中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破講練：專題33 將軍飲馬模型（教師版）

專題33將軍飲馬模型【模型1】?jī)牲c(diǎn)一線1.如圖，在直線兩側(cè)各有一個(gè)定點(diǎn)，分別是點(diǎn)A、B，怎樣在直線上找到一點(diǎn)P，使得PA＋PB的值最??？思路：由“兩點(diǎn)間線段最短”可得當(dāng)A、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，PA＋PB的值最小，即為AB的長(zhǎng)度.構(gòu)圖：連接AB，AB與的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，如圖所示：2.如圖，在直線同側(cè)有A、B兩個(gè)定點(diǎn)，怎樣在直線上找到一點(diǎn)P，使得PA＋PB的值最?。繕?gòu)圖：作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)A’，連接A’B，A’B與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，如圖所示：3.如圖，在直線同側(cè)有A、B兩個(gè)定點(diǎn)，怎樣在直線上找到一點(diǎn)P，使得的值最大？構(gòu)圖：連接AB并延長(zhǎng)與的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，如圖所示：4.如圖，在直線兩側(cè)各有一個(gè)定點(diǎn)，分別是點(diǎn)A、B，怎樣在直線上找到一點(diǎn)P，使得的值最大？構(gòu)圖：作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)B’，連接AB’并延長(zhǎng)與的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，如圖所示：5.如圖，在直線同側(cè)有A、B兩個(gè)定點(diǎn)，怎樣在直線上找到一點(diǎn)P，使得的值最??？構(gòu)圖：連接AB，作AB的垂直平分線與直線交于點(diǎn)P，此時(shí)為0，如圖所示：【模型2】一定兩動(dòng)1.如圖，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，怎么樣在OA上找一點(diǎn)C，在OB上找一點(diǎn)D，使△PCD的周長(zhǎng)最??？構(gòu)圖：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P’、P’’，連接P’P’’，交OA、OB于點(diǎn)C、D，此時(shí)△PCD的周長(zhǎng)最小，P’P’’即為△PCD的周長(zhǎng)最小值，如圖所示：2.如圖，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，怎么樣在OA上找一點(diǎn)C，在OB上找一點(diǎn)D，使PD＋CD的值最??？構(gòu)圖：作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P’，過(guò)點(diǎn)P’作P’C⊥OA交OB于點(diǎn)D，交OA于點(diǎn)C，此時(shí)PD＋CD的值最小，P’C即為PD＋CD的值最小.3.如圖，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，怎樣在OA、OB上分別取點(diǎn)C、D，使得△PCD的周長(zhǎng)最?。繕?gòu)圖：分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P’、Q’，連接P’Q’分別交OA、OB于點(diǎn)C、D，此時(shí)△PCD的周長(zhǎng)最小值為PQ＋P’Q’，如圖所示：【模型3】?jī)牲c(diǎn)兩線在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使得PA＋PQ＋QB的值最小.1.A、B兩點(diǎn)都在直線的外側(cè)2.一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)3.兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)【例1】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在DC上，且DM=1，N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為（

）A．4 B． C． D．5【答案】D【分析】由正方形的對(duì)稱性可知點(diǎn)B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接BM交AC于N′，N′即為所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的長(zhǎng)即可．【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱，∴DN=BN，連接BD，BM交AC于N′，連接DN′，∴當(dāng)B、N、M共線時(shí)，DN+MN有最小值，則BM的長(zhǎng)即為DN+MN的最小值，∴AC是線段BD的垂直平分線，又∵CD=4，DM=1∴CM=CD-DM=4-1=3，在Rt△BCM中，BM=故DN+MN的最小值是5．故選：D．【例2】如圖，O為矩形ABCD對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，AB=8，M，N是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，且MN=2，則OM+ON的最小值是____________．【答案】【分析】根據(jù)題意，過(guò)O作OH∥BC，且令OH=2，連接NH，作O點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)K，連接OK，KH，則OM+ON=NH+ON=NH+NK≥HK，當(dāng)H、N、K三點(diǎn)共線的時(shí)候，OM+ON有最小值，最小值為HK的長(zhǎng)．根據(jù)矩形性質(zhì)及圖形的對(duì)稱性，易知，在中，運(yùn)用勾股定理求得HK的長(zhǎng)即可．【解析】解：過(guò)O作OH∥BC，且令OH=2，連接NH，作O點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)K，連接OK，KH，∵OH∥BC，OH=MN=2，∴四邊形OMNH是平行四邊形，∴OM=NH，∴OM+ON=NH+ON．∵O點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)K，∴ON=NK，∴OM+ON=NH+ON=NH+NK，∵，∴當(dāng)H、N、K三點(diǎn)共線的時(shí)候，OM+ON有最小值，最小值為HK的長(zhǎng)．∵OH∥BC，O點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)K，∴．

∵O為矩形ABCD對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，O點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)K，∴OK=AB=8．∵OH=2，，∴，∴OM+ON的最小值是．【例3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別與x軸的負(fù)半軸、y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，其中OA＝2，S△ABC＝12，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，且OC＝OB．(1)求直線AB的解析式；(2)將直線AB向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線l1，直線l1與y軸交于點(diǎn)E，與直線CB交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)E作y軸的垂線l2，若點(diǎn)P為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為直線l2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PD+PQ+DQ的最小值；(3)若點(diǎn)M為直線AB上的一點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)y＝2x+4(2)(3)存在以點(diǎn)A、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，N的坐標(biāo)為（0，﹣2）或（0，10）【分析】（1）設(shè)OB＝OC＝m，由S△ABC＝12，可得B（0，4），設(shè)直線AB解析式為y＝kx＋b，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）將直線AB向下平移6個(gè)單位，則直線l1解析式為y＝2x?2，可得E（0，?2），垂線l2的解析式為y＝?2，由B（0，4），C（4，0），得直線BC解析式為y＝?x＋4，從而可求得D（2，2），作D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D，作D關(guān)于直線y＝?2對(duì)稱點(diǎn)D，連接DD交y軸于P，交直線y＝?2于Q，此時(shí)PD＋PQ＋DQ的最小，根據(jù)D（?2，2），D（2，?6），得直線DD解析式為y＝?2x?2，從而P（0，?2），Q（0，?2），故此時(shí)PD＝2，PQ＝0，DQ＝，PD＋PQ＋DQ的最小值為4．（3）設(shè)P（p，2p＋4），N（0，q），而A（?2，0），D（2，2），①以AD、MN為對(duì)角線，此時(shí)AD中點(diǎn)即為MN中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)公式得N（0，?2）；②以AM、DN為對(duì)角線，同理可得N（0，10）；③以AN、DM為對(duì)角線，同理可得N（0，?2）．【解析】（1）解：（1）設(shè)OB＝OC＝m，∵OA＝2，∴AC＝m+2，A（﹣2，0），∵S△ABC＝12，∴AC?OB＝12，即m?（m+2）＝12，解得m＝4或m＝﹣6（舍去），∴OB＝OC＝4，∴B（0，4），設(shè)直線AB解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴直線AB解析式為y＝2x+4；（2）將直線ABy＝2x+4向下平移6個(gè)單位，則直線l1解析式為y＝2x﹣2，令x＝0得y＝﹣2，∴E（0，﹣2），垂線l2的解析式為y＝﹣2，∵B（0，4），C（4，0），設(shè)直線BC解析式為y＝px+q，∴，解得，∴直線BC解析式為y＝﹣x+4，由得：，∴D（2，2），作D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，作D關(guān)于直線y＝﹣2對(duì)稱點(diǎn)D''，連接D'D''交y軸于P，交直線y＝﹣2于Q，此時(shí)PD+PQ+DQ的最小，如圖：∴D'（﹣2，2），D''（2，﹣6），設(shè)直線D'D''解析式為y＝sx+t，則，解得，∴直線D'D'解析式為y＝﹣2x﹣2，令x＝0得y＝﹣2，即P（0，﹣2），令y＝﹣2得x＝0，即Q（0，﹣2），∴此時(shí)PD＝2，PQ＝0，DQ＝2，∴PD+PQ+DQ的最小值為4．（3）存在，理由如下：設(shè)P（p，2p+4），N（0，q），而A（﹣2，0），D（2，2），①以AD、MN為對(duì)角線，如圖：此時(shí)AD中點(diǎn)即為MN中點(diǎn)，∴，解得，∴N（0，﹣2）；②以AM、DN為對(duì)角線，如圖：同理可得：，解得，∴N（0，10）；③以AN、DM為對(duì)角線，如圖：同理可得，解得，∴N（0，﹣2），綜上所述，以點(diǎn)A、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，N的坐標(biāo)為（0，﹣2）或（0，10）．一、單選題1．如圖，點(diǎn)M是菱形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，P為對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，若AB＝2，∠A＝120°，則PM＋PC的最小值為（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【分析】連接AM、AC，AM交BD于P，此時(shí)PM+PC最小，連接CP，由菱形的性質(zhì)可知C和A關(guān)于BD對(duì)稱，AP=CP，由條件易證△ABC是等邊三角形，根據(jù)三線合一可知AM⊥BC，再根據(jù)勾股定理可求AM的值，即可求解．【解析】解：連接AM、AC，AM交BD于P，此時(shí)PM+PC最小，連接CP，∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，AC⊥BD，∴C和A關(guān)于BD對(duì)稱，∴AP=PC，∵∠A=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=2，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴AM⊥BC，∴∠BAM=30°，∴BM=1，∴AM=，∴PM+PC=AM=．故選B．2．已知線段AB及直線l，在直線上確定一點(diǎn)，使最小，則下圖中哪一種作圖方法滿足條件（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短即可解決問(wèn)題．【解析】解：∵點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，∴作B點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'與l的交點(diǎn)為P，由對(duì)稱性可知BP=B'P，∴PA+PB=PB′+PA=AB′為最小故選：C．3．如圖1，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，點(diǎn)E是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PD的長(zhǎng)度為x，PE與PC的長(zhǎng)度和為y，圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，其中H（a，b）是圖象上的最低點(diǎn)，則a+b的值為（）A． B． C． D．36【答案】A【分析】從圖2知，是的最小值，從圖1作輔助線知；接下來(lái)求出，設(shè)與交于點(diǎn)，則求出，，最后得，所以，選．【解析】解：如下圖，在邊上取點(diǎn)，使得和關(guān)于對(duì)稱，連接，得，連接，作，垂足為，由三角形三邊關(guān)系和垂線段最短知，，即有最小值，菱形中，，，在△中，，解得，是圖象上的最低點(diǎn)，此時(shí)令與交于點(diǎn)，由于，在△中，，又，，又的長(zhǎng)度為，圖2中是圖象上的最低點(diǎn)，，又，，故選：A．4．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是邊AC上一點(diǎn)，若AE＝2，則EM＋CM的最小值為（

）A． B．3 C．2 D．4【答案】C【分析】連接BE，交AD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC交于點(diǎn)F，此時(shí)EM＋CM的值最小，求出BE即可．【解析】解：連接BE，交AD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC交于點(diǎn)F，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，∴B點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于AD對(duì)稱，∴BM＝CM，∴EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此時(shí)EM＋CM的值最小，∵AC＝6，AE＝2，∴EC＝4，在Rt△EFC中，∠ECF＝60°，∴FC＝2，EF＝2，在Rt△BEF中，BF＝4，∴BE＝2，故選：C．5．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)E是DC上一個(gè)點(diǎn)，且DE＝1，P點(diǎn)在AC上移動(dòng)，則PE＋PD的最小值是（

）A．4 B．4.5 C．5.5 D．5【答案】D【分析】連接BE，交AC于點(diǎn)N'，連接DN'，N'即為所求的點(diǎn)，則BE的長(zhǎng)即為DP+PE的最小值，利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)即可．【解析】解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接BE，交AC于點(diǎn)N'，連接DN'，∴DN'=BN'，DN'+EN'=BN'+EN'BD，則BE的長(zhǎng)即為DP+PE的最小值，∴AC是線段BD的垂直平分線，又∵CE=CD-DE=4-1=3，在Rt△BCE中，BE2=CE2+BC2=25，∵BE＞0，∴BE=5，即DP+PE的最小值為5，故選：D．6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF＝2，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是（

）A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不對(duì)【答案】B【解析】思路引領(lǐng)：先依據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)，然后依據(jù)翻折的性質(zhì)可知PF＝FC，故此點(diǎn)P在以F為圓心，以2為半徑的圓上，依據(jù)垂線段最短可知當(dāng)FP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最短，然后依據(jù)題意畫出圖形，最后，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．答案詳解：如圖所示：當(dāng)PE∥AB．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB10，由翻折的性質(zhì)可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂線段最短可知此時(shí)FD有最小值．又∵FP為定值，∴PD有最小值．又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴，即，解得：DF＝3.2．∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故選：B．7．如圖，矩形中，，點(diǎn)是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】作PM⊥AD于M，作點(diǎn)D關(guān)于直線PM的對(duì)稱點(diǎn)E，連接PE，EC．設(shè)AM=x．由PM垂直平分線段DE，推出PD=PE，推出PC+PD=PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可．【解析】解：如圖，作PM⊥AD于M，作點(diǎn)D關(guān)于直線PM的對(duì)稱點(diǎn)E，連接PE，EC．設(shè)AM=x．∵四邊形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB=CD=4，BC=AD=6，∵S△PAB=S△PCD，∴×4×x=××4×（6-x），∴x=2，∴AM=2，DM=EM=4，在Rt△ECD中，EC==4，∵PM垂直平分線段DE，∴PD=PE，∴PC+PD=PC+PE≥EC，∴PD+PC≥4，∴PD+PC的最小值為4．故選：B．8．如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（）A． B．2 C．2 D．3【答案】A【分析】把要求的最大值的兩條線段經(jīng)過(guò)平移后形成一條線段，然后再根據(jù)垂線段最短來(lái)進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥l于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝，∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，∴BD＝CD，在△BFD與△CKD中，，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延長(zhǎng)AE，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AE于點(diǎn)N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，當(dāng)直線l⊥AC時(shí)，最大值為，綜上所述，AE+BF的最大值為．故選：A．二、填空題9．在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常會(huì)看到許多“標(biāo)準(zhǔn)”的矩形，如我們的課本封面、A4的打印紙等，其實(shí)這些矩形的長(zhǎng)與寬之比都為，我們不妨就把這樣的矩形稱為“標(biāo)準(zhǔn)矩形”，在“標(biāo)準(zhǔn)矩形”中，如圖所示，點(diǎn)在上，且，若為邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，則的值為_(kāi)_____．【答案】【分析】先設(shè)出矩形的邊長(zhǎng)，將AQ和CQ表示出來(lái)，再通過(guò)作對(duì)稱點(diǎn)確定△AGQ的周長(zhǎng)最小時(shí)的G點(diǎn)位置后，利用平行線分線段成比例的基本事實(shí)的推論建立等式求解即可．【解析】解：設(shè)DC=，DQ=AD=x，∴∵矩形ABCD，∴∠D=∠DCB=∠B=90°，，∴，如圖，作Q點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE交BC于點(diǎn)M，∴GQ＝GE，CQ=CE=∴AQ+QG+AG=，∴當(dāng)A、G、E三點(diǎn)共線時(shí)，△AGQ的周長(zhǎng)最小，此時(shí)G點(diǎn)應(yīng)位于圖中的M點(diǎn)處；∵矩形ABCD中，∠QCG=90°，∴E點(diǎn)位于QC的延長(zhǎng)線上，∴CE∥AB，∴，即，故答案為：．10．如圖，點(diǎn)是內(nèi)任意一點(diǎn)，，點(diǎn)和點(diǎn)分別是射線和射線上的動(dòng)點(diǎn)，，則周長(zhǎng)的最小值是______．【答案】3【分析】根據(jù)“將軍飲馬”模型將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為所學(xué)知識(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”可找到周長(zhǎng)的最小的位置，作出圖示，充分利用對(duì)稱性以及，對(duì)線段長(zhǎng)度進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化即可．【解析】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)P分別作P點(diǎn)關(guān)于OB、OA邊的對(duì)稱點(diǎn)、，連接、、、、，其中分別交OB、OA于點(diǎn)N、M，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知，此時(shí)點(diǎn)M、N的位置是使得周長(zhǎng)的最小的位置．由對(duì)稱性可知：，，為等邊三角形的周長(zhǎng)===3故答案為：311．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠ABC＝120°，M是BC邊的一個(gè)三等分點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PB＋PM的值最小時(shí)，PM的長(zhǎng)是________．【答案】【分析】如圖，連接DP，BD，作DH⊥BC于H．當(dāng)D、P、M共線時(shí)，值最小，利用勾股定理求出DM，再利用平行線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【解析】解：如圖，連接DP，BD，作DH⊥BC于H．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，B、D關(guān)于AC對(duì)稱，∴PB+PM=PD+PM當(dāng)D、P、M共線時(shí)，的值最小，∵CM=BC=2∵∠ABC=120°，∴∠DBC=∠ABD=60°∴△DBC是等邊三角形，∵BC=6，∴CM=2，HM=1，DH=，在Rt△DMH中，∵CM∥AD∴∴故答案為：．12．如圖，等邊的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_____．【答案】【分析】當(dāng)連接BE，交AD于點(diǎn)P時(shí)，EP+CP=EP+PB=EB取得最小值．【解析】解：連接BE∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B，∴BE就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等邊三角形，E是AC邊的中點(diǎn)，∴BE是△ABC的中線，∴CE＝AC＝2，∴即EP+CP的最小值為，故答案為：．13．如圖，等邊三角形的邊上的高為6，是邊上的中線，M是線段上的-一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E是中點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)________．【答案】6【分析】連接BE交AD于M，則BE就是EM+CM的最小值，通過(guò)等腰三角形的“三線合一”，可得BE=AD即可得出結(jié)論．【解析】解：連接BE，與AD交于點(diǎn)M．∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴B、C關(guān)于AD對(duì)稱，則EM+CM=EM+BM，則BE就是EM+CM的最小值．∵E是等邊△ABC的邊AC的中點(diǎn)，AD是中線∴BE=AD=6，∴EM+CM的最小值為6，故答案為：6．14．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)M在DC上且DM＝2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則DN＋MN的最小值是______．【答案】10【分析】要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考慮通過(guò)作輔助線轉(zhuǎn)化DN，MN的值，從而找出其最小值求解．【解析】解：∵正方形是軸對(duì)稱圖形，點(diǎn)B與點(diǎn)D是關(guān)于直線AC為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，∴連接BN，BD，∴BN＝ND，∴DN＋MN＝BN＋MN，連接BM交AC于點(diǎn)P，∵點(diǎn)N為AC上的動(dòng)點(diǎn)，由三角形兩邊和大于第三邊，知當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，BN＋MN的最小值為BM的長(zhǎng)度，∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，∠BCM＝90°，∴BM＝＝10，∴DN＋MN的最小值是10．故答案為：10．三、解答題15．如圖，在一條東西向的馬路上有廣場(chǎng)A和醫(yī)院C，在各自正北方向上分別有汽車站B和汽車站D，已知AC＝14km，AB＝4km，CD＝8km，市政府打算在馬路AC段之間建造一個(gè)加油站P．（1）若要使得加油站P到兩汽車站的距離之和最小，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖1中作出加油站P的位置，并直接寫出此時(shí)的最小值．（作圖請(qǐng)保留痕跡，結(jié)果可以保留根號(hào)）（2）若要使得加油站到兩汽車站的距離相等，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖2中作出加油站P的位置，并求出此時(shí)PA的距離．（作圖請(qǐng)保留痕跡）【答案】（1）圖見(jiàn)解析，km；（2）圖見(jiàn)解析，km．【分析】（1）作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接DB′交AC于點(diǎn)P，連接PB，此時(shí)PB+PD的值最小，利用勾股定理求出最小值；（2）連接BD，作線段BD的垂直平分線交AC于點(diǎn)P，連接PB，PD，點(diǎn)P即為所求，設(shè)PA＝xkm，利用勾股定理求解即可．【解析】解：（1）如圖1中，點(diǎn)P即為所求．過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．則四邊形ACDE是矩形，∴AC＝DE＝14（km），CD＝AE＝8（km），∵AB＝AB′＝4km，∴EB′＝AE+AB′＝12（km），∴PB+PD的最小值＝DB′＝＝＝（km）．（2）如圖2中，點(diǎn)P即為所求，設(shè)PA＝xkm，CP＝（14﹣x）km，∵∠A＝∠C＝90°，在Rt△ABP和Rt△PCD中，PB＝PD，∴42+x2＝82+（14﹣x）2，解得x＝∴AP＝（km）．16．如圖，一個(gè)牧童在小河的南4華里（長(zhǎng)度單位）的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8華里北7華里處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他要完成這件事情所走的最短路程是多少?【答案】17華里【分析】作出A點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)，連接交MN于點(diǎn)P，則就是最短路線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得出，根據(jù)勾股定理得出，即可求出最短路徑．【解析】解：作出A點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)，連接交MN于點(diǎn)P，則就是最短路線，如圖所示：，，，∵M(jìn)N垂直平分，∴，∵在中，，∴，∴（華里）．答：牧童所走的最短里程是17華里．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，．(1)畫出關(guān)于軸對(duì)稱的；(2)在軸上找一點(diǎn)，使的值最?。ūＡ糇鲌D痕跡），并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析，的坐標(biāo)為．【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)結(jié)合坐標(biāo)系，分別確定點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A1、B1、C1，即可作出；（2）作出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B2，連接B2C，交x軸于P，點(diǎn)P即為所求做的點(diǎn)．【解析】（1）解：解：（1）如圖所示，即為關(guān)于軸對(duì)稱的三角形．（2）解：如圖所示，點(diǎn)P即為所求做的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．18．如圖，方格圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A，B，C都是格點(diǎn)．（1）畫出△ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱的．（2）若B為坐標(biāo)原點(diǎn)，請(qǐng)寫出、、的坐標(biāo)，并直接寫出的長(zhǎng)度．．（3）如圖2，A，C是直線同側(cè)固定的點(diǎn)，D是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在直線MN上畫出點(diǎn)D，使最小．（保留作圖痕跡）【答案】（1）畫圖見(jiàn)解析；（2），；（3）畫圖見(jiàn)解析【分析】（1）分別確定關(guān)于對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)再順次連接從而可得答案；（2）根據(jù)在坐標(biāo)系內(nèi)的位置直接寫其坐標(biāo)與的長(zhǎng)度即可；（3）先確定關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，再連接交于則從而可得答案.【解析】解：（1）如圖1，是所求作的三角形，（2）如圖1，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則

（3）如圖2，點(diǎn)即為所求作的點(diǎn).19．如圖，一次函數(shù)y＝kx﹣6過(guò)點(diǎn)A（﹣2，﹣2），與y軸交于點(diǎn)B．(1)求一次函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)B坐標(biāo)；(2)在x軸上找一點(diǎn)C，連接BC，AC．當(dāng)BC＋AC最小時(shí)，①請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_____；②請(qǐng)直接寫出直線BC的函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)_____；③在坐標(biāo)軸上找點(diǎn)D，連接BD，CD，使S△ABC＝S△BCD，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)____．【答案】(1)y=-2x-6，B（0，-6）(2)①（-，0）；②y=-4x-6；③或或（0，-2）或（0，-10）【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解式，進(jìn)入求得B的坐標(biāo)；（2）①作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為（0，6），連，交x軸于點(diǎn)C，此時(shí)BC+AC最小，用待定系數(shù)法求出，進(jìn)一步求出C點(diǎn)坐標(biāo)；②利用待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式；③求得△ABC的面積，然后根據(jù)三角形面積公式得CD和BD的長(zhǎng)度進(jìn)而即可求得D的坐標(biāo)．【解析】(1)解：∵一次函數(shù)y＝kx﹣6過(guò)點(diǎn)A（﹣2，﹣2）∴-2=-2k-6，解得k=-2∴y=-2x-6∴B（0，-6）(2)①B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是，連接交x軸于點(diǎn)C，此時(shí)AC+BC最小，設(shè)直線的解析式為y=ax+b，則解得∴y=4x+6∴當(dāng)y=0時(shí)，x=-，∴點(diǎn)C（-，0）故答案為：（-，0）②設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，則，解得∴y=-4x-6故答案為：y=-4x-6③∵A（-2，-2），B（0，-6），C∴當(dāng)D在x軸時(shí)，，即∴CD=1∴點(diǎn)D為或當(dāng)D在y軸上時(shí)，即∴BD=4∴點(diǎn)D為（0，-2）或（0，-10）故答案為：或或（0，-2）或（0，-10）20．教材呈現(xiàn)：下圖是華師版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第111頁(yè)的部分內(nèi)容．(1)問(wèn)題解決：請(qǐng)結(jié)合圖①，寫出例1的完整解答過(guò)程．(2)問(wèn)題探究：在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB＝4，∠BAD＝2∠ABC．過(guò)點(diǎn)D作DE//AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．如圖②，連結(jié)OE，則OE的長(zhǎng)為_(kāi)___．(3)如圖③，若點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PC、PE，則PC＋PE的最小值為_(kāi)____．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)先得出，進(jìn)而證明是等邊三角形．（2）先證明四邊形ACED是菱形，再求出，用勾股定理即可求出OE的長(zhǎng)．（3）先找出點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性得到PC＋PE的最小值為AE的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)即可．【解析】（1）四邊形ABCD是菱形，∴AD//BC，．，．四邊形ABCD是菱形，．是等邊三角形．（2）四邊形ABCD是菱形，∴AD//BC，又∵DE//AC，四邊形ACED是平行四邊形，由（1）可得，故四邊形ACED是菱形；則，，∠BDC=30°，OA=2，則．（3）如圖所示，過(guò)A作BE的垂線交BE于點(diǎn)F，連接AE，A點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，則PC＋PE的最小值為AE；為等邊三角形，，，，則PC＋PE的最小值為．21．如圖，直線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形PDCB的周長(zhǎng)最小時(shí)，求四邊形PDCB的面積；(3)把直線沿y軸向上平移9個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新直線與直線交于點(diǎn)E，試探究在x軸上是否存在點(diǎn)Q，在平面內(nèi)存在點(diǎn)F使得以點(diǎn)D，Q，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形（含正方形）？若存在，直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2)(3)存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：，，，【分析】（1）由待定系數(shù)法求出直線的解析式為，然后聯(lián)立直線與直線，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖，作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交y軸于點(diǎn)P，連接DP，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，四邊