4.3.1等比數(shù)列的概念 課件

第四章數(shù)列2023-2024學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)教學(xué)課件★★4.3.1等比數(shù)列的概念我們知道，等差數(shù)列的特征是“從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)”，類比等差數(shù)列的研究思路和方法，從運(yùn)算的角度出發(fā)，你覺得還有怎樣的數(shù)列是值得研究的?請(qǐng)看以下幾個(gè)數(shù)列，思考它們有何共同特征？

1.兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時(shí)期的泥版上記錄了下面的數(shù)列:9,92,93,???,9l0①;100,1002,1003,???,10010②;5,52,53,???,5l0③.2.《莊子?天下》中提到:“一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭.”如果把“一尺之棰”的長(zhǎng)度看成單位“1”,那么從第1天開始,各天得到的“棰”的長(zhǎng)度依次是

3.在營(yíng)養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)菌每20min就通過分裂繁殖一代，那么一個(gè)這種細(xì)菌從第1次分裂開始，各次分裂產(chǎn)生的后代個(gè)數(shù)依次是

2,4,8,16,32,64,???.⑤4.某人存入銀行a元，存期為5年，年利率為r，那么按照復(fù)利，他5年內(nèi)每年末得到的本利和分別是a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)5,a(1+r)6.⑥從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比是一個(gè)不為0的常數(shù).1.等比數(shù)列的概念

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)不為0常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q(q≠0)表示.

例如數(shù)列①~⑥的公比依次為9,100,5,0.5,2,1+r.等比數(shù)列的符號(hào)語(yǔ)言：2.等比中項(xiàng)

如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).此時(shí)，G2=ab.1.判斷下列數(shù)列是否是等差數(shù)列.如果是，寫出它的公差.課本P31探究你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？設(shè)一個(gè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為q,根據(jù)等比數(shù)列的定義,可得∴a2=a1q，a3=a2q

=a1q2，a4=a3q=a1q3，??????∴an=a1qn-1

(n≥2).又a1=a1q1-1，這就是說，當(dāng)n=1時(shí)上式也成立.因此，首項(xiàng)為a1,公差為q的等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為思考

在等差數(shù)列中，公差d≠0的等差數(shù)列可以與相應(yīng)的一次函數(shù)建立聯(lián)系，那么對(duì)于等比數(shù)列，公比q滿足什么條件的數(shù)列可以與相應(yīng)的函數(shù)建立類似的聯(lián)系?例1若等比數(shù)列{an}的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為48和12，求{an}的第5項(xiàng).變式在等比數(shù)列{an}中，(1)a1＝1，a4＝8，求an；(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.例2已知等比數(shù)列{an}的公比為q，試用{an}的第m項(xiàng)am表示an.等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：例3

數(shù)列{an}共有5項(xiàng)，前三項(xiàng)成等比數(shù)列，后三項(xiàng)成等差數(shù)列，第3項(xiàng)等于80,第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的和等于136，第1項(xiàng)與第5項(xiàng)的和等于132.求這個(gè)數(shù)列.a1a3a5a7q2820.22.已知{an}是一個(gè)公比為q等比數(shù)列，請(qǐng)?jiān)谙卤碇械目崭裉幪钊脒m當(dāng)?shù)臄?shù).3.在等比數(shù)列{an}中，a1a3＝36，a2+a4＝60.求a1和公比q.416500.080.0032課本P314.對(duì)于數(shù)列{an},若點(diǎn)(n,an)(n∈N*)都在函數(shù)y=cqx的圖象上，其中c,q為常數(shù)，且c≠0,q≠0,q≠1，試判斷數(shù)列{an}是否是等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論.課本P315.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列.

(1)a3,a5,a7是否成等比數(shù)列?為什么?a1,a5,

a9呢?(2)當(dāng)n>1時(shí),an-1,an,an+1是否成等比數(shù)列?為什么?

當(dāng)n>k>0時(shí),an-k,an,

an+k是等比數(shù)列嗎?課本P31

例4

思考已知b>0且b≠1，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，那么數(shù)列

是否一定是等比數(shù)列?如果數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列，那么數(shù)列{logban}是否一定是等差數(shù)列?2.設(shè)數(shù)列{an},{bn}都是等比數(shù)列，分別研究下列數(shù)列是否是等比數(shù)列，若是，證明結(jié)論；若不是，請(qǐng)說明理由.課本P341．等比數(shù)列的單調(diào)性公比q單調(diào)性首項(xiàng)a1q>10<q<1q=1q<0a1>0a1<0遞增數(shù)列遞減數(shù)列常數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列遞減數(shù)列遞增數(shù)列2.等比數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)的關(guān)系兩項(xiàng)關(guān)系多項(xiàng)關(guān)系等比數(shù)列的性質(zhì)：3．在等比數(shù)列{an}中，a3a4a6a7＝81，則a1a9的值為(

)A．9B．－9C．±9D．181．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)當(dāng)q>1時(shí)，{an}為遞增數(shù)列．(

)(2)當(dāng)q＝1時(shí)，{an}為常數(shù)列．(

)(3){an}是等比數(shù)列，若m＋n＝p，則am·an＝ap.(

)(4)若等比數(shù)列{an}的公比是q，則an＝amqm－n(m，n∈N*).(

)×√××√√注意：在等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)(或偶數(shù)項(xiàng))的符號(hào)相同.練習(xí)：CB例6有四個(gè)實(shí)數(shù)，前三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，它們的積是－8；后三個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列，它們的積為－80，求出這四個(gè)數(shù)．√變式一個(gè)等比數(shù)列前三項(xiàng)的積為2，后三項(xiàng)的積為4，且所有項(xiàng)的積為64，則該數(shù)列有(

)A．13項(xiàng)B．12項(xiàng)C．11項(xiàng)D．10項(xiàng)

例7

用10000元購(gòu)買某個(gè)理財(cái)產(chǎn)品一年.(1)若以月利率0.400%的復(fù)利計(jì)息，12個(gè)月能獲得多少利息(精確到1元)?(2)若以季度復(fù)利計(jì)息，存4個(gè)季度，則當(dāng)每季度利率為多少時(shí)，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息(精確到10-5)?

變式某家庭決定要進(jìn)行一項(xiàng)投資活動(dòng)，預(yù)計(jì)每年收益5%.該家庭2021年1月1日投入10萬(wàn)元，按照復(fù)利(復(fù)利是指在每經(jīng)過一個(gè)計(jì)息期后，都將所得利息加入本金，以計(jì)算下期的利息)計(jì)算，到2031年1月1日，該家庭在此項(xiàng)投資活動(dòng)的資產(chǎn)總額大約為(

)參考數(shù)據(jù)：1.058≈1.48，1.059≈1.55，1.0510≈1.63，1.0511≈1.71A．14.8萬(wàn)B．15.5萬(wàn)

C．16.3萬(wàn)D．17.1萬(wàn)√解：因?yàn)樵摷彝?021年1月1日投入10萬(wàn)元，按照復(fù)利計(jì)算，且每年收益5%，∴10年后的資產(chǎn)總額為10×(1＋5%)10.∵1.0510≈1.63，∴10×(1＋5%)10≈16.3(萬(wàn)元).故選C.1.求滿足下列條件的數(shù):

(1)在9與243中間插入2個(gè)數(shù)，使這4個(gè)數(shù)成等比數(shù)列;

(2)在160與－5中間插入4個(gè)數(shù)，使這6個(gè)數(shù)成等比數(shù)列.課本P343.某汽車集團(tuán)計(jì)劃大力發(fā)展新能源汽車，2017年全年生產(chǎn)新能源汽車5000輛，如果在后續(xù)的幾年中，后一年新能源汽車的產(chǎn)量都是前一年的150%，那么2025年全年約生產(chǎn)新能源汽車多少輛(精確到1)?4.某城市今年空氣質(zhì)量為“優(yōu)”“良”的天數(shù)為105，力爭(zhēng)2年后使空氣質(zhì)量為“優(yōu)”“良”的天數(shù)達(dá)到240.這個(gè)城市空氣質(zhì)量為“優(yōu)”“良”的天數(shù)的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)達(dá)到多少(精確到0.01)?課本P345.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

，求使an取得最大值時(shí)n的值.課本P34小結(jié)：1.等比數(shù)列的概念

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)不為0常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q(q≠0)表示.等比數(shù)列的符號(hào)語(yǔ)