專題11.5 多邊形及其內(nèi)角和【八大題型】（舉一反三）（人教版）（解析版）

專題11.5多邊形及其內(nèi)角和【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1多邊形對角線的有關(guān)計算】 1【題型2求不規(guī)則圖形的內(nèi)角和】 4【題型3求多邊形的外角】 7【題型4多邊形的割角問題】 9【題型5多邊形內(nèi)角和（外角和）與平行線的綜合運用】 11【題型6多邊形內(nèi)角和（外角和）與角平分線的綜合運用】 15【題型7多邊形內(nèi)角和與外角和的綜合應(yīng)用】 20【題型8多邊形內(nèi)角和與外角和的實際應(yīng)用】 23【知識點1多邊形的相關(guān)概念】（1）平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形，叫做多邊形.（2）各個角都相等,各條邊都相等的多邊形，叫做正多邊形.（3）連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.（4）從一個n邊形的某個頂點出發(fā)，分別連接這個點與其余各頂點，可以把一個n邊形分割成（n-2）個三角形，共有12n（n﹣3【題型1多邊形對角線的有關(guān)計算】【例1】（2023春·陜西咸陽·八年級咸陽市實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知從n邊形的一個頂點出發(fā)共有4條對角線；從m邊形的一個頂點出發(fā)的所有對角線把m邊形分成7個三角形；正t邊形的邊長為6，周長為48，求代數(shù)式mn+1t的值．【答案】8【分析】根據(jù)題意，由多邊形的性質(zhì)：從n邊形的一個頂點出發(fā)能引出(n-3)條對角線，能分成(n-2)個三角形，分別求出n，m的值，再由正多邊形的性質(zhì)求出t，然后代入式子即可求解．【詳解】解：因為從n邊形的一個頂點出發(fā)共有4條對角線，所以n=7．因為從m邊形的一個頂點出發(fā)的所有對角線把m邊形分成7個三角形，所以m=9．因為正t邊形的邊長為6，周長為48，所以t=48÷6=8，所以代數(shù)式mn+1t【點睛】本題主要考查了多邊形的性質(zhì)，理解并掌握多邊形的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·河南鄭州·八年級?？计谀┮粋€正八邊形，從它的一個頂點可引出m條對角線，并把這個正八邊形分成n個三角形，則m+n=．【答案】11【分析】過八邊形的一個頂點可以引出5條對角線，過八邊形的一個頂點畫出所有的對角線，可以將這個八邊形分成6個三角形，據(jù)此求得m,n的值，繼而即可求解．【詳解】解：過八邊形的一個頂點可以引出5條對角線，過八邊形的一個頂點畫出所有的對角線，可以將這個八邊形分成6個三角形，∴m+n=5+6=11，故答案為：11．【點睛】本題考查了多邊形的對角線，掌握過多邊形的一個頂點的對角線條數(shù)為n-3是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）多邊形的一個頂點處的所有對角線把多邊形分成了11個三角形，則經(jīng)過這一點的對角線的條數(shù)是條．【答案】10【分析】可根據(jù)多邊形過一個頂點的對角線與分成的三角形的個數(shù)的關(guān)系列方程求解．【詳解】設(shè)多邊形有n條邊，則n-2=11，解得n=13.故這個多邊形是十三邊形．故經(jīng)過這一點的對角線的條數(shù)是13-3=10.故答案為：10．【點睛】此題考查了多邊形的對角線，多邊形有n條邊，則經(jīng)過多邊形的一個頂點的所有對角線有(n-3)條，經(jīng)過多邊形的一個頂點的所有對角線把多邊形分成(n-2)個三角形．【變式1-3】（2023春·山東聊城·八年級校聯(lián)考期末）某中學(xué)八年級數(shù)學(xué)課外興趣小組在探究：“n邊形(n>3)共有多少條對角線”這一問題時，設(shè)計了如下表格，請在表格中的橫線上填上相應(yīng)的結(jié)果：多邊形的邊數(shù)456…n從多邊形的一個頂點出發(fā)12______…______多邊形對角線的總條數(shù)2____________…______應(yīng)用得到的結(jié)果解決以下問題：①求十二邊形有多少條對角線？②過多邊形的一個頂點的所有對角線條數(shù)與這些對角線分多邊形所得的三角形個數(shù)的和可能為2023嗎？若能，請求出這個多邊形的邊數(shù)；若不能，請說明理由．【答案】填表：n-359nn-32；①54；②可以為2023【分析】根據(jù)題意求出相應(yīng)數(shù)據(jù)，填表即可；①由表格探求的n邊形對角線總條數(shù)公式：n(n-3)2②從n邊形的一個頂點出發(fā)可引(n-3)條對角線，這些對角線分多邊形所得的三角形個數(shù)為(n-2)，據(jù)此求解．【詳解】解：填表如下：多邊形的邊數(shù)456…n從多邊形的一個頂點出發(fā)123…n-3多邊形對角線的總條數(shù)259…nn-3故答案為：3，n-3，5，9nn-3①把n=12代入nn-32得，∴十二邊形有54條對角線．②能．由題意得，n-3+n-2=2023，解得n=20282∵多邊形的邊數(shù)n是正整數(shù)，∴過多邊形的一個頂點的所有對角線條數(shù)與這些對角線分多邊形所得的三角形個數(shù)的和可以為2023，這個多邊形的邊數(shù)1014．【點睛】本題考查n邊形對角線公式，過多邊形的一個頂點的所有對角線條數(shù)與這些對角線分多邊形所得的三角形個數(shù)，掌握對角線數(shù)量形成的規(guī)律，熟練應(yīng)用規(guī)律是解題關(guān)鍵．【知識點2多邊形的內(nèi)角和與外角和】（1）n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)．（2）在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān).【題型2求不規(guī)則圖形的內(nèi)角和】【例2】（2023春·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期中）數(shù)學(xué)活動課上，小明一筆畫成了如圖所示的圖形，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)為（

）A．360° B．540° C．720° D．無法計算【答案】B【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和是540°，可求∠A+∠B+∠C+∠D+∠1=540°，又由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得∠1=∠E+∠2，∠2=∠F+∠G，從而求出所求的角的和．【詳解】解：如圖，在五邊形ABCDH中：∠A+∠B+∠C+∠D+∠1=540°，∵∠1=∠E+∠2，∠2=∠F+∠G，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°．故選：B．【點睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)及五邊形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．【變式2-1】（2023春·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=度．【答案】540【分析】把∠E+∠F轉(zhuǎn)化成∠1+∠2，然后根據(jù)五邊形的內(nèi)角和公式計算求解即可．【詳解】解：如圖，由題意知，∠E+∠F=∠1+∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠B+∠C+∠D+∠1+∠2+∠G，∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠1+∠2+∠G是五邊形的內(nèi)角和，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠1+∠2+∠G=5-2故答案為：540．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，五邊形內(nèi)角和．解題的關(guān)鍵在于將∠E+∠F轉(zhuǎn)化為∠1+∠2．【變式2-2】（2023春·江蘇·八年級期中）如圖，在五邊形ABCDE中，若去掉一個30°的角后得到一個六邊形BCDEMN，則∠1+∠2的度數(shù)為．【答案】210°【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理可求得∠B+∠C+∠D+∠E=510°，∠1+∠2+∠B+∠C+∠D+∠E=6-2【詳解】解：∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=5-2×180°=540°，∴∠B+∠C+∠D+∠E=510°，∵∠1+∠2+∠B+∠C+∠D+∠E=6-2∴∠1+∠2=720°-510°=210°，故答案為：210°【點睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和外角，掌握多邊形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，若正五邊形ABCDE和長方形AFCG按如圖方式疊放在一起，則∠EAG的度數(shù)為°．

【答案】36【分析】先求出正五邊形的內(nèi)角和，可得出每個內(nèi)角的度數(shù)，利用三角形的外角得出∠FAB=∠ABC-∠AFC，再求出∠BAG=∠FAG-∠FAB，即可得到答案．【詳解】解：∵正五邊形ABCDE內(nèi)角和為：5-2×180°=540°∴∠EAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=540°∵長方形AFCG中，∠AFC=∠FCG=∠CGA=∠GAF=90°，∴∠FAB=∠ABC-∠AFC=108°-90°=18°，∴∠BAG=∠FAG-∠FAB=90°-18°=72°，∴∠EAG=∠EAB-∠BAG=108°-72°=36°，故答案為：36．【點睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和，三角形的外角，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【題型3求多邊形的外角】【例3】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·八年級?？计谥校┤鐖D，在由等邊三角形、正方形和正五邊形組合而成的圖形中，∠3＝60°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．39° B．40° C．41° D．42°【答案】D【分析】利用外角和360°減去等邊三角形的一個內(nèi)角的度數(shù)，減去正方形的一個內(nèi)角的度數(shù)，減去正五邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)，然后減去∠3即可求得【詳解】等邊三角形的內(nèi)角的度數(shù)是60°，正方形的內(nèi)角度數(shù)是90°，正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)是：15（5-2）×180°=108°則∠1+∠2=360°-60°-90°-108°-∠3=42°．故選D．【點睛】本題考查了多邊形的外角和定理，熟知正三角形、正四邊形、正五邊形各內(nèi)角的度數(shù)是解答此題的關(guān)鍵【變式3-1】（2023春·福建泉州·八年級泉州五中?？计谥校┤鐖D，五邊形ABCDE中，∠A=125°，則∠1+∠2+∠3+∠4的度數(shù)是．【答案】305°【分析】根據(jù)補角的性質(zhì)，得∠5；再根據(jù)多邊形外角和的性質(zhì)計算，即可得到答案．【詳解】如圖，延長EA，∠5=180°-∠A=55°∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-∠5=305°故答案為：305°．【點睛】本題考查了多邊形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握補角、多邊形外角和的性質(zhì)，從而完成求解．【變式3-2】（2023春·江蘇·八年級期末）如圖，七邊形ABCDEFG中，EF，BA的延長線相交于點P，若∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEF的外角的度數(shù)和為230°，則∠P的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．55°【答案】C【分析】如圖，根據(jù)多邊形的外角和等于360°，得∠5+∠6+∠7=360°-230°=130°,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠8=∠6+∠7，那么∠5+∠8=130°．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠P=180°-∠5+∠8【詳解】解：如圖．由題意得：∠1+∠2+∠3+∠4=230°，∴∠5+∠6+∠7=360°-230°=130°，∵∠8=∠6+∠7，∴∠5+∠8=130°，∴∠P=180°-∠5+∠8故選：C．【點睛】本題主要考查多邊形的外角、多邊形的外角和等于360°、三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握多邊形的外角、多邊形的外角和等于360°、三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·湖北黃岡·八年級校考開學(xué)考試）凸n邊形恰好只有三個內(nèi)角是鈍角，這樣的多邊形邊數(shù)n的最大值是（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【分析】由題意知在n邊形的外角中恰好有3個銳角，則其余（n－3）個外角是直角或鈍角，而n個外角中最多只能有4個直角或3個鈍角，而4個直角已不可能，所以n－3≤3，由此即得答案.【詳解】解：因為n邊形恰好只有三個內(nèi)角是鈍角，所以在n邊形的外角中恰好有3個銳角，所以其余（n－3）個外角是直角或鈍角，又由于n邊形的外角和是360°，其n個外角中最多只能有4個直角或3個鈍角，而4個直角顯然已不可能，所以n－3≤3，解得n≤6，即n的最大值為6.故選B.【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角、外角的概念與外角和，從多邊形的外角的角度入手分析是解題的關(guān)鍵.【題型4多邊形的割角問題】【例4】（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）一個多邊形截去一個角后，形成的另一個多邊形的內(nèi)角和是1440°．則原來多邊形的邊數(shù)是．【答案】9或10或11【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式n-2?180°【詳解】解：設(shè)多邊形截去一個角的邊數(shù)為n，根據(jù)題意得：n-2∴n=10又∵截去一個角后的多邊形的邊可以增加1、不變、減少1，∴原多邊形的邊數(shù)為9或10或11．【點睛】本題考查的是多邊形的內(nèi)角和公式，本題的易錯點在于忽略考慮截去一個角后多邊形的邊數(shù)可以不變、增加或者減少．【變式4-1】（2023春·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）如果一個正方形被截掉一個角后，得到一個多邊形，那么這個多邊形的內(nèi)角和是．【答案】180°或360°或540°【詳解】分析:剪掉一個多邊形的一個角，則所得新的多邊形的角可能增加一個，也可能不變，也可能減少一個，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求解.詳解:n邊形的內(nèi)角和是（n-2）?180°，邊數(shù)增加1，則新的多邊形的內(nèi)角和是（4+1-2）×180°=540°，所得新的多邊形的角不變，則新的多邊形的內(nèi)角和是（4-2）×180°=360°，所得新的多邊形的邊數(shù)減少1，則新的多邊形的內(nèi)角和是（4-1-2）×180°=180°，因而所成的新多邊形的內(nèi)角和是540°或360°或180°．故答案為540°或360°或180°.點睛：本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和的計算公式，理解：剪掉一個多邊形的一個角，則所得新的多邊形的角可能增加一個，也可能不變，也可能減少一個，是解決本題的關(guān)鍵.【變式4-2】（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）在一個凸n邊形的紙板上切下一個三角形后，剩下一個內(nèi)角和為1080°的多邊形，則n的值為．【答案】7或8或9【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式列方程求出切下一個三角形后多邊形的邊數(shù)，再分新多邊形的邊數(shù)比原多邊形的邊數(shù)增加1，減少1，不變?nèi)N情況求解．【詳解】解：設(shè)切下一個三角形后多邊形的邊數(shù)x，由題意得，（x﹣2）×180°＝1080°，解得x＝8，所以，n＝8﹣1＝7，n＝8+1＝9，或n＝x＝8．故答案為：7或8或9．【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，難點在于熟悉切下一個三角形后多邊形邊數(shù)與原多邊形的邊數(shù)有三種情況.【變式4-3】（2023春·新疆·八年級新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，沿著虛線將四邊形紙片剪成兩部分，如果所得兩個圖形的內(nèi)角和相等，則符合條件的剪法是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理逐一判斷即可得答案．【詳解】三角形內(nèi)角和為180°，四邊形內(nèi)角和為360°，五邊形內(nèi)角和為（5-2）×180°=540°，①剪開后的兩個圖形是四邊形，它們的內(nèi)角和都是360°，符合條件，②剪開后的兩個圖形是五邊形和三角形，它們的內(nèi)角和分別是540°和180°，不符合條件，③剪開后的兩個圖形都是三角形，它們的內(nèi)角和是180°，符合條件，④剪開后的兩個圖形是三角形和四邊形，它們的內(nèi)角和分別是180°和360°，不符合條件，∴符合條件的剪法是①③，故選：B．【點睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角和=（n-2）×180°（n≥3）；熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵．【題型5多邊形內(nèi)角和（外角和）與平行線的綜合運用】【例5】（2023春·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將四邊形紙片ABCD的右下角向內(nèi)折出△EC'F，恰好使C'E∥AB，C'【答案】70°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠D=∠C'FC，∠B=∠C'EC，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠C【詳解】解：∵C'E∥AB，∴∠D=∠C'FC∵∠B+∠D=220°，∴∠C∵∠C∴∠C∵∠C∴∠C=70°，∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠A=70°，故答案為：70°．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是熟知四邊形的內(nèi)角和等于360度．【變式5-1】（2023春·廣東汕尾·八年級?？计谥校┤鐖D，直線l1,l2分別經(jīng)過正六邊形ABCDEF的頂點A、B，且l1∥l2，若∠1＝【答案】α﹣60°【分析】根據(jù)正六邊形ABCDE的內(nèi)角是120°得出∠3，再利用l1∥l2得出∠4，最后用平角減∠4和正六邊形【詳解】解：∵正六邊形ABCDE的一個內(nèi)角是120°，∴∠3＝120°﹣∠1＝120°﹣α又∵l1∴∠4＝∠3＝120°﹣α，∴∠2＝180°﹣120°﹣∠4＝180°﹣120°﹣（120°﹣α）＝α﹣60°，故答案為：α﹣60°．【點睛】本題考查正多邊形的內(nèi)角，平行線的性質(zhì)等知識，正確的計算和定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將透明直尺疊放在正五邊形之上，若正五邊形有兩個頂點在直尺的邊上，且有一邊與直尺的邊垂直．則∠α＝°．【答案】54【分析】如圖，標(biāo)注字母，先求解正五邊形的內(nèi)角∠D，∠DCB的大小，再利用平行線的性質(zhì)及角的和差求解∠DCE，再利用三角形的內(nèi)角和求解∠DEC，從而利用平行線的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：如圖，標(biāo)注字母，由題意得：AB∥EC，∠D=∠DCB=540°5=108°，∠ABC=90°∴∠ECB=180°?90°=90°，∠DCE=108°?90°=18°，∴∠DEC=180°?∠D?∠DCE=54°，∵AB∥EC，∴∠α=∠DEC=54°．故答案為：54．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角和，三角形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是掌握利用平行線結(jié)合內(nèi)角和定理進行計算．【變式5-3】（2023春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠A與∠C互補，∠ABC、∠ADC的平分線分別交CD、AB于點E、F，EG∥AB．(1)∠1與∠2有怎樣的數(shù)量關(guān)系?為什么?(2)若∠A＝100°，∠1＝42°，求∠CEG的度數(shù)．【答案】(1)∠1與∠2互余(2)4°【分析】（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°以及補角的定義可得∠ABC+∠ADC=180°，再根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)即可得出∠1+∠2=90°；（2）根據(jù)∠A與∠C互補可得∠C的度數(shù)，根據(jù)∠1與∠2互余可得∠2的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABE的度數(shù)，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和以及角的和差關(guān)系計算即可．【詳解】（1）∠1與∠2互余．∵四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°，∠A與∠C互補，∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°，∵BE、DF分別平分∠ABC、∠ADC，∴∠1＝12∠ADC，∠ABE＝12∠∵EG∥AB，∴∠2=∠ABE，∴∠1+∠2=12∠ADC+12∠ABC＝即∠1與∠2互余．（2）∵∠A=100°，∠1=42°，∴∠C=80°，∠2=48°，∴∠ABE=∠CBE=48°，∴∠BEC=180°-48°-80°=52°，∴∠CEG=52°-48°=4°．【點睛】本題考查了四邊形的內(nèi)角和、余角和補角的定義；弄清角之間的互余、互補關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【題型6多邊形內(nèi)角和（外角和）與角平分線的綜合運用】【例6】（2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州草橋中學(xué)校考期末）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD、∠ADC的平分線交于點P，∠ABC、∠DCE的平分線交于點Q，若∠P-∠Q=25°，則∠ABC+∠BCD=°．【答案】115°【分析】根據(jù)角平分線的定義，以及多邊形的內(nèi)角和性質(zhì)，設(shè)∠BAP=∠DAP=α，∠ADP=∠CDP=β，從而分別表示出∠P與∠Q，再結(jié)合已知條件推出2α+2β的度數(shù)，從而確定出結(jié)論即可．【詳解】解：∵AP平分∠BAD，DP平分∠CDA，∴∠BAP=∠DAP，∠ADP=∠CDP，設(shè)∠BAP=∠DAP=α，∠ADP=∠CDP=β，∴∠P=180°-α-β，∵BQ平分∠ABC，CQ平分∠DCE，∴∠ABQ=∠CBQ，∠DCQ=∠ECQ，∴∠Q=180°-∠CBQ-∠BCQ=180°-12∠ABC-∠DCB-∠=180°-12∠ABC-∠DCB-12∠=180°-12∠ABC-∠DCB-12（180°-∠=90°-12（∠ABC+∠DCB∵∠ABC+∠DCB=360°-（∠BAD+∠ADC）=360°-2α-2β，∴∠Q=90°-12（360°-2α-2β）=α+β-90°∵∠P-∠Q=25°，∴180°-α-β-（α+β-90°）=25°，∴2α+2β=245°，∴∠ABC+∠BCD=360°-2α-2β=360°-245°=115°，故答案為：115°．【點睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和性質(zhì)，角平分線的定義等，理解基本性質(zhì)，能夠從復(fù)雜圖形中表示出相應(yīng)角度是解題關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·江蘇宿遷·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD中，∠B=104°，∠C=120°，AO、DO分別平分∠BAD和∠CDA，EO⊥AO，則∠EOD＝【答案】22°【分析】由四邊形內(nèi)角和可求得∠BAD+∠ADC=136°，繼而根據(jù)角平分線的定義可得∠OAD+∠ODA=68°，再由三角形內(nèi)角和定理求出∠AOD的度數(shù)，由∠AOE=90°，根據(jù)∠EOD=∠AOD-∠AOE即可求得答案.【詳解】∵四邊形ABCD中，∠B=104°，∠C=120°，∴∠BAD+∠ADC=(4-2)×180°-∠B-∠C=136°，又AO、DO分別平分∠BAD和∠CDA，∴∠OAD+∠ODA=12∠BAD+12∠ADC=1∴∠AOD=180°-∠OAD-∠ODA=180°-68°=112°，又∵EO⊥AO，∴∠AOE=90°，∴∠EOD=∠AOD-∠AOE=112°-90°=22°，故答案為22°.【點睛】本題考查了四邊形的內(nèi)角和、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義、角的和差等，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.【變式6-2】（2023春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）在四邊形ABCD中，∠A=90°，∠ABC、∠ADC的平分線分別交直線CD、AB于點E、F．(1)如圖1，若∠C=90°，求證：EB∥(2)如圖2，若線段DF、EB交于點P，∠BPF=20°，求∠C的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠C=130°【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和、角平分線的性質(zhì)即可推導(dǎo)出∠CEB=∠CDF，即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)四邊形CDPB的內(nèi)角和、角平分線的性質(zhì)即可推導(dǎo)出∠ADC+∠ABC=2∠CDP+2∠CBP=400°-2∠C，再由四邊形ABCD的內(nèi)角和列出關(guān)于∠C的方程，即可求得∠C的度數(shù)．（1）在四邊形ABCD中，∠A+∠ABC+∠C+又∵∠A=90°，∠C=90°，∴∠ABC+∵EB平分∠ABC、DF平分∠ADC，∴∠CBE=1∴∠CBE+∠CDF=1在Rt△ECB中，∠CEB+∠CBE=90°，∴∠CEB=∠CDF，∴EB∥（2）在四邊形CDPB中，∠CDP+∠CBP+∠C+又∵∠BPF=20°，∴∠DPB=160°，∴∠CDP+∠CBP+∠C=200°，∵EB平分∠ABC、DF平分∠ADC，∴∠ADC=2∠CDP,∠ABC=2∠CBP，∴∠ADC+∠ABC=2∠CDP+2∠CBP=400°-2∠C，∵在四邊形ABCD中，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∴90°+∠C+400°-2∠C=360°，∴∠C=130°．【點睛】此題考查了四邊形內(nèi)角和、角平分線的性質(zhì)、平行線的判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期末）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．已知“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”，那么五邊形的外角與內(nèi)角之間又有什么關(guān)系呢？

如圖1，在五邊形ABCDE中，∠1,∠2是它的兩個外角，則∠1+∠2=∠A+∠B+∠C-180°．下面是該結(jié)論的證明過程（部分）：∵五邊形的內(nèi)角和為540°，∴∠A+∠B+∠C+∠3+∠4=540°．……(1)按照上面的證明思路，完成證明的剩余部分．(2)知識應(yīng)用：如圖2，在五邊形ABCDE中，EF,DF分別是∠DEH和∠EDG的平分線，若∠A+∠B+∠C=320°，求∠F的度數(shù)；(3)拓展提升：如圖3，∠C=∠E=90°,∠ABH=23∠ABF,∠GFH=23∠BFG【答案】(1)見解析(2)∠F=110°(3)120°【分析】（1）由五邊形的內(nèi)角和為540°得到∠A+∠B+∠C+∠3+∠4=540°．由鄰補角定義得到∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，則∠1+∠2+∠3+∠4=360°，兩式相減得到∠A+∠B+∠C-∠1+∠2（2）∠A+∠B+∠C=320°，由（1）可得，∠DEH+∠EDG=140°，由角平分線定義得到∠DEF=12∠DEH,∠EDF=12（3）由三角形內(nèi)角和定理得到∠HBF+HFB=40°，由∠ABH=23∠ABF,∠GFH=23∠BFG得到∠HBF=13∠ABF,∠HFB=13【詳解】（1）∵五邊形的內(nèi)角和為540°，∴∠A+∠B+∠C+∠3+∠4=540°．∵∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°，∴∠A+∠B+∠C-∠1+∠2∴∠A+∠B+∠C-180°=∠1+∠2；（2）∵∠A+∠B+∠C=320°，∴由（1）可得，∠DEH+∠EDG=320°-180°=140°，∵EF平分∠DEH,DF平分∠EDG，∴∠DEF=1∴∠DEF+∠EDF=12∠DEH+∠EDG∵∠DEF+∠EDF+∠F=180°，∴∠F=180°-70°=110°；（3）∵∠H=140°，∠HBF+HFB+∠H=180°，∴∠HBF+HFB=180°-∠H=40°，∵∠ABH=2∴∠HBF=1∴∠ABF+∠BFG=3∠HBF+3∠HFB=3∠HBF+∠HFB由（1）得∠ABF+∠BFG=∠C+∠E+D-180°，∵∠C=∠E=90°,∴∠D=∠ABF+∠BFG+180°-∠C-∠E=120°+180°-90°-90°=120°．故答案為：120°【點睛】此題考查了多邊形內(nèi)角和、幾何圖形中的角度計算、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的相關(guān)計算等知識，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．【題型7多邊形內(nèi)角和與外角和的綜合應(yīng)用】【例7】（2023春·河南周口·八年級校聯(lián)考期中）解決多邊形問題：(1)一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，它是幾邊形？(2)小華在求一個多邊形的內(nèi)角和時，重復(fù)加了一個角的度數(shù)，計算結(jié)果是1170°，這個多邊形是幾邊形？【答案】(1)八邊形(2)八邊形【分析】（1）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式、多邊形的外角和等于360°建立方程，解方程即可得；（2）設(shè)這個多邊形是n邊形，重復(fù)加的一個角的度數(shù)為x，則0°<x<180°，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式建立等式，結(jié)合0°<x<180°建立不等式組，解不等式組即可得．【詳解】（1）解：設(shè)這個多邊形是n邊形，由題意得：180°n-2解得n=8，答：這個多邊形是八邊形．（2）解：設(shè)這個多邊形是n邊形，重復(fù)加的一個角的度數(shù)為x，則0°<x<180°，由題意得：180°n-2解得x=1530°-180°n，則0°<1530°-180°n<180°，即1530°-180°n>0°1530°-180°n<180°解得152∵n為正整數(shù)，∴n=8，答：這個多邊形是八邊形．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和、一元一次不等式組的應(yīng)用，正確建立方程和不等式組是解題關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·新疆烏魯木齊·八年級校考期中）已知一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的和為1080°，且這個多邊形的各個內(nèi)角都相等.求這個多邊形的每個外角度數(shù).【答案】60°.【分析】由多邊形的外角和為360°，得到多邊形的內(nèi)角和，然后計算得到每個外角的度數(shù).【詳解】解：∵多邊形的外角和為360°，∴多邊形的內(nèi)角和為：1080°-360°=720°，∴180°(n-2)=720°，解得：n=6，∴每個外角度數(shù)：360°÷6=60°.【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和以及外角和，正確理解任何多邊形的外角和都是360°是關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·山東濟寧·八年級濟寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谀┮欢噙呅蔚拿恳粋€內(nèi)角都等于它相鄰?fù)饨堑?倍，則該多邊形的內(nèi)角和是（）A．360° B．900° C．1440° D．1800°【答案】C【分析】設(shè)每一個外角都為x，則相鄰的內(nèi)角為4x，然后根據(jù)“鄰補角和為180°”列方程求得外角的大小，然后再根據(jù)多邊形外角和定理求得多邊形邊數(shù)，最后運用多邊形內(nèi)角和公式求解即可．【詳解】解：設(shè)每一個外角都為x，則相鄰的內(nèi)角為4x，由題意得，4x+x＝180°，解得：x＝36°，多邊形的外角和為360°，360°÷36°＝10，所以這個多邊形的邊數(shù)為10，則該多邊形的內(nèi)角和是：（10﹣8）×180＝1440°．故選：C．【點睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和相鄰?fù)饨堑年P(guān)系、多邊形的外角和、多邊形內(nèi)角和等知識點，掌握多邊形的外角和為360°是解答本題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期末）閱讀佳佳與明明的對話，解決下列問題：(1)“多邊形內(nèi)角和為2020°”，為什么不可能？(2)明明求的是幾邊形的內(nèi)角和？(3)多加的那個外角為多少度？【答案】(1)見解析(2)十三邊形(3)40°【分析】（1）根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式判斷即可；（2）根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式判斷即可；（3）由（2）即可得出答案．【詳解】（1）由多邊形內(nèi)角和180°n-2可知，多邊形內(nèi)角和是180的倍數(shù)，而2020不是（2）由多邊形內(nèi)角和180°n-2可知，2020÷180=11……40，所以n-2=11故多邊形是十三邊形．（3）由（2）計算可知余數(shù)為40°，所以多加的外角為40°．【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式，熟記多邊形內(nèi)角和180°【題型8多邊形內(nèi)角和與外角和的實際應(yīng)用】【例8】（2023春·貴州銅仁·八年級統(tǒng)考期中）如圖，奇奇先從點A出發(fā)前進4m，向右轉(zhuǎn)15°，再前進4m