橢圓的幾何性質(zhì)高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)oyB2B1A1A2F1F2cab知識(shí)回顧：橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和（2a）等于定長(zhǎng)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。定點(diǎn)F1、F2叫做橢圓的焦點(diǎn)。兩焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距（2c）。標(biāo)準(zhǔn)方程為其中，解析幾何研究的主要問(wèn)題是什么？（1）根據(jù)已知條件，求出表示曲線的方程。（2）通過(guò)方程，研究平面曲線的性質(zhì)。

下面通過(guò)橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程，研究橢圓的性質(zhì)觀察橢圓的形狀，你能從圖上看出它的范圍嗎？它具有怎樣的對(duì)稱性？橢圓上哪些點(diǎn)比較特殊？F1F2M0xyA1A2B1B2

-a≤x≤a,-b≤y≤b

∴橢圓位于直線x=±a,y=±b所圍成的矩形中，如圖所示：oyB2B1A1A2F1F2cab二、新課講解：1、橢圓的范圍：由x2.橢圓的對(duì)稱性中心：橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心

oxy在之中，把（）換成（），方程不變，說(shuō)明：橢圓關(guān)于（）軸對(duì)稱；橢圓關(guān)于（）軸對(duì)稱；橢圓關(guān)于（）點(diǎn)對(duì)稱；故，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心P2(-x，y)P1(x，y)P3(x，-y)P4(-x，-y)3.橢圓的頂點(diǎn)

oxyB2B1A1A2︱︱F1F2*長(zhǎng)軸、短軸：線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸。它們的長(zhǎng)分別等于2a和2b

。a、b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(0,-b)(a，0)(-a，0)3、橢圓的頂點(diǎn)：令x=0，得y=？說(shuō)明橢圓與y軸的交點(diǎn)為（），令y=0，得x=？說(shuō)明橢圓與x軸的交點(diǎn)為（）。0,±b±a,0*頂點(diǎn)：橢圓與它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn)，叫做橢圓的頂點(diǎn)。特征三角形4、橢圓的離心率離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比叫做橢圓的離心率。[1]離心率的取值范圍：0<e<1①e越接近1，c

就越接近a，請(qǐng)問(wèn)：此時(shí)橢圓的變化情況？[2]e與a,b的關(guān)系:用e表示，即(e用來(lái)刻畫(huà)橢圓扁平程度的量)②e

越接近0，c

就越接近0，請(qǐng)問(wèn)：此時(shí)橢圓又是如何變化的？

e

越接近1，c

就越接近a，b就越小，此時(shí)橢圓就越扁e

越接近0，c就越接近0，

b就越大，此時(shí)橢圓就越圓小結(jié)一：基本元素oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2基本量：a、b、c、e、（共四個(gè)量）基本點(diǎn)：頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心（共七個(gè)點(diǎn)）基本線：對(duì)稱軸（共兩條線）請(qǐng)考慮：基本量之間、基本點(diǎn)之間、基本線之間以及它們相互之間的關(guān)系（位置、數(shù)量之間的關(guān)系）同學(xué)們對(duì)橢圓性質(zhì)對(duì)比歸納標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長(zhǎng)離心率a、b、c的關(guān)系關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b.(a>b)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b.(a>b)-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤ba2=b2+c2a2=b2+c2例1、求橢圓16x2+25y2=400的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫(huà)出它的圖形.解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程：

因此，橢圓的長(zhǎng)軸和短軸長(zhǎng)分別為2a=10和2b=8,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-3，0）和F2（3，0），四個(gè)頂點(diǎn)分別為A1(-5，0)、A2(5，0)、B1(0，-4)、B2(0，4)。這里a=5，b=4，xyOx012345y43.93.73.22.40列表：例2、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－3，0)，Q(0，－2)；（3）長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于20，離心率等于.解：（1）由橢圓的幾何性質(zhì)可知，點(diǎn)P、Q分別為橢圓長(zhǎng)軸和短軸的一個(gè)端點(diǎn).為所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3）長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于20，離心率等于.解：注：待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟:⑴定位;⑵定量1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了橢圓的幾個(gè)簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率等概念及其幾何意義。2.了解了研究橢圓的幾個(gè)基本量a,b,c,e及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、對(duì)稱中心及其相互之間的關(guān)系,這對(duì)我們解決橢圓中的相關(guān)問(wèn)題有很大的幫助,為以后學(xué)習(xí)圓錐曲線其他的兩種曲線扎實(shí)了基礎(chǔ)。3.在本節(jié)學(xué)習(xí)中,我們從方程的形式這個(gè)角度來(lái)挖掘題目中的隱含條件,需要我們認(rèn)識(shí)并熟練掌握數(shù)與形的聯(lián)系。為以后解析幾何的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。4.在本節(jié)課中,我們運(yùn)用了幾何性質(zhì),待定系數(shù)法來(lái)求解橢圓方程,在解題過(guò)程中,準(zhǔn)確體現(xiàn)了函數(shù)與方程以及分類討論的數(shù)學(xué)思想。小結(jié)反思，升華素養(yǎng)3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（2）1.范圍方程中的x、y的范圍分別是：______、______。這說(shuō)明了橢圓位于直線______和________圍成的矩形里。2.對(duì)稱性________是橢圓的對(duì)稱軸；_________是橢圓的對(duì)稱中心；__________叫橢圓的中心橢圓與x、y軸的交點(diǎn)有________________________；因?yàn)閤、y軸是該橢圓的對(duì)稱軸，所以四個(gè)交點(diǎn)又叫橢圓的______。_________叫長(zhǎng)軸，________叫短軸。|x|≤a|y|≤bx=±ay=±b

x、y軸

原點(diǎn)橢圓的對(duì)稱中心A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1A2B1B2頂點(diǎn)線段A1A2線段B1B212yxFFO橢圓幾何性質(zhì)：|A1A2|=2a，|B1B2|=2b，在Rt△OB2F2中，|OF2|2=|B2F2|2-|OB2|2，4.離心率橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比，叫做橢圓的離心率.3.頂點(diǎn)根據(jù)的性質(zhì)說(shuō)出的性質(zhì)圖形范圍頂點(diǎn)對(duì)稱性方程A1(-a,0)、A2(a，0)、B1(0,-b)、B2(0,b)關(guān)于x、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱|x|≤a;|y|≤b|x|≤b;|y|≤aA1(0,-a)、A2(0,a)、B1(-b,0)、B2(b,0)關(guān)于x、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

yxoF1F2

yxoF1F2A2A1B1B2A1A2B!B2離心率A復(fù)習(xí)練習(xí)15實(shí)際應(yīng)用：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程例1.如圖,一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分.過(guò)對(duì)稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1上，片門(mén)位于另一個(gè)焦點(diǎn)F2上.由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F1發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)F2.已知BC⊥F1F2,|F1B|=2.8cm,|F1F2|=4.5cm.試建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求截口BAC所在橢圓的方程（精確到0.1cm).Hd實(shí)際應(yīng)用：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程變式.解：..FF’xyO.M推廣探究橢圓的第二定義：若平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M..FF’xyO.M拓展探究：教材P116閱讀材料橢圓的第二定義：若平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M.F.M說(shuō)明：橢圓的兩個(gè)定義，是從不同的角度反映了橢圓的特征.一般地，如果遇到動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離問(wèn)題，應(yīng)聯(lián)想到橢圓的第一定義；如果遇到動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)及一條定直線的距離問(wèn)題，應(yīng)聯(lián)想到橢圓的第二定義.定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓.橢圓的第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)F1..F2MF1OF2xyM

橢圓上的點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦半徑。|MF1|＝a＋ex0|MF2|＝a－ex0

|MF2|＝a-ey0

|MF1|＝a+ey0

xF1F2yOM拓展xy.解：(1)由知，∵

P(x,y)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)x=0即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，

當(dāng)即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，（法二）∵

P(x,y)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴

可設(shè)則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，解：(2)由橢圓第二定義得，..F2F1xyO.P由知，∴當(dāng)x=0即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，

當(dāng)即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，(焦半徑公式)xF1F2MOyAB..例3.拓展探究D

典型例題求橢圓的離心率的值(或范圍)變式訓(xùn)練1：若將本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改為“∠PF2F1=75°,∠PF1F2=45°”,求橢圓C的離心率.解:在△PF1F2,∵∠PF1F2=45°,∠PF2F1=75°,∴∠F1PF2=60°,設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,鞏固練習(xí)變式訓(xùn)練2：若將本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改為“橢圓C上存在點(diǎn)P,使∠F1PF2為鈍角”,求橢圓C的離心率的取值范圍.探究一:求橢圓離心率的值(或范圍)PAOC2(1)已知橢圓的焦距不小于短軸長(zhǎng),求橢圓的離心率的取值范圍.(2)如圖所示,設(shè)直線y=2x與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為P,則點(diǎn)P橫坐標(biāo)為c,連