（不包括0°和90°），角度變大，正弦值、正切值也隨之變大，余弦值隨之變?。⒁夥诸愑懻摚绢}型8根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍】【例8】（2023春·九年級單元測試）若∠A是銳角，cos∠A>32，則∠A【答案】0°<∠A<30°【分析】首先明確cos30°=【詳解】解：∵cos30°=∴0°<∠A<30°，故答案為：0°<∠A<30°．【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值，了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春·九年級課時練習(xí)）已知32＜cosA＜sin70°，則銳角A的取值范圍是【答案】20°＜∠A＜30°．【詳解】∵32＜cosA＜sin70°，sin70°=cos20°∴cos30°＜cosA＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°．【變式8-2】（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）已知sinα-122=【答案】0＜α≤30°【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)可得出sinα≤12【詳解】由題意知12-sinα≥0，故sinα≤1知0＜α≤30°【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和正弦函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.【變式8-3】（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知sinα＜cosα，則銳角α的取值范圍是．【答案】0°＜α＜45°．【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的增減性即可求解．【詳解】解：由sinα＜cosα，得0°＜α＜45°，故答案為：0°＜α＜45°．【點睛】同角三角函數(shù)的關(guān)系、銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．【題型9同角三角函數(shù)關(guān)系】【例9】（2023春·九年級單元測試）在△ABC中，∠C=90°，則sinA+cosAA．大于1 B．等于1 C．小于1 D．不確定，與∠A的值有關(guān)【答案】A【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念表示出sinA=ac，cos【詳解】解：設(shè)直角三角形中，∠A的對邊是a，鄰邊是b，斜邊是c．根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，得sinA=ac所以sinA+再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得a+b>c，故sinA+cosA故選：A．【點睛】本題考查了解直角三角形，首先理解銳角三角函數(shù)的概念，再結(jié)合三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析．【變式9-1】（2023秋·福建泉州·九年級?？计谥校┤呛瘮?shù)sin70°，cos70°，tan70°A．sin70°>cos70°>C．tan70°>sin70°>【答案】C【分析】首先根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知：sin70°和cos70°都小于1，tan70°大于1，故tan70°最大；只需比較sin70°【詳解】根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知sin70°<1又∵cos70°=∴sin70°>∴tan70°>故選C．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)．掌握銳角三角函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式9-2】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）求證：若α為銳角，則sin2(1)如圖，銳角α和線段m，用尺規(guī)作出一個以線段m為直角邊，α為內(nèi)角，∠ACB為90°的Rt△ABC(2)根據(jù)（1）中所畫圖形證明該命題．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）作線段AC=m，過點C作CM⊥AC，作∠NAC=α，射線AN，交CM于點B，△ABC即為所求；（2）利用勾股定理，三角函數(shù)的定義證明即可．【詳解】（1）解：如圖，Rt△ABC（2）證明：∵∠ACB=90°，∴AB∵sinα=BC∴sin【點睛】本題考查了作一個角等于已知角、作垂線、作三角形、勾股定理、三角函數(shù)，熟練掌握勾股定理和三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式9-3】（2023春·九年級單元測試）已知：根據(jù)圖中數(shù)據(jù)完成填空，再按要求答題：

如圖1：sin2如圖2：sin2如圖3：sin2①觀察上述等式，猜想：如圖4，在Rt△ABC中，∠C=90°，都有②如圖4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，③已知：∠A+∠B=90°，且【答案】1，1，1①1②見解析③sin【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的定義，計算即可得出結(jié)果；①由上計算可想到在Rt△ABC中，∠C=90°②在Rt△ABC中，∠C=90°，利用銳角三角函數(shù)的定義得出sinA=ac，sinB=③利用關(guān)系式sin2A+sin【詳解】由圖可知：sinsinsin故答案為：1，1，1．①觀察上述等式，可猜想：sin故答案為：1．②在Rt△ABC中，∵sinA=a∴sin∵∠C∴a∴sin③∵sinA=0.7，∴sin【點睛】本題側(cè)重考查互余兩角三角函數(shù)值，掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【題型10三角函數(shù)綜合運(yùn)用】【例10】（2023秋·上海浦東新·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知在△ABC中，AD是邊BC上的高，E是邊AC的中點，BC=AD=20，cosB=

(1)線段BD的長；(2)∠EDC的余切值．【答案】(1)15(2)1【分析】（1）根據(jù)cosB=35可得BD=35（2）由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得DE=12AC=CE，從而得到∠EDC=∠C【詳解】（1）解：∵AD是邊BC上的高，∴∠ADB=90°，∵在Rt△ABD，∠ADB=90°，cos∴cos∴BD=3∵BD2+A∴3解得：AB=25，∴BD=3（2）解：∵AD是邊BC上的高，∴∠ADC=90°，∵E是邊AC的中點，∴DE=1∴∠EDC=∠C，∵BC=20，∴CD=BC-BD=20-15=5，∴cot∴cot【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的知識，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式10-1】（2023秋·福建泉州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平直角坐標(biāo)系中，OB=10，cos∠AOB=45，點A

(1)求點B的坐標(biāo)；(2)求sin∠OAB【答案】(1)B8,6(2)sin∠OAB=【分析】（1）過B作BC⊥x軸于點C，再根據(jù)cos∠AOB=45，求出，OC=8，BC=6（2）在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求出AB的長，即可求出sin【詳解】（1）如圖，過B作BC⊥x軸于點C，∴∠BCO=∠BCA=90°，

在Rt△BCO中，cos∠AOB=∴OC10∴OC=8，由勾股定理得：BC=O∴點B8,6（2）由(1)得：OC=8，BC=6，∵A的坐標(biāo)為20,0，∴OA=20，∴AC=OA-OC=20-8=12，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=∴sin∠OAB=【點睛】此題考查了銳角三角函數(shù)、解直角三角形、勾股定理、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確地作出所需要的輔助線，構(gòu)造直角三角形．【變式10-2】（2023·福建莆田·?？寄M預(yù)測）如圖，在△ABC中，D是邊BC的中點，E是AB上靠近點A的三等分點，連接DE，延長EA至點F，使得AF=AE，連接CF．

(1)試判斷DE與CF的位置關(guān)系，并說明理由；(2)CE與AD交于點G，若∠CED=90°，求證：G是AD的中點；(3)在（2）的條件下，連接BG，求sin∠CBG【答案】(1)