專題11.10角平分線模型經(jīng)典問題特色訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)）-【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（解析版）【人教版】

【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（人教版）專題11.10角平分線模型經(jīng)典問題特色訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)）班級(jí)：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．如圖，BE、CF都是△ABC的角平分線，且∠BDC＝115°，則∠A＝（）A．50° B．45° C．65° D．70°【答案】A【分析】先利用角平分線的性質(zhì)在△DCB中求出∠EBC+∠FCB、∠ABC+∠ACB，再在△ABC中求出∠A．【解答】解：∵BE、CF都是△ABC的角平分線，∴∠EBC=12∠ABC，∠BCF=1∵∠EBC+∠FCB+∠BDC＝180°，∠BDC＝115°，∴∠EBC+∠FCB＝65°．∴∠ABC+∠ACB＝130°．∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴∠A＝50°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和，掌握“三角形的內(nèi)角和是180°”及角平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．2．如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，則∠A+∠P＝（）A．70° B．80° C．90° D．100°【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義以及一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，可求出∠A的度數(shù)，根據(jù)補(bǔ)角的定義求出∠ACB的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出∠P的度數(shù)，即可求出結(jié)果．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，∵∠PBC＝20°，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，∴∠A+∠P＝90°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是明確：一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和以及補(bǔ)角的定義以及三角形的內(nèi)角和為180°．3．如圖，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE∥AB，交BC于點(diǎn)E，若∠BDE＝50°，則∠A的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【分析】首先利用平行線的性質(zhì)求出∠ABD的度數(shù)，接著利用角平分線的性質(zhì)求出∠ABC，最后利用三角形的內(nèi)角和求出∠A的度數(shù)．【解答】解：∵DE∥AB，∠BDE＝50°，∴∠ABD＝∠BDE＝50°，而BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD＝100°，∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣100°﹣30°＝50°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，同時(shí)也利用了角平分線的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單．4．如圖，AF∥CD，CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列結(jié)論：①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠BCD+∠D＝90°；④∠DEB＝2∠ACB．其中結(jié)論正確的序號(hào)為（）A．③④ B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】本題首先根據(jù)角平分線的定義，以及BC⊥BD可得∠CBE＝∠ABC．再根據(jù)角平分線和AF∥CD，可得∠ABC＝∠BCE＝∠ACB．再根據(jù)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得所有結(jié)論．【解答】解：∵CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，∴∠ACB＝∠BCE，∠EBD＝∠FBD，又∵AF∥CD，∴∠ABC＝∠BCE∴∠ABC＝∠BCE＝∠ACB，∵BC⊥BD，∴∠CBE+∠EBD＝90°，∠FBD+∠ABC＝90°，∴∠CBE＝∠ABC，∴CB平分∠ABE，故①正確．又∵∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝∠CBE，∴AC∥BE，故②正確．∵BC⊥BD在Rt△BCD中，∠BCD+∠D＝90°，故③正確．∵∠DEB是△BCE的外角，∴∠DEB＝∠BCE+∠CBE＝2∠ACB，故④正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】解題的關(guān)鍵是注意平行線的性質(zhì)，角平分線的定義以及外角的定理的綜合應(yīng)用．5．如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝122°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．116° B．100° C．128° D．120°【答案】C【分析】根據(jù)折疊可知，∠ADE＝∠EDA′，∠AED＝∠DEA′，再利用平角為180°，三角形內(nèi)角和180°，推出∠1+∠2＝2∠A，再利用三角形內(nèi)角和定理、角平分線性質(zhì)求出∠A，再求出結(jié)果即可．【解答】解：∵△ABC紙片沿DE折疊，∴△AED≌△A′ED，∴∠ADE＝∠EDA′，∠AED＝∠DEA′，∴∠1+∠2＝180°﹣2∠ADE+180°﹣2∠AED＝180°﹣（∠ADE+∠AED）+180°﹣（∠ADE+∠AED）＝2∠A，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝122°，∴∠A'BC=12∠ABC，∠A'CB=1∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣122°＝58°，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠A'BC+∠A'CB）＝2×58°＝116°，∴∠A＝180°﹣116°＝64°，∴∠1+∠2＝2∠A＝2×64°＝128°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義，三角形外角的性質(zhì)，折疊變換等知識(shí)，關(guān)鍵在于能夠正確添加輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)．6．如圖，△ABC沿EF折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，BP、CP分別是∠ABD、∠ACD平分線，若∠P＝30°，∠A'EB＝20°，則∠A'FC為（）A．125° B．130° C．135° D．140°【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)得到∠P=12∠A，求出∠A，則∠A′FC＝∠1+∠A＝∠A′+∠A′EB+∠【解答】解：如圖，∵BP、CP分別是∠ABD、∠ACD的平分線，∴∠PBD=12∠ABD，∠BCP=1∴∠P＝∠PBD﹣∠BCP=12（∠ABD﹣∠BCA）=1∴∠A＝2∠P＝60°，∴∠A′＝∠A＝60°，∴∠AGF＝∠A′+∠A′EB＝60°+20°＝80°，∴∠A′FC＝∠A+∠AGF＝60°+80°＝140°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，外角的性質(zhì)以及角平分線的定義，靈活運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．如圖，∠AOB＝60°，點(diǎn)M、N分別在OA、OB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延長(zhǎng)線與∠MNO的平分線交于點(diǎn)F，在M、N的運(yùn)動(dòng)過程中，∠F的度數(shù)（）A．變大 B．變小 C．等于45° D．等于30°【答案】D【分析】由∠AMN是△OMN的外角，∠EMN是△FMN的外角，得到∠AMN＝∠O+∠ONM，∠EMN＝∠F+∠FNM，再由角平分線，得到∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，從而得到∠F=12∠【解答】解：∵∠AMN是△OMN的外角，∴∠AMN＝∠O+∠ONM，∵∠EMN是△FMN的外角，∴∠EMN＝∠F+∠FNM，∵M(jìn)E平分∠AMN，F(xiàn)N平分∠MNO，∴∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，∴∠O＝2∠F，∴∠F＝30°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，以及三角形的內(nèi)角和是180°的定理的綜合運(yùn)用．屬于?？碱}．8．如圖，△ABC中，CD平分∠ACB，點(diǎn)M在線段CD上，且MN⊥CD交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．若∠B＝30°，∠CAN＝96°，則∠N的度數(shù)為（）A．22° B．27° C．30° D．37°【答案】B【分析】先依據(jù)三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系求出∠ACB，再有角平分線性質(zhì)求出∠ACD，再由垂直、對(duì)頂角關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理即可求出∠N的度數(shù)．【解答】解：如圖所示，∠NAC是三角形ABC的一個(gè)外角，∴∠NAC＝∠B+∠ACB，即∠ACB＝∠NAC﹣∠B；∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB=12∠∵∠B＝30°，∠CAN＝96°，∴∠ACD=12∠ACB=12（96°﹣∵M(jìn)N⊥CD，∴在直角三角形OMC中，∠COM＝90°﹣33°＝57°，∵∠NOA與∠COM互為對(duì)頂角，∴∠NOA＝∠COM＝57°，∴∠N＝180°﹣57°﹣96°＝27°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系，角平分線的性質(zhì)，對(duì)頂角，做題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系、角平分線的性質(zhì)、對(duì)頂角的定義．9．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)E在射線BC上，EF⊥AD于F，∠B＝40°，∠ACE＝72，則∠E的度數(shù)為（）A．68° B．56° C．34° D．32°【答案】C【分析】由∠B＝40°，∠ACE＝72°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠BAC，再根據(jù)AD平分∠BAC得出∠DAC的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠ADC的度數(shù)，最后在Rt△DEF中求出∠E的度數(shù)．【解答】解：∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE＝∠B+∠BAC，∵∠B＝40°，∠ACE＝72°，∴∠BAC＝32°．∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=12∠BAC＝∵∠ACE是△ADC的外角，∴∠ACE＝∠ADC+∠DCA，∴∠ADC＝∠ACE﹣∠DCA＝72°﹣16°＝56°，∵EF⊥AD，∴∠EFD＝90°，∴∠E＝90°﹣∠ADC＝34°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形外角的概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，D是△ABC的角平分線BD和CD的交點(diǎn)，過點(diǎn)D作△BCD的高，交BC于點(diǎn)E．若∠A＝70°，∠CDE＝65°，則∠DBE的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．20° D．25°【答案】A【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理先求出∠BCD，再求出∠ABC，通過角平分線的定義得結(jié)論．【解答】解：∵DE⊥BC∴∠CED＝90°．∴∠DCB+∠CDE＝90°．∵∠CDE＝65°，∴∠BCD＝25°∵BD、CD分別是∠CBA、∠BCA的平分線，∴∠CBA＝2∠CBD，∠BCA＝2∠BCD＝50°．∵∠A+∠CBA+∠BCA＝180°，∠A＝70°，∴∠CBA+∠BCA＝110°．∴∠CBA＝110°﹣50°＝60°．∴∠DBE＝∠DBC＝30°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，掌握“三角形的內(nèi)角和是180°”及角平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題）11．在如圖所示的△ABC紙片中，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上任意一點(diǎn)，現(xiàn)將△BEF沿EF折疊，得到△B′EF，折痕EF與△ABC的角平分線BD相交于點(diǎn)O，連接CB′，當(dāng)線段EB′與CB′的長(zhǎng)度和最小時(shí)，∠EOB＝100°，則此時(shí)∠B′CB＝20°．【答案】20．【分析】當(dāng)E、B'、C三點(diǎn)共線時(shí)，線段EB′與CB′的長(zhǎng)度和最小，設(shè)CE、BD交于點(diǎn)P，設(shè)∠ABD＝∠CBD＝α，則∠BEO＝∠B'EO＝80°﹣α，利用翻折及外角可得∠BPC160°﹣α，再利用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)果．【解答】解：當(dāng)E、B'、C三點(diǎn)共線時(shí)，線段EB′與CB′的長(zhǎng)度和最小，設(shè)CE、BD交于點(diǎn)P，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，設(shè)∠ABD＝∠CBD＝α，∵∠EOB＝100°，∴∠BEO＝∠B'EO＝80°﹣α，∴∠EBB'＝2（80°﹣α）＝160°﹣2α，∴∠BPC＝∠BEB'+∠EBP＝160°﹣2α+α＝160°﹣α，∴∠B'CB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBD＝180°﹣（160°﹣α）﹣α＝20°，故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和以及外角性質(zhì)，找到∠BPC是△EBP的外角是解決本題的關(guān)鍵．12．如圖，△ABC的角平分線BD，CE交于點(diǎn)O，∠A＝60°，則∠BOC＝120°．【答案】120°．【分析】由三角形的內(nèi)角和可求得∠ABC+∠ACB＝120°，再由角平分線的定義可得∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB，則可求得∠CBO+∠BCO＝60°，再利用三角形的內(nèi)角和可得∠【解答】解：∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，∵△ABC的角平分線BD、CE交于點(diǎn)O，∴∠CBO=12∠ABC，∠BCO=1∴∠CBO+∠BCO=12（∠ABC+∠ACB）＝∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝120°，∴∠BOC＝120°．故答案為：120°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系．13．如圖，△ABC中，AB＝AC，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，∠BDE、∠CED的平分線分別交BC于點(diǎn)F、G，EG∥AB，若∠BGE＝98°，則∠ADE的度數(shù)為16°．【答案】16°．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠B＝180°﹣∠BGE，∠CEG＝∠A，∠GED＝∠ADE，然后由等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和定理求出∠A，∠CEG，再根據(jù)角平分線定義以及等量代換得出∠ADE．【解答】解：∵EG∥AB，∠BGE＝98°，∴∠B＝180°﹣∠BGE＝82°，∠CEG＝∠A，∠GED＝∠ADE，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝82°，∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝16°，∴∠CEG＝∠A＝16°，∵EG平分∠CED，∴∠GED＝∠CEG＝16°，∴∠ADE＝∠GED＝16°，故答案為：16°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義，屬于基礎(chǔ)題，掌握各定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，∠BDC的平分線交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊AB上，BE＝BF，連接EF，則12∠AFE+∠BDE＝90°【答案】90°．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義求解即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=12∠ABC＝∴∠BDC＝180°﹣90°﹣15°＝75°，∵ED平分∠BDC，∴∠BDE=12∠BDC＝∵BE＝BF，∴∠BFE＝∠BEF=180°-30°2∴∠AFE＝180°﹣75°＝105°，∴12∠AFE+∠BDE＝52.5°+37.5°＝90故答案為：90°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線定義，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，若∠B＝70°，∠C＝40°，則∠DAE的度數(shù)為15°．【答案】15°．【分析】由三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合題干信息，運(yùn)用合理的邏輯推理即可得出答案．【解答】解：∵∠B＝70°，∠C＝40°，∴∠BAC＝70°，∵AD是BC邊上的高，∴∠CAD＝50°，∵AE是∠BAC的平分線，∴∠CAE=12∠BAC＝∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝15°．故答案為：15°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義，熟知三角形內(nèi)角和為180°是解題關(guān)鍵．16．如圖，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1，則∠A1＝α2．∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2，…，∠A2009BC的平分線與∠A2009CD的平分線交于點(diǎn)A2010，得∠A2010，則∠A2010＝α2【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)三角形的外角定理可知∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，根據(jù)角平分線定義得∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，代入∠ACD＝∠A+∠ABC中，與∠A1CD＝∠A1+∠A1BC比較，可得∠A1=∠A【解答】解：∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，∴2∠A1CD＝∠A+2∠A1BC，即∠A1CD=12∠A+∠A1∴∠A1=∠A由此可得∠A2010=α2故答案為：α2，α【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外角和定理的運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)外角和定理，角平分線的定義，列方程變形，得出一般規(guī)律．三．解答題（共7小題）17．【基本模型】（1）如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，試說明∠P=12∠【變式應(yīng)用】（2）如圖2，∠MON＝90°，A，B分別是射線ON，OM上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠ABO與∠BAN的平分線的交點(diǎn)為P，則點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)的過程中，∠P的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，∠MON＝90°，作∠MON的平分線OD，A是射線OD上的一定點(diǎn)，B是直線OM上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），連接AB，設(shè)∠ABO的平分線與∠BAO的鄰補(bǔ)角的平分線的交點(diǎn)為P，請(qǐng)直接寫出∠P的度數(shù)．【答案】（1）說明見解析；（2）∠P的大小不變，仍為45°，理由見解析；（3）22.5°或67.5°．【分析】（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求出∠P和∠A，再根據(jù)角平分線的定義∠ACD＝2∠1，∠ABC＝2∠2，最后由∠A＝∠ACD﹣∠ABC進(jìn)行等量代換即可；（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求出∠P和∠O，再根據(jù)角平分線的定義∠NAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，最后由∠O＝∠NAB﹣∠ABO進(jìn)行等量代換即可；（3）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求出∠P和∠AOB，再根據(jù)角平分線的定義∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，最后由∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO進(jìn)行等量代換即可；【解答】解：（1）如圖1所示：∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，∴∠ACP=12∠ACD，∠2=∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠ACP=1∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠2+∠P+∠ACB+∠ACP＝180°，∴12∠ABC+∠180°-∠∴∠P=（2）∠P的大小不變，理由如下：如圖2所示：∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠O＝∠NAB，∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠NAB﹣∠ABO，又∵BP平分∠ABO，CA平分∠NAB，∴∠NAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，∴∠AOB＝∠NAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，∴∠P=（3）∠P＝22.5°或67.5°，分兩種情況：①如圖3所示：∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠AOB＝∠DAB，∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO，又∵BP平分∠ABO，CA平分∠DAB，∴∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，∴∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，∴∠P=②如圖4所示：∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠AOB＝∠DAB，∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO，又∵BP平分∠ABO，AC平分∠DAB，∴∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，∴∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，∴∠P=【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是能夠正確的識(shí)別圖形，找出角與角之間的相互關(guān)系．18．如圖，已知∠AOB＝n，P，Q兩點(diǎn)分別是OA、OB上的兩動(dòng)點(diǎn)，QD，PE分別平分∠PQO和∠APQ，射線PE的反向延長(zhǎng)線與射線QD相交于點(diǎn)D．?（1）如圖1，若n＝60°，求∠EDQ的度數(shù)；（2）如圖2，作∠PQB的角平分線QE交射線PE于點(diǎn)E，求∠PEQ的度數(shù)；（3）如圖3，M、N為線段PE和EQ上的兩定點(diǎn)，若將△MNE沿MN翻折，點(diǎn)E對(duì)應(yīng)點(diǎn)E'在△PEQ的內(nèi)部，且滿足∠E'PQ=-13∠EPQ，∠E'QP=13∠EQP，請(qǐng)求出∠PE'Q【答案】（1）當(dāng)n＝60°時(shí)，∠EDQ＝30°；（2）∠PEQ＝90°-12（3）6∠PE′Q﹣∠1﹣∠2＝720°．【分析】（1）設(shè)∠APE＝x，∠PQD＝y(tǒng)，根據(jù)∠APQ是△POQ的外角得∠APQ＝∠AOB+∠PQO；又因?yàn)椤螦PE是△PQD的外角得到∠APE＝∠PQD+∠EDQ，進(jìn)而推出結(jié)論；（2）根據(jù)）∠APQ、∠PQB均為△POQ的外角，可得∠PQB+∠APQ＝∠AOB+180°＝180°+n，再由PE平分∠APQ，∠PQB的角平分線QE，所以∠PEQ＝180°-12∠APQ-1（3）設(shè)∠E′PQ＝α，∠E′QP＝β，由內(nèi)角和定理∠E′PQ+∠E′QP+∠PE′Q＝180°，則α+β＝180°﹣∠PE′Q；同理∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，得到∠PEQ＝180°﹣3α﹣3β＝3（α+β），從而∠PEQ＝180°﹣3（180°﹣∠PE′Q）＝3∠PE′Q﹣360°；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和折疊的性質(zhì)以及鄰補(bǔ)角的定義可得∠PEQ=12（∠1+∠2），由內(nèi)角和定理∠E′PQ+∠E′QP+∠PE′Q＝【解答】解：（1）設(shè)∠APE＝x，∠PQD＝y(tǒng)，∵PE、DQ分別平分∠APQ、∠PQD，∴∠APE＝∠EPQ＝x，∠PQD＝∠OQD＝y(tǒng)，∵∠APQ是△POQ的外角，∴∠APQ＝∠AOB+∠PQO，∵∠AOB＝n，即2y＝n+2x，∴y﹣x=12又∵∠APE是△PQD的外角，∴∠APE＝∠PQD+∠EDQ，即y﹣x＝∠EDQ，∴∠EDQ=12當(dāng)n＝60°時(shí)，∠EDQ＝30°；（2）∵∠APQ、∠PQB均為△POQ的外角，∴∠APQ＝∠AOB+∠POQ，∠PQB＝∠AOB+∠QPO，∴∠PQB+∠APQ＝∠AOB+∠POQ+∠AOB+∠QPO，∵∠POQ+∠AOB+∠QPO＝180°，∴∠PQB+∠APQ＝∠AOB+180°＝180°+n，∵PE平分∠APQ，∠PQB的角平分線QE，∴∠EPQ=12∠∠EQP=12∠∵∠PEQ＝180°﹣∠EPQ﹣∠EQP，∴∠PEQ＝180°-12∠APQ-＝180°-12（180°+即∠PEQ＝90°-12（3）設(shè)∠E′PQ＝α，∠E′QP＝β，∵∠E'PQ=13∠EPQ，∠E'QP=1∴3α＝∠EPQ，3β＝∠EQP，∵∠E′PQ+∠E′QP+∠PE′Q＝180°，∴∠PE′Q＝180°﹣α﹣β，∴α+β＝180°﹣∠PE′Q，∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，∴∠PEQ＝180°﹣3α﹣3β＝3（α+β）．∴∠PEQ＝180°﹣3（180°﹣∠PE′Q）＝3∠PE′Q﹣360°，由折疊可得∠EME′＝2∠EMN，∠ENE′＝2∠ENM，∵∠1＝180°﹣∠EME′，∠2＝180°﹣∠ENE′，∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠EMN+∠ENM），∵∠EMN+∠ENM＝180°﹣∠PEQ，∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠PEQ）＝2∠PEQ，∴∠PEQ=12（∠1+∠∴3∠PE′Q﹣360°=12（∠1+∠∴6∠PE′Q﹣∠1﹣∠2＝720°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的定義，理解題意，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．19．在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是射線AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），過點(diǎn)E作EF∥BC交直線CD于點(diǎn)F，∠BEF的角平分線所在的直線與射線CD交于點(diǎn)G．（1）如圖1，點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)．①若∠B＝60°，∠ACB＝40°，則∠EGC＝50°；②若∠A＝90°，求∠EGC的度數(shù)；（2）若點(diǎn)E在射線DB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究∠EGC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）①50°；②45°；（2）∠EGC=12∠A或∠EGC＝90°+1【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，易得∠B＝∠DEF，∠BCD＝∠DFE，根據(jù)角平分線的定義，得∠BCD=12∠ACB，∠FEG=12∠DEF=12∠B，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠EGC＝∠DFE+∠FEG=12∠ACB+12∠B．①將∠B＝60°，∠ACB＝40°代入∠EGC=12∠ACB+12∠B，即可求解；②∠EGC=12∠ACB+12∠B=12（∠ACB（2）點(diǎn)E在射線DB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)E在線段DB上時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得∠BEF＝180°﹣∠B，∠EFG＝∠BCF，根據(jù)角平分線的定義，得∠HEF=12∠BEF=12（180°﹣∠B）＝90°-12∠B，∠BCF=12∠ACB，根據(jù)外角的性質(zhì)，得∠EGC＝∠HEF﹣∠EFG＝90°-12∠B-12∠ACB＝90°-12（∠ACB+∠B）＝90°-12（180°﹣∠A）＝90°﹣90°+12∠A=12∠A；②當(dāng)點(diǎn)E在線段DB延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，易得∠ABC＝∠BEF，∠BCD＝∠F，根據(jù)角平分線的定義，得∠BCD=12∠ACB，∠FEG=12∠BEF=12∠ABC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠EGC＝180°﹣（∠FEG+【解答】解：（1）∵EF∥BC，∴∠B＝∠DEF，∠BCD＝∠DFE，∵CD平分∠ACB，EG平分∠BEF，∴∠BCD=12∠ACB，∠FEG=12∠DEF∵∠EGC是△EFG的外角，∴∠EGC＝∠DFE+∠FEG=12∠ACB+1①將∠B＝60°，∠ACB＝40°代入∠EGC=12∠ACB+1得∠EGC=12×40°+1故答案為：50°；②∠EGC=12∠ACB+12∠B=12（∠ACB+∠B）=12（180°﹣∠將∠A＝90°代入，得∠EGC＝90°-12×90（2）①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段DB上時(shí)，∵EF∥BC，∴∠BEF＝180°﹣∠B，∠EFG＝∠BCF，∵CD平分∠ACB，EH平分∠BEF，∴∠HEF=12∠BEF=12（180°﹣∠B）＝90°-12∠B∵∠HEF是△EFG的外角，∴∠EGC＝∠HEF﹣∠EFG＝90°-12∠B-12∠ACB＝90°-12（∠ACB+∠B）＝90°-12（180°﹣∠A）＝90°﹣90②如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段DB延長(zhǎng)線上時(shí)，∵EF∥BC，∴∠ABC＝∠BEF，∠BCD＝∠F，∵CD平分∠ACB，EG平分∠BEF，∴∠BCD=12∠ACB，∠FEG=12∠BEF∴∠EGC＝180°﹣（∠FEG+∠F）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°-12（180°﹣∠A）＝90綜上所述，點(diǎn)E在射線DB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠EGC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系為：∠EGC=12∠A或∠EGC＝90°+1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線定義，平行線的性質(zhì)，及三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，利用角平分線定義，平行線的性質(zhì)結(jié)合轉(zhuǎn)化思想，理清∠EGC與∠ABC和∠ACB之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．20．如圖，△ABC中，∠C＝40°，∠B＝70°，AE平分∠CAB，AD⊥BC于D，DF⊥AE于F．（1）求∠CAE的度數(shù)；（2）求∠ADF的度數(shù)．【答案】（1）35°；（2）75°．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，根據(jù)角平分線定義得出∠CAE=12∠（2）根據(jù)垂直定義得出∠ADC＝90°，∠AFD＝90°，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得出∠DAC＝90°﹣∠C＝50°，求出∠DAE，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求出答案即可．【解答】解：（1）∵∠C＝40°，∠B＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=12∠BAC=12（2）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，由（1）得∠CAE＝35°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝50°﹣35°＝15°，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°，∴∠ADF＝90°﹣∠DAE＝90°﹣15°＝75°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義和直角三角形的性質(zhì)，能熟記三角形內(nèi)角和是180°和直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．21．問題情境：如圖1，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACD．（1）探索發(fā)現(xiàn)：若∠A＝60°，則∠O的度數(shù)為30°；若∠A＝130°，則∠O的度數(shù)為65°．（2）猜想證明：試判斷∠A與∠O的關(guān)系，并說明理由．（3）結(jié)論應(yīng)用：如圖2，在四邊形MNCB中，BD平分∠MBC，且與四邊形MNCB的外角∠NCE的平分線CD交于點(diǎn)D．若∠BMN＝130°，∠CNM＝100°，則∠D的度數(shù)為25°．【答案】（1）30°，65°；（2）∠O=12∠（3）25°．【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠OCD＝∠O+∠OBC，根據(jù)角平分線定義，得∠OBC=12∠ABC，∠OCD=12∠ACD，進(jìn)而得∠O+∠OBC=12（∠A+∠ABC）=12∠A+∠OBC（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠OCD＝∠O+∠OBC，根據(jù)角平分線定義，得∠OBC=12∠ABC，∠OCD=12∠ACD，進(jìn)而得∠O+∠OBC=12（∠A+∠ABC）=12∠A+（3）延長(zhǎng)BM，CN交于點(diǎn)A，先根據(jù)補(bǔ)角定義求出∠AMN和∠ANM的值，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A的值，由（2）中的結(jié)論，即可求解．【解答】解：（1）在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCD=1∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∵∠OCD是△OBC的外角，∴∠OCD＝∠O+∠OBC，∴∠O+∠OBC=12（∠A+∠ABC）=12∠A∴∠O=12∠若∠A＝60°，則∠O的度數(shù)為30°，若∠A＝130°，則∠O的度數(shù)為65°．故答案為：30°，65°；（2）猜想：∠O=12∠理由：在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCD=1∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∵∠OCD是△OBC的外角，∴∠OCD＝∠O+∠OBC，∴∠O+∠OBC=12（∠A+∠ABC）=12∠A∴∠O=12∠（3）如圖2，延長(zhǎng)BM，CN交于點(diǎn)A，∵∠BMN＝130°，∠CNM＝100°，∴∠AMN＝180°﹣∠BMN＝180°﹣130°＝50°，∠ANM＝180°﹣∠CNM＝180°﹣100°＝80°，∴∠A＝180°﹣∠AMN﹣∠ANM＝180°﹣50°﹣80°＝50°，由（2）得∠D=12∠∴∠D＝25°．故答案為：25°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，理解（2）中的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在四邊形ABCD中，BD，CA分別平分∠ABC和∠DCB，BD與AC相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)P．（1）已知∠OAD+∠ODA＝60°，求∠P的度數(shù)；（2）若∠BAC＝α，∠CDB＝β，∠BOC＝γ，試探究α，β，γ三者之間的等量關(guān)系．【答案】（1）60°；（2）α+β+180°＝3γ．【分析】（1）結(jié)合已知條件，根據(jù)三角形內(nèi)角和可求得∠OBC+∠OCB的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義可求得∠ABC+∠DCB的度數(shù)，最后利用三角形內(nèi)角和即可求得答案；（2）結(jié)合已知條件，利用三角形的外角性質(zhì)分別利用含α，β的式子表示出∠BOC，然后將兩個(gè)式子相加后再利用三角形的內(nèi)角和進(jìn)行變形即可求得答案．【解答】解：（1）∵∠OAD+∠ODA＝60°，∴∠BOC＝∠AOD＝180°﹣（∠OAD+∠ODA）＝180°﹣60°＝120°，∴∠OBC