特級教師改編中考數(shù)學幾何模型24講：專題15 阿氏圓中的雙線段模型與最值問題（教師版）

專題3阿氏圓中的雙線段模型與最值問題【專題說明】“阿氏圓”模型核心知識點是構造母子型相似，構造△PAB∽△CAP推出PA2，即：半徑的平方=原有線段構造線段?！灸Ｐ驼故尽咳缦聢D，已知A、B兩點，點P滿足PA：PB=k（k≠1），則滿足條件的所有的點P構成的圖形為圓．（1）角平分線定理：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，則．證明：，，即（2）外角平分線定理：如圖，在△ABC中，外角CAE的角平分線AD交BC的延長線于點D，則．證明：在BA延長線上取點E使得AE=AC，連接BD，則△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，則，即．接下來開始證明步驟：如圖，PA：PB=k，作∠APB的角平分線交AB于M點，根據(jù)角平分線定理，，故M點為定點，即∠APB的角平分線交AB于定點；作∠APB外角平分線交直線AB于N點，根據(jù)外角平分線定理，，故N點為定點，即∠APB外角平分線交直線AB于定點；又∠MPN=90°，定邊對定角，故P點軌跡是以MN為直徑的圓．【例題】1、如圖，拋物線與軸交于，，兩點（點在點的左側），與軸交于點，且，的平分線交軸于點，過點且垂直于的直線交軸于點，點是軸下方拋物線上的一個動點，過點作軸，垂足為，交直線于點．（1）求拋物線的解析式；（2）設點的橫坐標為，當時，求的值；（3）當直線為拋物線的對稱軸時，以點為圓心，為半徑作，點為上的一個動點，求的最小值．【解析】（1）由題意A（，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），設拋物線的解析式為y＝a（x+3）（x），把C（0，﹣3）代入得到a，∴拋物線的解析式為yx2x﹣3．（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC，∴∠OAC＝60°．∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA?tan30°＝1，∴D（0，﹣1），∴直線AD的解析式為yx﹣1，由題意P（m，m2m﹣3），H（m，m﹣1），F(xiàn)（m，0）．∵FH＝PH，∴1m﹣1﹣（m2m﹣3）解得m或（舍棄），∴當FH＝HP時，m的值為．（3）如圖，∵PF是對稱軸，∴F（，0），H（，﹣2）．∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EOOA＝3，∴E（0，3）．∵C（0，﹣3），∴HC2，AH＝2FH＝4，∴QHCH＝1，在HA上取一點K，使得HK，此時K（）．∵HQ2＝1，HK?HA＝1，∴HQ2＝HK?HA，∴．∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴，∴KQAQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴當E、Q、K共線時，AQ+QE的值最小，最小值

2、如圖1所示，⊙O的半徑為r,點A、B都在⊙O外，P為⊙O上的動點，已知r=k·OB.連接PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？【解析】1:連接動點至圓心0（將系數(shù)不為1的線段兩端點分別與圓心相連接），即連接OP、OB；2：計算連接線段OP、OB長度；3：計算兩線段長度的比值；4：在OB上截取一點C，使得構建母子型相似:5：連接AC，與圓0交點為P，即AC線段長為PA+K*PB的最小值?！発PB（2OCOC=k·r,則可說明△BPO△PCOk·PB=PC?！啾绢}求“PA+k·PB”的最小值轉化為求“PA+PC”A、P、三點共線時最?。?，時AC線段長即所求最小值。

3、如圖，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點C為圓心，6為半徑的圓上有一個動點D．連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是．【分析】首先對問題作變式2AD+3BD=，故求最小值即可．考慮到D點軌跡是圓，A是定點，且要求構造，條件已經(jīng)足夠明顯．當D點運動到AC邊時，DA=3，此時在線段CD上取點M使得DM=2，則在點D運動過程中，始終存在．問題轉化為DM+DB的最小值，直接連接BM，BM長度的3倍即為本題答案．

4、如圖，已知正方ABCD的邊長為4，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，則的最大值為_______．【分析】當P點運動到BC邊上時，此時PC=2，根據(jù)題意要求構造，在BC上取M使得此時