求解復(fù)合函數(shù)單調(diào)性

求解復(fù)合函數(shù)單調(diào)性【引理證明】已知函數(shù).若在區(qū)間）上是減函數(shù)，其值域?yàn)?c，d)，又函數(shù)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)在區(qū)間）上是增函數(shù).證明：在區(qū)間）內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，使因?yàn)樵趨^(qū)間）上是減函數(shù)，所以,記,即因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，所以,即，故函數(shù)在區(qū)間）上是增函數(shù).【方法技巧】1．復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是由兩個(gè)函數(shù)共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結(jié)成一個(gè)圖表：增↗減↘增↗減↘增↗減↘增↗減↘減↘增↗以上規(guī)律還可總結(jié)為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”.2．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷步驟：ⅰ

確定函數(shù)的定義域；ⅱ

將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)：與。ⅲ

分別確定分解成的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性；ⅳ

若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同（即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)為增函數(shù)；

若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相異（即一個(gè)是增函數(shù)，而另一個(gè)是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)為減函數(shù)。【例題演練】例1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并用單調(diào)定義給予證明解：定義域單調(diào)減區(qū)間是設(shè)則=∵∴∴>又底數(shù)∴即∴在上是減函數(shù)同理可證：在上是增函數(shù)［例］2、討論函數(shù)的單調(diào)性.［解］由得函數(shù)的定義域?yàn)閯t當(dāng)時(shí)，若，∵為增函數(shù)，∴為增函數(shù).若，∵為減函數(shù).∴為減函數(shù)。當(dāng)時(shí)，若，則為減函數(shù)，若，則為增函數(shù).例3、.已知y=(2-)在［0，1］上是x的減函數(shù)，求a的取值范圍.解：∵a＞0且a≠1當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)t=2->0是減函數(shù)由y=(2-)在［0，1］上x的減函數(shù)，知y=t是增函數(shù)，∴a＞1由x［0，1］時(shí)，2-2-a＞0,得a＜2,∴1＜a＜2當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)t=2->0是增函數(shù)由y=(2-)在［0，1］上x的減函數(shù)，知y=t是減函數(shù)，∴0<a<1由x［0，1］時(shí)，2-2-1＞0,∴0<a<1綜上述，0<a<1或1＜a＜2例4、已知函數(shù)（為負(fù)整數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，設(shè).問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)使得在區(qū)間上是減函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)？并證明你的結(jié)論。［解析］由已知，得，其中∴即，解得∵為負(fù)整數(shù)，∴∴，即，∴假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得滿足條件，設(shè)，∴∵，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，∴，∴∵,∴,∴,∴ ①當(dāng)時(shí),增函數(shù),∴∵,∴,∴. ②由①、②可知，故存在【同步練習(xí)】1．函數(shù)y＝（x2－3x＋2）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．（－∞，1） B．（2，＋∞）C．（－∞，） D．（，＋∞）解析：先求函數(shù)定義域?yàn)椋ǎ璷，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函數(shù)t（x）在（－∞，1）上單調(diào)遞減，在（2，＋∞）上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，函數(shù)y＝（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上單調(diào)遞減．答案：B2找出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（1）；（2）答案：(1)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。（2）單調(diào)增區(qū)間是，減區(qū)間是。3、討論的單調(diào)性。答案：時(shí)為增函數(shù)，時(shí)，為增函數(shù)。4．求函數(shù)y＝（x2－5x＋4）的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間．解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），當(dāng)x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R＋，所以函數(shù)的值域是R＋．因?yàn)楹瘮?shù)y＝（x2－5x＋4）是由y＝（x）與（x）＝x2－5x＋4復(fù)合而成，函數(shù)y＝（x）在其定義域上是單調(diào)遞減的，函數(shù)（x）＝x2－5x＋4在（－∞，）上為減函數(shù)，在［，＋∞］上為增函數(shù)．考慮到函數(shù)的定義域及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，y＝（x2－5x＋4）的增區(qū)間是定義域內(nèi)使y＝（x）為減函數(shù)、（x）＝x2