高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十六單元 概率 高考達標(biāo)檢測（四十六）古典概型命題2類型-簡單問題、交匯問題 理試題

高考達標(biāo)檢測（四十六）古典概型命題2類型——簡單問題、交匯問題一、選擇題1．(2017·天津高考)有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)解析：選C從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，有10種不同取法：(紅，黃)，(紅，藍)，(紅，綠)，(紅，紫)，(黃，藍)，(黃，綠)，(黃，紫)，(藍，綠)，(藍，紫)，(綠，紫)．而取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有(紅，黃)，(紅，藍)，(紅，綠)，(紅，紫)，共4種，故所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).2．先后拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，則兩次朝上的點數(shù)之積為奇數(shù)的概率為()A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,3)解析：選C骰子的點數(shù)為1,2,3,4,5,6，先后拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)基本事件為(x，y)，共有6×6＝36個，記兩次點數(shù)之積為奇數(shù)的事件為A，有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9個，所以兩次朝上的點數(shù)之積為奇數(shù)的概率為P(A)＝eq\f(9,36)＝eq\f(1,4).3．高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽期間，某賓館隨機安排五名男生入住3個標(biāo)間(每個標(biāo)間至多住2人)，則A，B入住同一標(biāo)間的概率為()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)解析：選B記A，B入住同一標(biāo)間的概率為P，某賓館隨機安排五名男生入住3個標(biāo)間(每個標(biāo)間至多住2人)共有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))Aeq\o\al(3,3)＝90種不同的方法，A，B入住同一標(biāo)間有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝18種不同的方法，∴P＝eq\f(18,90)＝eq\f(1,5).4．(2018·泉州質(zhì)檢)一個三位自然數(shù)百位、十位、個位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)a＞b，b＜c時，稱該三位自然數(shù)為“凹數(shù)”(如213,312等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，則這個三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(5,24)C.eq\f(1,3) D.eq\f(7,24)解析：選C由1,2,3組成的三位自然數(shù)為123,132,213,231,312,321，共6個；同理由1,2,4組成的三位自然數(shù)共6個；由1,3,4組成的三位自然數(shù)也是6個；由2,3,4組成的三位自然數(shù)也是6個．所以共有4×6＝24個．當(dāng)b＝1時，有214,213,312,314,412,413，共6個“凹數(shù)”；當(dāng)b＝2時，有324,423，共2個“凹數(shù)”．所以這個三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率P＝eq\f(6＋2,24)＝eq\f(1,3).5．高考后，4位考生各自在甲、乙兩所大學(xué)中任選一所參觀，則甲、乙兩所大學(xué)都有考生參觀的概率為()A.eq\f(1,8) B.eq\f(3,8)C.eq\f(5,8) D.eq\f(7,8)解析：選D高考后，4位考生各自在甲、乙兩所大學(xué)中任選一所參觀，基本事件總數(shù)n＝24＝16，甲、乙兩所大學(xué)都有考生參觀的對立事件是4位考生都參觀甲大學(xué)或4位考生都參觀乙大學(xué)，所以甲、乙兩所大學(xué)都有考生參觀的概率P＝1－eq\f(1,16)－eq\f(1,16)＝eq\f(7,8).6．a(chǎn)，b，c，d，e是從集合{1,2,3,4,5}中任取的5個元素(不允許重復(fù))，則abc＋de為奇數(shù)的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(4,15)C.eq\f(2,5) D.eq\f(3,5)解析：選C由題意可得a，b，c，d，e是1,2,3,4,5這5個數(shù)，將這5個數(shù)分組可得(123,45)，(124,35)，(125,34)，(134,25)，(135,24)，(145,23)，(234,15)，(235,14)，(245,13)，(345,12)，共分10組，其中能使abc＋de為奇數(shù)的有(124,35)，(135,24)，(234,15)，(245,13)，共有4組，所以abc＋de為奇數(shù)的概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).7．拋擲質(zhì)地均勻的甲、乙兩顆骰子，設(shè)出現(xiàn)的點數(shù)分別為a，b，則eq\f(a,2)<|b－a2|<6－a成立的概率為()A.eq\f(13,36) B.eq\f(5,18)C.eq\f(7,36) D.eq\f(5,36)解析：選C由題意知(a，b)的所有可能情況為(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36種，設(shè)“eq\f(a,2)<|b－a2|<6－a成立”為事件A，則事件A包括(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,6)，共7種，故P(A)＝eq\f(7,36).8．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為()A.eq\f(7,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,9) D.eq\f(2,3)解析：選D對函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要滿足題意需x2＋2ax＋b2＝0有兩個不等實根，即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b.又(a，b)的取法共有9種，其中滿足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6種，故所求的概率P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).二、填空題9．若從正八邊形的8個頂點中隨機選取3個頂點，則以它們作為頂點的三角形是直角三角形的概率是________．解析：由任何三點不共線，則共有Ceq\o\al(3,8)＝56個三角形，8個等分點可得4條直徑，可構(gòu)成直角三角形有4×6＝24個，所以構(gòu)成直角三角形的概率P＝eq\f(24,56)＝eq\f(3,7).答案：eq\f(3,7)10．從－1,0,1,3,4這五個數(shù)中任選一個數(shù)記為a，則使曲線y＝eq\f(7－3a,x)的圖象在第一、三象限，且滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3>9，,x－a<0))無解的概率為________．解析：曲線y＝eq\f(7－3a,x)的圖象在第一、三象限，且滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3>9，,x－a<0))無解，即7－3a>0且a≤3，所以a<eq\f(7,3)，所以a可?。?,0,1，由古典概型的概率公式，得P＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)11．從eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)方程中任取一個，則此方程是焦點在x軸上的雙曲線方程的概率為________．解析：當(dāng)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1表示橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線時，不能有m＜0，n＞0，所以方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1表示橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線的(m，n)有(2，－1)，(3，－1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(－1，－1)，共7種，其中表示焦點在x軸上的雙曲線時，m＞0，n＞0，有(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，共4種，所以所求概率P＝eq\f(4,7).答案：eq\f(4,7)12．設(shè)集合A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2}，分別從集合A和B中隨機取一個數(shù)a和b，確定平面上一個點P(a，b)，設(shè)“點P(a，b)落在直線x＋y＝n上”為事件Cn(0≤n≤4，n∈N)，若事件Cn的概率最大，則n的值為________．解析：由題意知，點P的坐標(biāo)的所有情況為(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共9種．當(dāng)n＝0時，落在直線x＋y＝0上的點的坐標(biāo)為(0,0)，共1種；當(dāng)n＝1時，落在直線x＋y＝1上的點的坐標(biāo)為(0,1)和(1,0)，共2種；當(dāng)n＝2時，落在直線x＋y＝2上的點的坐標(biāo)為(1,1)，(2,0)，(0,2)，共3種；當(dāng)n＝3時，落在直線x＋y＝3上的點的坐標(biāo)為(1,2)，(2,1)，共2種；當(dāng)n＝4時，落在直線x＋y＝4上的點的坐標(biāo)為(2,2)，共1種．因此，當(dāng)Cn的概率最大時，n＝2.答案：2三、解答題13．有一枚正方體骰子，六個面分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5,6，規(guī)定拋擲該枚骰子得到的數(shù)字是拋擲后面向上的那一個數(shù)字．已知b和c是先后拋擲該枚骰子得到的數(shù)字，函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)．(1)若先拋擲骰子得到的數(shù)字是3，求再次拋擲骰子時，函數(shù)y＝f(x)有零點的概率；(2)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－3，＋∞)上是增函數(shù)的概率．解：(1)記“函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零點”為事件A，由題意知，b＝3，c＝1,2,3,4,5,6，∴所有的基本事件為(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共6個．當(dāng)函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零點時，方程x2＋bx＋c＝0有實數(shù)根，即Δ＝b2－4c≥0，∴c≤eq\f(9,4)，∴c＝1或2，即事件A包含2個基本事件，∴函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零點的概率P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)由題意可知，所有的基本事件為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36個．記“函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－3，＋∞)上是增函數(shù)”為事件B.∵y＝f(x)的圖象開口向上，∴要想使函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－3，＋∞)上是增函數(shù)，只需－eq\f(b,2)≤－3即可，解得b≥6，∴b＝6.∴事件B包含的基本事件有6個．∴函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－3，＋∞)上是增函數(shù)的概率P(B)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).14．學(xué)校組織學(xué)生參加某項比賽，參賽選手必須有很好的語言表達能力和文字組織能力．學(xué)校對10位已入圍的學(xué)生進行語言表達能力和文字組織能力的測試，測試成績分為A，B，C三個等級，其統(tǒng)計結(jié)果如下表：語言表達能力文字組織能力ABCA220B1a1C01b由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這10位參加測試的學(xué)生中隨機抽取一位，抽到語言表達能力或文字組織能力為C的學(xué)生的概率為eq\f(3,10).(1)求a，b的值；(2)從測試成績均為A或B的學(xué)生中任意抽取2位，求其中至少有一位語言表達能力或文字組織能力為A的學(xué)生的概率．解：(1)依題意可知，語言表達能力或文字組織能力為C的學(xué)生共有(b＋2)人，所以eq\f(b＋2,10)＝eq\f(3,10)，a＋b＝3，解得b＝1，a＝2.(2)測試成績均為A或B的學(xué)生共有7人，其中語言表達能力和文字組織能力均為B的有2人，設(shè)為b1，b2，其余5人設(shè)為a1，a2，a3，a4，a5.則基本事件空間Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(b1，b2)}．所以基本事件空間總數(shù)為21.選出的2人語言表達能力和文字組織能力均為B的有(b1，b2)．所以至少有一位語言表達能力或文字組織能力為A的學(xué)生的概率P＝1－eq\f(1,21)＝eq\f(20,21).1．若x∈A的同時，還有eq\f(1,x)∈A，則稱A是“好搭檔集合”，在集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3))的所有非空子集中任選一集合，則該集合是“好搭檔集合”的概率為()A.eq\f(7,31) B.eq\f(7,32)C.eq\f(1,4) D.eq\f(8,31)解析：選A由題意可得，集合B的非空子集有25－1＝31個，其中是“好搭檔集合”的有：{1}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1，3))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，2))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)，2，3))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3))，共7個，所以該集合是“好搭檔集合”的概率為P＝eq\f(7,31).2．“累積凈化量(CCM)”是空氣凈化器質(zhì)量的一個重要衡量指標(biāo)，它是指空氣凈化器從開始使用到凈化效率為50%時對顆粒物的累積凈化量，以克表示．根據(jù)GB/T18801-2015《空氣凈化器》國家標(biāo)準(zhǔn)，對空氣凈化器的累積凈化量(CCM)有如下等級劃分：累積凈化量(克)(3,5](5,8](8,12]12以上等級P1P2P3P4為了了解一批空氣凈化器(共2000臺)的質(zhì)量，隨機抽取n臺機器作為樣本進行估計，已知這n臺機器的累積凈化