中考數(shù)學(xué)幾何模型重點突破講練：專題29 三角形的內(nèi)切圓模型（教師版）

專題29三角形的內(nèi)切圓模型【模型】如圖29-1，已知⊙O為的內(nèi)切圓。（1）OA、OB、OC分別平分；（2）點O到AB，BC，AC的距離相等，均為⊙O的半徑?！纠?】如圖，在中，其周長為20，⊙I是的內(nèi)切圓，其半徑為，則的外接圓半徑為（）A．7 B． C． D．【答案】D【分析】過C作CD⊥AB于D，由結(jié)合面積求出BC的長，由內(nèi)心可以求出，的外接圓圓心為O,F是優(yōu)弧BC上任意一點，過O作OE⊥BC于E，求出圓心角，最后由垂徑定理求出半徑OB【解析】過C作CD⊥AB于D，的外接圓圓心為O,F是優(yōu)弧BC上任意一點，過O作OE⊥BC于E，設(shè)，∵，∴，∵在周長為20，內(nèi)切圓半徑為，∴，∴∴中，∴∵在周長為20，∴∴解得∵是的內(nèi)心∴BI、CI分別平分∠ABC、∠ACB∴∵∴∴∵°∴∴∵OE⊥BC∴,∴故選D【例2】如圖，中，，則的內(nèi)切圓半徑為_________．【答案】4【分析】先作AD⊥BC于點D，利用勾股定理求AD，再求三角形ABC的面積，利用內(nèi)心與三頂點連線將三角形分成三個三角形，利用內(nèi)切圓的半徑求三個三角形面積，利用面積構(gòu)造r的等式，求出即可．【解析】過A作AD⊥BC于點D，設(shè)BD=x，CD=14-x，∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2，∴132-x2=152-(14-x)2，解得：x=5，AD=，S△ABC==84，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，連結(jié)AI，BI，CI，則，S△ABC＝=，∴，∴21r=84，∴r=4，故答案為：4．【例3】如圖，AB=AC，CD⊥AB于點D，點O是∠BAC的平分線上一點，⊙O與AB相切于點M，與CD相切于點N．（1）求證：∠AOC=135°；（2）若NC=3，BC=，求DM的長．【答案】（1）見解析；（2）DM=1．【分析】(1)只要證明OC平分∠ACD，即可解決問題；(2)由切線長定理可知：AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，設(shè)DM=DN=x，在Rt△BDC中，根據(jù)，構(gòu)建方程即可解決問題．【解析】（1）證明：連接OM，ON，過O點做OE⊥AC，交AC于E，如圖所示，∵⊙O與AB相切于點M，與CD相切于點N∴OM⊥AB，ON⊥CD，∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，OM⊥AB，∴OM=OE，即：E為⊙O的切點；∴OE=ON，又∵OE⊥AC，ON⊥CD，∴OC平分∠ACD，∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∴∠OAC+∠OCA=45°，∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-45°=135°，即：∠AOC=135°，（2）由（1）得，AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，設(shè)DM=DN=x，∵AB=AC，∴BD=AB-AD=AC-AE-DM=CE=DM=3-x，∵CD=3+x，在Rt?BCD中，由勾股定理得：，即：，解得：x=1或x=-1（舍去），即DM=1．一、單選題1．若的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為，則其內(nèi)切圓的面積與的面積比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫好符合題意的圖形，由切線長定理可得：結(jié)合勾股定理可得：再求解直角三角形的面積，從而可得直角三角形的內(nèi)切圓的面積與直角三角形的面積之比．【解析】解：如圖，由題意得：，由切線長定理可得：設(shè)，，而故選B．2．如圖，⊙O是等邊△ABC的內(nèi)切圓，分別切AB，BC，AC于點E，F(xiàn)，D，P是上一點，則∠EPF的度數(shù)是（

）A．65° B．60° C．58° D．50°【答案】B【分析】連接OE，OF．求出∠EOF的度數(shù)即可解決問題．【解析】解：如圖，連接OE，OF．∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，E，F(xiàn)是切點，∴OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠OEB=∠OFB=90°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，∴∠EOF=120°，∴∠EPF=∠EOF=60°，故選：B．3．如圖，已知矩形的周長為，和分別為和的內(nèi)切圓，連接，，，，，若，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)AB=x，BC=y，內(nèi)切圓半徑為r，由矩形的對稱性知，結(jié)合直角三角形內(nèi)切圓半徑與三角形面積間的關(guān)系得到x、y、r的關(guān)系式，再由推導(dǎo)出x、y、r的關(guān)系，從而分別求出r，xy、的值，最后由勾股定理求得EF值.【解析】如圖，設(shè)AB=x，BC=y，內(nèi)切圓半徑為r，則AC=∵矩形的周長為，∴x+y=8①∵和分別為和的內(nèi)切圓，∴②由矩形的對稱性知，∵，∴，∴，即③由①、②、③聯(lián)立方程組，解得：r=1，xy=14，，作EH⊥FH于H，由勾股定理得：=36-32+8=12，∴EF=，故選：B.4．如圖，點是的內(nèi)心，，則(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，求出，求出的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可．【解析】解：，，點是的內(nèi)心，，，，．故選：D．二、填空題5．已知平面直角坐標系中，點A(5，0)、B(，)和點P(a，a)．若⊙M是△PAB的內(nèi)切圓，則⊙M面積的最大值是________________．【答案】π【分析】先求出AB解析式，得到AB與l平行，求出S△ABP為定值，由S△ABP=，可得當△PAB的周長最小時符合題意，再根據(jù)對稱性得到△PAB的周長值求出r，故可求解．【解析】設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b把A(5，0)、B(，)代入得解得∴∵P(a，a)∴P點在直線l：上∴ABl∴S△ABP為定值如圖，作AC⊥l，在Rt△AOC中，∵k==tan∠AOC∴設(shè)AC=3a，CO=4a，∵AO=5，∴AC2+CO2=AO2，即（3a）2+（4a）2=52，解得a=1，∴AC=3，∵AB=，∴S△ABP=為定值，設(shè)△PAB的內(nèi)切圓⊙M半徑為r，∵S△ABP=，∴當最小時，∵=AB+BP+AP，當BP+AP最小時符合題意，作點A關(guān)于直線l的對稱點D，∴PD=PA，當PA+PB=BD時，BP+AP最小，∵ABl，∴∠DAB=90°，AD=2AC=6，∴BD=，∴最小值為18，此時r=，∴⊙M面積為=π，故答案為：π．6．如圖，在中，，，，⊙為的內(nèi)切圓，，與⊙分別交于點，．則劣弧的長是_______．【答案】【分析】先利用勾股定理計算出，再利用直角三角形內(nèi)切圓半徑的計算方法得到，接著三角形角平分線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)弧長公式計算劣弧的長．【解析】解：，，，，為的內(nèi)切圓，，平分，平分，，劣弧的長．故答案為．7．如圖所示的網(wǎng)格由邊長為個單位長度的小正方形組成，點、、、在直角坐標系中的坐標分別為，，，則內(nèi)心的坐標為______．【答案】（2，3）【分析】根據(jù)A、B、C三點的坐標建立如圖所示的坐標系，計算出△ABC各邊的長度，易得該三角形是直角三角形，設(shè)BC的關(guān)系式為：y=kx+b，求出BC與x軸的交點G的坐標，證出點A與點G關(guān)于BD對稱，射線BD是∠ABC的平分線，三角形的內(nèi)心在BD上，設(shè)點M為三角形的內(nèi)心，內(nèi)切圓的半徑為r，在BD上找一點M，過點M作ME⊥AB，過點M作MF⊥AC，且ME=MF=r，求出r的值，在△BEM中，利用勾股定理求出BM的值，即可得到點M的坐標．【解析】解：根據(jù)A、B、C三點的坐標建立如圖所示的坐標系，根據(jù)題意可得：AB=，AC=，BC=，∵，∴∠BAC=90°，設(shè)BC的關(guān)系式為：y=kx+b，代入B，C，可得，解得：，∴BC：，當y=0時，x=3，即G（3,0），∴點A與點G關(guān)于BD對稱，射線BD是∠ABC的平分線，設(shè)點M為三角形的內(nèi)心，內(nèi)切圓的半徑為r，在BD上找一點M，過點M作ME⊥AB，過點M作MF⊥AC，且ME=MF=r，∵∠BAC=90°，∴四邊形MEAF為正方形，S△ABC=，解得：，即AE=EM=，∴BE=，∴BM=，∵B（-3，3），∴M（2，3），故答案為：（2，3）．8．已知的三邊a、b、c滿足，則的內(nèi)切圓半徑=____．【答案】1【分析】先將變形成，然后根據(jù)非負性的性質(zhì)求得a、b、c的值，再運用勾股定理逆定理說明△ABC是直角三角形，最后根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊差的一半解答即可．【解析】解：則=0，c-3=0，a-4=0，即a=4，b=5，c=3，∵42+32=52∴△ABC是直角三角形∴的內(nèi)切圓半徑==1．故答案為1．9．如圖，的內(nèi)切圓與分別相切于點，且，，則陰影部分的面積為_______(結(jié)果保留)．【答案】【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再設(shè)的半徑為r，根據(jù)三角形的面積公式得出r的值，然后根據(jù)正方形的判定與性質(zhì)、扇形的面積公式、三角形的面積公式即可得．【解析】是直角三角形，且設(shè)的半徑為r，則內(nèi)切圓與分別相切于點即解得又四邊形AEOF是矩形，矩形AEOF是正方形則故答案為：．10．如圖，是四邊形的內(nèi)切圓，連接、、、．若，則的度數(shù)是____________．【答案】【分析】如圖，設(shè)四個切點分別為點，分別連接切點與圓心，可以得到4對全等三角形，進而得到，，，，根據(jù)這8個角和為360°，∠1+∠8=，即可求出=∠5+∠4=72°．【解析】解：設(shè)四個切點分別為點，分別連接切點與圓心，則，，，且，在與中∴，∴，同理可得：，，，．故答案為：三、解答題11．已知：．問題一：請用圓規(guī)與直尺（無刻度）直接在內(nèi)作內(nèi)切圓，（要求清晰地保留尺規(guī)作圖的痕跡，不要求寫畫法）問題二：若的周長是24，的面積是24，，求的內(nèi)切圓半徑．【答案】（1）見解析；（2）r=2【分析】（1）先作∠B和∠C的平分線交于點O，再過點O作OH⊥AB于H，然后以點O為圓心，OH為半徑作圓即可；（2）連結(jié)OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，根據(jù)切線的性質(zhì)得OD=OE=OF=r，則利用S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC得到rAB+rBC+rAC=24，變形得到r（AB+BC+AC）=24，然后把周長為24代入計算即可得到r的值．【解析】解：（1）如圖，為所求作的的內(nèi)切圓；（2）解：如下圖，連結(jié)OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，設(shè)它的內(nèi)切圓的半徑為r，則OD=OE=OF=r，∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，∴rAB+rBC+rAC=24，∴r（AB+BC+AC）=24，∴r24=24，∴r=2．即的內(nèi)切圓的半徑為2．12．如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，且⊙O與△ABC的三邊分別切于點D、E、F，已知AB長為10cm，BC長為6cm，AC長為8cm．（1）求AE、CD、BF的長；（2）連接OD，OE，判斷四邊形ODCE的形狀，并說明理由；（3）求⊙O的面積．【答案】（1）AE=6cm；CD=2cm；BF=4cm；（2）四邊形ODCE是正方形，理由見解析；（3）4π．【分析】（1）根據(jù)切線長定理列出方程組可以得到解答；（2）連接OD、OE，則由切線性質(zhì)和勾股定理可得∠C=∠OEC=∠ODC=90°，所以四邊形ODCE是矩形，再由OE=OD可知四邊形ODCE是正方形；（3）由（2）可得⊙O的半徑OD=CD=2cm，所以由面積公式即可求得⊙O的面積．【解析】解：（1）設(shè)AE=xcm，CD=ycm，BF=zcm，則由切線長定理可得：AF=AE=x，CE=CD=ycm，BD=BF=zcm，∴由題意可得：，解之可得：，∴AE=6cm，CD=2cm，BF=4cm；（2）四邊形ODCE是正方形，理由如下：如圖，連接OD、OE，∵，∴∠C=90°，又CA、CB與⊙O相切，∴∠OEC=∠ODC=90°，∴四邊形ODCE是矩形，∵OD=OE，∴四邊形ODCE是正方形；（3）由（2）知，⊙O的半徑OD=CD=2cm，∴．13．如圖，已知⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．（1）求BF的長；（2）求⊙O的半徑r．【答案】（1）BF＝10；（2）r=2．【分析】（1）設(shè)BF＝BD＝x，利用切線長定理，構(gòu)建方程解決問題即可．（2）證明四邊形OECF是矩形，推出OE＝CF即可解決問題．【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，∴AC＝＝＝5，∵⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，設(shè)BF＝BD＝x，則AD＝AE＝13﹣x，CFCE＝12﹣x，∵AE+EC＝5，∴13﹣x+12﹣x＝5，∴x＝10，∴BF＝10．（2）連接OE，OF，∵OE⊥AC，OF⊥BC，∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，∴四邊形OECF是矩形，∴OE＝CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2．即r＝2．14．已知：如圖，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，∠C=90°．(1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半徑r；(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半徑r．【答案】（1）r=3cm.

(2)r=（a+b-c）．【分析】首先設(shè)AC、AB、BC與⊙O的切點分別為D、E、F；易證得四邊形OFCD是正方形；那么根據(jù)切線長定理可得：CD=CF=（AC+BC-AB），由此可求出r的長．【解析】（1）如圖,連接OD，OF；在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=9cm；根據(jù)勾股定理AB==15cm；四邊形OFCD中，OD=OF，∠ODC=∠OFC=∠C=90°；則四邊形OFCD是正方形；由切線長定理，得：AD=AE，CD=CF，BE=BF；則CD=CF=（AC+BC-AB）；即：r=（12+9-15）=3cm．（2）當AC=b，BC=a，AB=c，由以上可得：CD=CF=（AC+BC-AB）；即：r=（a+b-c）．則⊙O的半徑r為：（a+b-c）．15．如圖，在中，，，是的外接圓，連接并延長交于點，連接，點是的內(nèi)心．（1）請用直尺和圓規(guī)作出點，證明；（2）求線段長．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）三角形內(nèi)心的作法確定點E，點是的內(nèi)心可得到，是的外接圓，用外接圓的性質(zhì)可以求出，再用三角形角之間的關(guān)系可以證明．（2）得到為的直徑，是的外接圓可知垂直平分，是內(nèi)心可推出，再用三角函數(shù)的性質(zhì)可求出．【解析】（1）如圖，點即為所求．∵，，∴．連接BE，∵點是的內(nèi)心，∴．∵是的外接圓，∴，又∵，∴，∴，在中，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．（2）∵，∴為的直徑，∴∵是的外接圓∴垂直平分∴平分∵是內(nèi)心∴平分∴點在線段上，即∵∴，∴∵∴．16．如圖，的半徑是3，點是上一點，弦垂直平分線段，點是上的任意一點（不與，重合），于點，以為圓心，為半徑作，分別過，兩點作的切線，切點分別為，，兩切線交于點．（1）求弦的長；（2）求的大?。唬?）設(shè)的面積為，若，求的半徑．【答案】（1）；（2）60°；（3）1【分析】（1）連結(jié)，記與的交點為，則有．由弦垂直平分線段，可得，．在中求得，即可得；（2）連結(jié)，，，由（1）得，，即可得，所以，．由題意，得點為的內(nèi)心，可得，．再由，即可得．（3）連結(jié)，，，設(shè)的周長為，的半徑為，則有，，，所以．又因，是的切線，可得，在直角中，，求得．已知，可得，解之即可得的半徑．【解析】（1）如圖，連結(jié)，記與的交點為，則有．∵弦垂直平分線段，∴，．在中，∵，∴．（2）如圖，連結(jié)，，，由（1）得，，∴，∴，∴．∵由題意，得點為的內(nèi)心，∴，．∵，∴，∴．（3）如圖，連結(jié)，，ME，設(shè)的周長為，的半徑為，則有，，，∴．∵，是的切線，∴，∴在直角中，，∴．∵，∴，∴，或（舍去），∴的半徑是1．17．【特例感知】（1）如圖（1），是的圓周角，BC為直徑，BD平分交于點D，，，求點D到直線AB的距離．【類比遷移】（2）如圖（2），是的圓周角，BC為的弦，BD平分交于點D，過點D作，垂足為點E，探索線段AB，BE，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【問題解決】（3）如圖（3），四邊形ABCD為的內(nèi)接四邊形，，BD平分，，，求的內(nèi)心與外心之間的距離．【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）．【分析】（1）如圖①中，作于，于．理由面積法求出，再利用角平分線的性質(zhì)定理可得解決問題；（2）如圖②中，結(jié)論：．只要證明，推出，，推出即可解決問題；（3）如圖③，過點D作DF⊥BA，交BA的延長線于點F，DE⊥BC，交BC于點E，連接AC，作△ABC△ABC的內(nèi)切圓，圓心為M，N為切點，連接MN，OM．由（1）（2）可知，四邊形BEDF是正方形，BD是對角線．由切線長定理可知：，推出，由面積法可知內(nèi)切圓半徑為2，在中，理由勾股定理即可解決問題；【解析】解：（1）如圖①中，作于，于．

圖①平分，，，，是直徑，，，，，．故答案為（2）如圖②中，結(jié)論：．

圖②理由：作于，連接，．平分，，，，，，，，，，，，，，，，．（3）如圖③，過點D作DF⊥BA，交BA的延長線于點F，DE⊥BC，交BC于點E，連接AC，作△ABC△ABC的內(nèi)切圓，圓心為M，N為切點，連接MN，OM．由（1）（2）可知，四邊形BEDF是正方形，BD是對角線．

圖③，正方形的邊長為7，由（2）可知：，，由切線長定理可知：，，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則解得，即，在中，．故答案為．18．如圖1，在平面直角坐標系中，邊長為1的正方形的頂點在軸的正半軸上，為坐標原點，現(xiàn)將正方形繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（）（1）當點落到軸正半軸上時，求邊在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；（2）若線段與軸的交點為（如圖2），線段與直線的交點為，當時，求此時內(nèi)切圓的半徑；（3）設(shè)的周長為，試判斷在正方形旋轉(zhuǎn)的過程中值是否發(fā)生變化，并說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）不發(fā)生變化，理由見詳解.【分析】（1）由題意當點落到軸正半軸上時，邊在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積由此計算即可．（2）如圖2中，在取一點，使得，首先證明是等腰直角三角形，推出，設(shè)，則，可得，解得，推出，同理可得，推出，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則有，由此求出即可解決問題．（3）在正方形旋轉(zhuǎn)的過程中值不發(fā)生變化．如圖3中，延長到使得．只要證明，推出，，再證明，推出，推出的周長．【解析】解：（1）如圖1中，由題意當點落到軸正半軸上時，邊在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積．（2）如圖2中，在取一點，使得，，，，是等腰直角三角形，，設(shè)，則，，，，同理可得，，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則有，．（3）在正方形旋轉(zhuǎn)的過程中值不發(fā)生變化．理由：如圖3中，延長到使得．，，，，，，，，，，，，的周長，的周長為定值．19．閱讀材料：已知，如圖（1），在面積為S的△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,內(nèi)切圓O的半徑為r連接OA、OB、OC，△ABC被劃分為三個小三角形．∴．（1）類比推理：若面積為